macierze.pdf

(241 KB) Pobierz
MACIERZE
MACIERZE. ZWIĄZEK Z ODWZOROWANIAMI LINIOWYMI.
k
=
{ }
k
Definicja 1.
k × j
ij i nazywamy elementem tej macierzy. Zbiór wartości
zapisujemy w formie:
.Wartość tego odwzorowania na parze (i,j)
oznaczamy a
aa a
aa a
11
12
1
n
21
22
2
n
aa a
k
1
k
2
kn
Ten zbiór utożsamiamy z macierzą.
Elementami macierzy mogą być różne obiekty matematyczne np. liczby,
wielomiany, inne funkcje.
Definicja 2.
aa a a
aa a a
11
12
1
j
1
m
21
22
2
j
2
m
aa a a
i
1
i
2
ij
im
aa a a
k
1
k
2
kj
km
O elementach a i1 , a i2 , a im mówimy, że tworzą i-ty wiersz macierzy.
O elementach a 1j , a 2j , a nj mówimy, że tworzą j-tą kolumnę macierzy.
Jeżeli macierz ma k wierszy i m kolumn, to mówimy, że jest to macierz o
wymiarach k × m.
PRZYKŁAD 1.
A
=
1123
54 25
−
−
24
×
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 11
Część 6 - Macierze
1,2,...,
Macierzą nazywamy każde odwzorowanie określone na iloczynie
kartezjańskim
11843059.002.png
Macierze oznaczamy najczęściej dużymi literami
A = [a ij ] = [a ij ] k × m = A k × m
Definicja 3.
a) Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz A T ,
powstała z macierzy A przez zamianę jej wierszy na kolumny bez
zmiany ich kolejności.
T =[b ij ] k × m
PRZYKŁAD 2.
A
=
1123
54 25
−
−
24
×
15
14
−
A
T
=
22
35
−
b) Macierz nazywamy macierzą zerową jeżeli wszystkie jej elementy
równe są zero.
Oznaczenie:
c) Jeżeli ilość wierszy macierzy równa jest ilości jej kolumn, to macierz
taką nazywamy macierzą kwadratową.
0 k × m
A n × n
Definicja 4.
A n × n =[a ij ]
a) O elementach a ii i=1, 2, ..., n mówimy, że tworzą przekątną główną
macierzy.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 11
Część 6 - Macierze
11843059.003.png
a
11
. . .
.
a
.
.
22
. .
.
. . .
a
nn
b) Macierz kwadratową nazywamy macierzą diagonalną, jeżeli wszystkie
jej elementy poza przekątną główną są równe zero.
PRZYKŁAD 3.
100
020
004
−
c) Macierz jednostkowa to macierz diagonalna, w której wszystkie
elementy na głównej przekątnej są równe jeden.
PRZYKŁAD 4.
100
010
001
I
=
3
d) Macierz nazywamy trójkątną górną jeżeli wszystkie jej elementy
poniżej głównej przekątnej są równe zero.
PRZYKŁAD 5.
127
023
005
−
Macierz nazywamy trójkątną dolną jeżeli wszystkie jej elementy
powyżej głównej przekątnej są równe zero.
100
720
425
−
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 11
Część 6 - Macierze
PRZYKŁAD 6.
11843059.004.png
e) Macierz nazywamy symetryczną jeżeli:
A T =A
PRZYKŁAD 7.
12 34
2576
37 4 2
4620
−
−
DZIAŁANIA NA MACIERZACH.
1) Równość dwóch macierzy zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy macierze
mają takie same wymiary i odpowiednie ich elementy są sobie równe.
A = [a ij ] k × m B = [b ij ] l × p
2) Suma dwóch macierzy – dodając do siebie dwie macierze dodajemy do
siebie odpowiednie elementy.
a ij = b ij ∧ k=l ∧ m=p
A+B=[c ij ]: c ij = a ij + b ij
3) Mnożenie macierzy przez liczbę – mnożąc macierz przez liczbę
mnożymy każdy element macierzy przez tę liczbę.
4) Mnożenie dwóch macierzy
A n × p [a ij ] • B p × n [b ij ]
Jest ono wykonalne tylko wtedy, gdy ilość wierszy macierzy B równa
jest ilości kolumn macierzy A.
A n × p [a ij ]
B p × n [b ij ]
∑
p
AB C c c a b
=
i
== =

:
ij
ik kj
i
k
1
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 11
Część 6 - Macierze
A k × m [a ij ] B l × p [b ij ]
A = [a ij ], α A = α [a ij ]

ij
11843059.005.png
aa a a bb b b
aa a a bb b b
11
12
1
j
1
p
 
11
12
1
j
1
m
 
21
22
2
j
2
p
21
22
2
j
2
m
 
i
 
aa a a bb b b
 
i
1
2
ij
ip
 
i
1
i
2
ij
im
 
 
aa a a bb b b
n
1
n
2
nj
np
 
p
1
p
2
pj
pm
b a b
cababab ab
cababab ab
cababab ab
11
= + +
11 11
12 21
13
31
++
...
...
...
...
1
pp
1
12
= + + + +
11 12
12 22
13 32
1
pp
2
22
= + + + +
21 12
22 22
23 32
2
pp
2
34
= + + + +
31 14
32 24
33 34
3
pp
4
cababab ab
ij
= + + + +
i
11
j
i
22
j
i
33
j
...
ip pj
WNIOSEK
Element c ij macierzy A • B to iloczyn skalarny i-tego wiersza macierzy A
przez j-tą kolumnę macierzy B.
PRZYKŁAD 8.
 
 
12
11021
−
-1 3
−
 
32115
−
−
i
 
01
=
88
−
 
1011 1
21
12
2 4
−
−
 
 
35
×
32
×
52
×
UWAGA
Mnożenie macierzy nie jest przemienne, B • A może być niewykonalne.
 
 
12
-1 3
11021
−
 
73
 
 
 
01
i
32115 88
−
−
−
≠
 
 
21
12
10 1 1 1
 
2 4
−
−
−
 
 
 
35
×
32
×
52
×
Jeśli jest wykonalne to na ogół AB ≠ BA.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 11
Część 6 - Macierze
 
i
cababa
73
11843059.001.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin