15.NiepewnosciPomiarowe.doc

Kaczor Łukasz               2005-11-13

Sprawozdanie z ćwiczenia nr 15

Badanie rozkładu niepewności pomiarowych w pomiarach okresu wahań wahadła

1. Zagadnienia teoretyczne

Pomiarem fizycznym nazywamy czynności prowadzące do ustalenia wartości liczbowej miary danej wielkości. Pomiarów dokonujemy za pomocą przyrządów pomiarowych. Pomiary fizyczne dzielimy na bezpośrednie i pośrednie. Pomiary bezpośrednie wykonujemy za pomocą przyrządu pomiarowego. W pomiarach pośrednich wielkości obliczamy ze wzoru fizycznego, w którym występuje kilka wielkości mierzonych bezpośrednio.

Niepewności pomiarowe

Pomiar nigdy nie daje wartości rzeczywistej. Z tego powodu w wyniku pomiaru należy ustalić przybliżoną wartość x oraz przedział x ± Δx, który zawiera wartość rzeczywistość z dużym prawdopodobieństwem. Połowę szerokości przedziału Δx nazywa się niepewnością pomiarową.

Zazwyczaj obecność niepewności pomiarowej objawia się statystycznym rozkładem wyników. Kolejne pomiary dają nieco różniące się wartości liczbowe. Przyczyną rozrzutu statystycznego może być: natura zjawiska, definicja wielkości mierzonej, czy wpływ czynników zewnętrznych. Niepewności wnoszone przez te trzy źródła określa się wspólna nazwą niepewności przypadkowej, która jest łączną nazwą przyczynków noszonych przez: statystyczny charakter wielkości mierzonej, przybliżony charakter definicji wielkości mierzonej, niezgodność mierzonego przedmiotu z przyjętym dla niego modelem matematycznym, zmienność czynników pomijanych, które faktycznie wpływają na wynik pomiaru zmienność reakcji eksperymentatora itp.

Niepewnością obarczone są również wyniki nie wykazujące rozrzutu. W niektórych pomiarach niepewności przypadkowe są bardzo małe i kolejne pomiary dają taki sam wynik. Głównym przyczynkiem niepewności takich pomiarów jest niepewność wzorcowania Δdx. Jest ona spowodowana tym, że pomiar ostatecznie sprowadza się do porównania z wzorcem, a wzorzec obarczony jest niepewnością pomiarową. Niepewnością pomiarową obarczone są również wszystkie wartości wielkości fizycznych podanych w tablicach, podręcznikach i innych publikacjach.

Błędy pomiarowe

Poza niepewnościami istnieją również błędy pomiarowe. Błąd pomiarowy powoduje dużą rozbieżność między wynikiem pomiaru a wartością wolną od błędu, na przykład tablicową. Istnieją trzy rodzaje pomiarów:

a)      błędy przybliżenia – występują w przypadku, gdy przeprowadzający doświadczenie świadomie upraszcza sytuację eksperymentalną lub czyni poważne uproszczenia teoretyczne.
 

b)     błędy przeoczenia – (systematyczne) są spowodowane nieświadomymi uproszczeniami, na przykład przyjęciem za nieistotne działania czynników zewnętrznych (temperatury, ciśnienia, osoby eksperymentatora itp.) Błędy te są trudne do wykrycia, gdyż zazwyczaj w taki sam sposób wpływają na wszystkie wyniki serii pomiarów.

c)      błędy grube – zaliczany do nich pomyłki przy odczytywaniu lub zapisywaniu wyników, błędy wynikające z niewłaściwej obsługi przyrządów oraz niedopatrzenia, które najczęściej sprowadzają się do pominięcia wpływu czynnika istotnego dla danego zjawiska.

Każdą próbę można przybliżyć za pomocą jednej wspólnej krzywej, zwanej krzywą Gaussa lub krzywą gęstości rozkładu normalnego opisaną równaniem

W wyrażeniu tym występują dwa parametry μ i σ, charakteryzujące mierzony obiekt;
μ oznacza wartość oczekiwaną i jest liczbą określającą położenie odciętej maksimum krzywej, a σ jest odchyleniem standardowym i charakteryzuje jej szerokość, czyli odchylenia wyników od wartości μ. Wielkość P(x) jest gęstością prawdopodobieństwa wyników pomiarowych. W przypadku, gdy pewna wielkość fizyczną mierzy się wielokrotnie, wtedy każda seria pomiarów daje się przybliżyć krzywą o tych samych parametrach μ i σ.
Z reguły jednak parametry te są początkowo nieznane. W statystyce matematycznej stosuje się funkcje zwane estymatorami, które są funkcjami zmiennych losowych.

Celem rachunku błędów jest ustalenie przedziału, w którym z określonym prawdopodobieństwem jest zawarta wartość rzeczywista. Sens fizyczny, z uwagi na charakter prawdopodobieństwa, ma tylko pierwsze miejsc znaczące wyniku. W pewnych przypadkach podaje się jeszcze drugie miejsce znaczące; natomiast miejsca trzecie i następne są cyframi, które wynikły z rachunku i nie mają żadnego sensu fizycznego. Błąd obliczony do drugiego miejsca znaczącego, zaokrągla się (zawsze w górę) do pierwszego miejsca po przecinku
w przypadku, gdy na skutek zaokrąglenia wynik nie zwiększy się więcej niż o 10%. Jeżeli
w wyniku zaokrąglenia błąd zwiększy się więcej niż 10%, należy podać błąd z dokładnością do dwóch cyfr znaczących. Błędów nie można zaokrąglać w dół, gdyż w żadnym przypadku nie można obniżyć wyniku uzyskanego z obaleń. Wynik pomiaru należy obliczyć o jedno miejsce dalej niż miejsce dziesiętne, na którym zaokrąglano błąd, po czym zaokrąglamy do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrąglono błąd. Wahadło matematyczne

W doświadczeniu badamy rozkład niepewności pomiarowych przy wielokrotnym pomiarze okresu wahań wahadła matematycznego. Wahadło matematyczne jest szczególnym przypadkiem wahadła fizycznego. Wahadło to jest punktowym ciałem o masie m0 zawieszonym na cienkiej, nierozciągliwej i nieważkiej nici.

2. 
   Wykonanie ćwiczenia

1.      Przy pomocy sekundomierza zmierzono czas t pięciu wahnięć wahadła. Pomiary powtórzono 100 razy zachowując stałą wartość wychylenia początkowego wynoszącą około 3o. Wyniki zapisano w tabeli.