Analiza matematyczna 2.pdf

(540 KB) Pobierz
Microsoft Word - Analiza matematyczna 2.doc
1. CAŁKI NIEWŁAŚCIWE
1.1 CAŁKI NIEWŁAŚCIWE PIERWSZEGO RODZAJU
: będzie całkowalna na przedziałach [ a,T ] dla każdego T > a . Całkę niewłaściwą pierwszego
rodzaju funkcji f na przedziale [ a ,∞) definiujemy wzorem:
af →
[
,
∞)
R
∞
def
T
∫
∫
f
(
x
)
dx
=
lim
f
(
x
)
dx
.
T
→
∞
a
a
∞
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka niewłaściwa ∫
f )
dx
jest zbieżna.
a
Jeżeli granica ta jest równa ∞ lub -∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do ∞ lub -∞. W pozostałych
przypadkach mówimy, że całka jest rozbieżna.
Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą pierwszego rodzaju na przedziale (-∞, b ]:
b
def
b
∫
∫
f
(
x
)
dx
=
lim
f
(
x
)
dx
.
S
→
−∞
−
∞
S
: będzie całkowalna na przedziałach [ S,T ] dla dowolnych S i T takich, że -∞ < S < T < ∞. Całkę
niewłaściwą pierwszego rodzaju funkcji f na przedziale (-∞,∞) definiujemy wzorem:
f →
R
∞
def
a
∞
∫ ∫
∫
f
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx
+
f
(
x
)
dx
,
−
∞
−
∞
a
gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne, to mówimy, że
∞
całka ∫
f )
(
dx
jest zbieżna. Jeżeli jedna z tych całek jest rozbieżna do -∞ lub ∞, a druga jest zbieżna albo rozbieżna
−
∞
odpowiednio do -∞ lub ∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna do -∞ lub ∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka ta
jest rozbieżna.
a
∞
Uwaga . Jeżeli całki ∫ ∞
f )
(
dx
, ∫
f )
(
dx
są zbieżne dla pewnego a ∈ R , to są zbieżne dla każdego a ∈ R i ich suma nie
−
a
zależy od a .
∞
dx
Fakt 1.1.3 (zbieżność całek postaci ∫
)
x
p
a
∞
dx
⎧
zbiezna
dla
p
>
1
Niech a>0 . Wtedy ∫
jest
.
x
p
rozbiezna
dla
p
≤
1
a
b
dx
Uwaga . Analogiczny fakt jest prawdziwy także dla całek ∫ ∞
, gdzie b <0, o ile funkcja podcałkowa jest poprawnie
x
p
−
określona.
1.2 KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI CAŁEK NIEWŁAŚCIWYCH PIERWSZEGO RODZAJU
Tw. 1.2.1 (kryterium porównawcze)
Jeżeli
1. 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) dla każdego x ∈ [ a ,∞),
2. funkcje f i g są całkowalne na przedziałach [ a,T ] dla T > a ,
∞
3. całka ∫
g )
(
dx
jest zbieżna
a
∞
to całka ∫
f )
(
dx
jest zbieżna.
a
Uwaga . Twierdzenie powyższe pozostanie prawdziwe, gdy nierówności w założeniu 1 są prawdziwe dla każdego x ∈[ a * ,∞),
Def. 1.1.1 (całka niewłaściwa na półprostej)
Niech funkcja
(
Def. 1.1.2 (całka niewłaściwa na prostej)
Niech funkcja
4752762.016.png
∞
gdzie a * > a . Jeżeli założenie 3 tego twierdzenia ma postać „całka ∫
f )
(
dx
jest rozbieżna”, to w tezie otrzymamy „całka
a
∞
∫
g )
(
dx
jest rozbieżna”. Prawdziwe jest także analogiczne kryterium porównawcze dla całek niewłaściwych postaci
a
b
∫ ∞
f )
(
dx
.
−
Tw. 1.2.2 (kryterium ilorazowe)
Niech funkcje dodatnie f i g będą całkowalne na przedziałach [ a , T ] dla każdego T > a oraz niech
lim
f
(
x
)
=
k
, gdzie 0< k <∞.
x
→
∞
g
(
x
)
Wówczas
∞
∞
całka ∫
f )
(
dx
jest zbieżna ⇔ całka ∫
g )
(
dx
jest zbieżna.
a
a
b
Uwaga . Prawdziwe jest także analogiczne kryterium ilorazowe dla całek niewłaściwych postaci ∫ ∞
f )
(
dx
.
−
1.3 ZBIENOŚĆ BEZWZGLĘDNA CAŁEK NIEWŁAŚCIWYCH PIERWSZEGO RODZAJU
Def. 1.3.1 (zbieżność bezwzględna całek niewłaściwych pierwszego rodzaju)
∞
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziałach [ a,T ] dla każdego T > a . Całka ∫
f )
dx
jest zbieżna bezwzględnie
a
def
∞
∫
⇔
f )
(
dx
jest zbieżna.
a
b
∞
Podobnie określa się zbieżność bezwzględną całek ∫ ∞
f )
(
dx
, ∫
f )
(
dx
.
−
−
∞
Tw. 1.3.2 (o zbieżności całek niewłaściwych zbieżnych bezwzględnie)
∞
Niech funkcja f będzie całkowalna na przedziałach [ a,T ] dla każdego T > a . Jeżeli całka ∫
f )
dx
jest zbieżna bezwzględnie,
a
∞
to całka ∫
f )
(
dx
jest zbieżna. Ponadto
a
∞
∞
∫
f
(
x
)
dx
≤
∫
f
(
x
)
dx
.
a
a
Uwaga . Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla pozostałych rodzajów całek niewłaściwych pierwszego rodzaju.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe dla dowolnej funkcji, np. całka niewłaściwa z funkcji
f
( = na przedziale
x
sin
x
x
[1,∞) jest zbieżna, ale nie jest zbieżna bezwzględnie.
1.4 CAŁKI NIEWŁAŚCIWE DRUGIEGO RODZAJU
: będzie nieograniczona na prawostronnym sąsiedztwie punktu a oraz całkowalna na
przedziałach [ a+ ε, b ] dla każdego 0 < ε < b – a . Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na przedziale ( a,b ] definiujemy
wzorem:
af →
(
,
b
]
R
b
b
∫
f
(
x
)
dx
=
lim
∫ +
f
(
x
)
dx
.
→ +
ε
0
a
a
ε
(
(
Def. 1.4.1 (całki niewłaściwe drugiego rodzaju)
Niech funkcja
4752762.017.png 4752762.018.png
 
Jeżeli granica po prawej stronie znaku równości jest skończona, to mówimy, że całka ∫ b
a
f )
(
dx
jest zbieżna. Jeżeli granica ta
jest równa ∞ lub -∞, to mówimy, że całka jest rozbieżna odpowiednio do ∞ lub -∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że
całka ta jest rozbieżna.
b
Analogicznie definiuje się całkę niewłaściwą ∫
f )
(
dx
funkcji f nieograniczonej na lewostronnym sąsiedztwie punktu b :
a
b
def
b
−
ε
∫
∫
f
(
x
)
dx
=
lim
→ +
f
(
x
)
dx
.
ε
0
a
a
Jeżeli funkcja f jest określona i ograniczona na przedziale ( a,b ] oraz całkowalna na przedziałach [ a +ε, b ] dla każdego 0 < ε < b
– a , to całka ∫ b
a
f )
(
dx
obliczona według powyższej definicji jest zbieżna. Podobnie jest da funkcji określonej na przedziale
[ a,b ).
Fakt 1.4.2 (o zbieżności całek ∫ b
dx
)
x
p
0
b
dx
⎧
zbiezna
dla
p
<
1
Niech b>0 . Wtedy całka niewłaściwa ∫
jest
.
x
p
rozbiezna
dla
p
≥
1
0
0
dx
Analogiczny fakt jest prawdziwy także dla całek ∫
, gdzie a < 0 , o ile funkcja podcałkowa jest poprawnie określona.
x
p
a
: , gdzie c ∈( a,b ), będzie nieograniczona na obustronnych sąsiedztwach punktu c oraz
całkowalna na przedziałach [ a , c -ε ], [ c +ε, b ] dla każdego 0 < ε < min{ b – c , c – a }. Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji
f na przedziale [ a,b ] definiujemy wzorem:
f
[
a
,
b
]
\
{
c
}
→
R
b
def
c
b
∫
∫
∫
f
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx
+
f
(
x
)
dx
.
a
a
c
b
Jeżeli obie całki po prawej stronie znaku równości są zbieżne, to mówimy, że całka ∫
f )
(
dx
jest zbieżna. Jeżeli jedna z
a
tych całek jest rozbieżna do -∞ lub ∞, a druga jest zbieżna albo rozbieżna odpowiednio do -∞ lub ∞, to mówimy, że całka
∫ b
a
dx
jest rozbieżna do -∞ lub ∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że całka ta jest rozbieżna.
W podobny sposób określa się całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych na sąsiedztwach punktów c 1 , c 2 , ..., c n ∈ [ a,b ]. Na
przykład dla funkcji
af →
:
(
,
b
)
R
, nieograniczonej na prawostronnym sąsiedztwie punktu a i na lewostronnym sąsiedztwie
punktu b oraz całkowalnej na przedziałach [ a + ε, b - ε] dla każdego
b −
ε , przyjmujemy:
a
2
b
def
d
b
∫
∫
∫
f
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx
+
f
(
x
)
dx
,
a
a
d
gdzie d jest dowolnym punktem przedziału (a,b).
1.5 KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI CAŁEK NIEWŁAŚCIWYCH DRUGIEGO RODZAJU
Tw. 1.2.1 (kryterium porównawcze)
Jeżeli
1. 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) dla każdego x ∈ ( a,b ],
2. funkcje f i g są całkowalne na [ a +ε ,b ] dla 0 < ε < b – a ,
b
3. całka ∫
g )
dx
jest zbieżna
a
b
to całka ∫
f )
dx
jest zbieżna.
a
Def. 1.4.3 (całki niewłaściwe drugiego rodzaju, ciąg dalszy)
Niech funkcja
f )
(
(
(
4752762.001.png 4752762.002.png
Uwaga . Twierdzenie powyższe pozostanie prawdziwe, gdy nierówności w założeniu 1 są prawdziwe dla każdego x ∈ ( a,b * ],
b
gdzie a < b * < b . Jeżeli założenie 3 tego twierdzenia ma postać „całka ∫
f )
(
x
dx
jest rozbieżna”, to w tezie otrzymamy „całka
a
b
∫
g )
(
x
dx
jest rozbieżna”. Prawdziwe jest także analogiczne kryterium porównawcze dla funkcji określonych na przedziale
a
[ a,b ) i nieograniczonych na lewostronnym sąsiedztwie punktu b .
Tw. 1.2.2 (kryterium ilorazowe)
Niech funkcje dodatnie f i g będą całkowalne na przedziałach [ a +ε ,b ] dla każdego 0 < ε < b – a oraz niech
lim
f
(
x
)
=
k
,
g
(
x
)
+
x
→
a
gdzie 0< k <∞. Wówczas
b
b
całka ∫
f )
x
dx
jest zbieżna ⇔ całka ∫
g )
(
x
dx
jest zbieżna.
a
a
Uwaga . Prawdziwe jest także analogiczne kryterium dla całek niewłaściwych na przedziale [ a,b ).
2. SZEREGI LICZBOWE I POTĘGOWE
2.1 DEFINICJE I PODSTAWOWE TWIERDZENIA
Def. 2.1.1 (szereg, suma częściowa szeregu)
Niech ( a n ) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg ( S n ) , gdzie S n = a 1 + a 2 + … + a n . Szereg taki
oznaczamy przez ∞
=1
a . Liczbę a n nazywamy n -tym wyrazem, a liczbę S n n -tą sumą częściową tego szeregu.
n
n
Def. 2.1.2 (szereg zbieżny i rozbieżny, suma szeregu)
Mówimy, że szereg ∞
=1
a jest zbieżny, jeżeli istnieje skończona granica ciągu ( S n ). Jeżeli
n
lim
→
∞
S
n
=
−∞
albo
lim
→
∞
S
n
=
∞
,
n
to mówimy, że szereg ∞
=1
a jest rozbieżny odpowiednio do -∞ albo do ∞. W pozostałych przypadkach mówimy, że szereg
n
n
jest rozbieżny. Sumą szeregu zbieżnego nazywamy granicę
lim i oznaczamy ją tym samym symbolem co szereg.
→
∞
S
n
Uwaga . Analogicznie można zdefiniować szereg ∞
= 0
a , gdzie n 0 ∈ Z oraz jego sumę.
n
n
n
Fakt 2.1.3 (zbieżność szeregu geometrycznego)
Szereg geometryczny ∞
=0
x jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
n
x
<
1
. Dla zbieżnego szeregu geometrycznego mamy:
n
∞
=
x
n
=
1
.
1
−
x
n
0
Uwaga . Przyjmujemy tutaj, że
0 0
def
= .
1
Tw. 2.1.4 (warunek konieczny zbieżności szeregu)
Jeżeli szereg ∞
=1
a jest zbieżny, to
lim =
∞
→
a
n
0
.
n
Uwaga . Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Świadczy o tym przykład ciągu
a n
= ,
1
n
∈
N
. Mamy bowiem
n
1
lim =
∞
→
n
0
, ale szereg ∞
=1
1
n n
jest rozbieżny do ∞. Powyższe twierdzenie zapisane w równoważnej postaci: jeżeli
(
n
n
n
n
n
n
4752762.003.png 4752762.004.png 4752762.005.png 4752762.006.png
 
lim ≠
∞
→
a
n
0
albo granica
lim nie istniej, to szereg ∞
=1
→
∞
a
n
a jest rozbieżny, stosujemy do uzasadniania rozbieżności
n
n
niektórych szeregów.
2.2 KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW
Tw. 2.2.1 (kryterium całkowe)
Niech funkcja
f
:
[
n
0
,
∞
)
→
[
0
∞
)
gdzie n 0 ∈ N , będzie nierosnąca. Wówczas
szereg ∞
= 0
∞
f
(
n
)
jest zbieżny ⇔ całka ∫
f
(
x
)
dx
jest zbieżna.
n
n
n
0
Uwaga . Reszta tego szeregu, to jest wyrażenie ∞
=
def
R
=
f
( , spełnia oszacowanie:
i
)
n
i
n
∞
∞
∫
f
(
x
)
dx
≤
R
n
≤
∫
f
(
x
)
dx
.
n
+
1
n
Fakt 2.2.2 (zbieżność szeregów postaci ∞
=1
1
)
n
p
n
Szereg ∞
=
1
jest
⎧
zbiezny
dla
p
>
1
.
n
p
rozbiezny
dla
p
≤
1
n
1
Tw. 2.2.3 (Kryterium porównawcze)
1. 0 ≤ a n ≤ b n dla każdego n ≥ n 0
2. szereg ∞
=1
b jest zbieżny ⎫ ⇒ szereg ∞
a jest zbieżny.
n
n
n
=1
n
Uwaga . Jeżeli założenie 2 ma postać „szereg ∞
=1
a jest rozbieżny”, to w tezie otrzymamy: „szereg ∞
=1
n
b jest rozbieżny”.
n
n
Tw. 2.2.4 (kryterium ilorazowe)
Niech a n , b n > 0 dla każdego n ≥ n 0 oraz niech
lim
a
n
=
k
, gdzie 0< k <∞. Wówczas
b
n
→
∞
n
szereg ∞
=1
a jest zbieżny ⇔ szereg ∞
=1
n
b jest zbieżny.
n
n
n
Tw. 2.2.5 (Kryterium d’Alemberta)
1. Jeżeli
lim
a
n
+
1 <
1
, to szereg ∞
=1
a jest zbieżny.
n
→
∞
a
n
n
n
2. Jeżeli
lim
a
n
+
1 >
1
, to szereg ∞
=1
a jest rozbieżny.
n
→
∞
a
n
n
n
Uwaga . Jeżeli zamiast założenia podanego w punkcie 2 spełniony jest warunek
a
n
a
+
1 ≥
1
dla każdego n ≥ n 0 , to szereg
n
∞
=1
a jest nadal rozbieżny. Jeżeli
lim
a
n
+
1 =
1
, to kryterium a’Alemberta nie rozstrzyga, czy szereg ∞
=1
a jest zbieżny.
n
n
→
∞
a
n
n
n
n
Np. dla ciągów
a n = ,
1
n
b n
1
= mamy
lim
a
n
+
1
=
lim
b
n
+
1
=
1
, ale szereg ∞
=1
a jest zbieżny, natomiast szereg
2
n
n
→
∞
a
n
→
∞
b
n
n
n
n
∞
=1
b jest rozbieżny.
n
n
n
n
n
4752762.007.png 4752762.008.png 4752762.009.png 4752762.010.png 4752762.011.png 4752762.012.png 4752762.013.png 4752762.014.png 4752762.015.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin