W02-PT-Kucharski.pdf

Podstawy telekomunikacji

Dr hab. inż. Andrzej Kucharski

Wykład 02

F = ∫ −∞

∞

f  t  e − j  t dt

∞

f  t = 1

2 ∫ −∞

F  e j  t d 

Zapis skrócony:

F [ f  t ]= F 

F −1 [ F ]= f  t 

F [ f 1  t  f 2  t ]= F [ f 1  t ] F [ f 2  t ]

F [ af  t ]= aF [ f  t ]

dt ] = j  F [ f  t ]

F [ ∫ f  t  dt ] = F 

[ df  t 

2 główne powody używania transformaty Fouriera

j 

f  t ⇔ F 

F  t ⇔2 f − - twierdzenie o symetrii

- symetria

f  t =cos 0 t  ,  0 jest to konkretna pulsacja

F [cos 0 t ]= ∫ −∞

∞

cos 0 t  e − j  t dt = 1

2 ∫ −∞

∞

e j  t e − j  t dt  1

2 ∫ −∞

∞

e − j  t e − j  t dt =

2 ∫ −∞

∞

e − j [ 0 ] t dt  1

2 ∫ −∞

∞

e − j [− 0 ] t dt = ∫ −∞

∞

[ 1 − j  e j  t ] −∞ ∞

e − j  t dt =

{ cos 0 t = e j  t  e − j  t

2 }

t ±∞ e − j  t =lim

t ±∞ cos t − j sin t 

f  t =1 nie da się policzyć w sposób normalny, dlatego wymyślono coś takiego jak delta

Dirack'a, tzn. pochodną skoku jednostkowego – nieskończenie duży impuls w nieskończenie małym

czasie o polu równym 1.

F [1]= ∫ −∞

∞

e − j  t dt

= 1

lim

 t  - delta Dirack'a:

∫ −∞

∞

 t  dt =1

∫ −∞

f  t  t  dt = ∫ −∞

∞

f 0 t  dt = f 0 ∫ −∞

∞

 t  dt = f 0

własnośćpróbkującadeltyDirack'a

F [ t ]= ∫ −∞

∞

 t  e − j  t dt = e − j ∗0 =1

- transformata Fouriera składowej stałej,

czyli ∫ −∞

e − j  t dt =2

czyli da się obliczyć całkę, która teoretycznie jest

nieobliczalna, a to oznacza, że

F [cos t ]= 0 − 0 

- w rzeczywistych rysunkach pomija się strzałki w deltach

Dirack'a, by nie pomylić ich z osiami.

F ⋅ H = G 

H = G 

F 

∞

- wszystko

jest w dziedzinie częstotliwości.

Jeżeli F =1 to g  t = h  t  ,

jest to odpowiedź impulsowa filtra,

gdy podana jest delta Diracka.

g  t = F −1 [ G ]= F −1 [ F ⋅ H ]= F −1 [ F ]∗ F −1 [ H ] g  t = f  t ⋅ h  t  - przebieg

czasowy charakteryzujący filtr, który nie jest sygnałem

F [ f  t ⋅ g  t ]= F [ f  t ]∗ F [ g  t ]

F ∗ G = ∫ −∞

∞

F  u  G − u  du i to jest zła wiadomość.

 1

 t  e j  1 t − e − j  1 t

2j  = 1  t sin 1 t 

h  t = 1

e j  t d = 1

2

= 1

2 ∫ − 1

jt e j  t ∣ − 1

 1

∞

- odpowiedź filtru na deltę Dirack'a w chwili czasu 0, co jest niemożliwe,

ponieważ filtr musiałby przewidzieć, że dostanie taki konkretnie sygnał.

Żeby dało się to zrobić filtry wprowadzają opóźnienia z którymi trzeba żyć.

f  t ⇔ F 

g  t =cos 0 t 

f  t cos 0 t ⇔ F ∗ =

 ∫ −∞

F  u  G − u  du = F − 0 

− 0 

Jeżeli jedno z funkcji to delta Dirack'a to wynik jest drugą z nich.

Operacja mnożenia jest niezastąpiona gdy chcemy się przesuwać po częstotliwościach.

∞

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: