03 - Stabilnosc ukladow liniowych.doc

(438 KB) Pobierz

POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT AUTOMATYKI I INŻYNIERII INFORMATYCZNEJ Zakład Automatyki i Robotyki Laboratorium podstaw automatyki
		Ćwiczenie nr 3 Temat: Stabilność układów liniowych
Rok akad. 2007/2008	Michał Kaczmarek Michał Fularz		Wykonanie ćwiczenia 15.10.2007r.	Oddanie sprawozdania 22.10.2007r.
Wydział Elektryczny
Studia dzienne
Automatyka i robotyka
Grupa A1			Ocena:
UWAGI:

1. Cel ćwiczenia

Ćwiczenie ma na celu zapoznanie się z zagadnieniem określania stabilności układów liniowych ze sztywnym sprzężeniem zwrotnym na podstawie następujących charakterystyk układu otwartego: amplitudowo-fazowej, wykresów Bodego oraz wykresu Nicholasa.

2. Podstawowe wiadomości

Zawarte w skrypcie

3. Przebieg ćwiczenia

3.1 Wpływ wzmocnienia obiektów na przebieg charakterystyk częstotliwościowych

Parametry nominalne mają wartość:

· T = 6.0 s

· T1 = 7.0 s

· T2 = 3.5 s

· n = 10

Do wykreślenia charakterystyk używaliśmy trzech parametrów wzmocnienia k: 3, 9, 27.

v Obiekt dwuinercyjny z astatyzmem

Transmitancja:

Warunkiem stabilności układu jest fakt nie obejmowania punktu (-1, j0) przez charakterystykę amplitudowo-fazową. Układ jest niestabilny gdy owy punkt jest obejmowany przez charakterystykę. Ostatnią możliwością jest granica stabilności- charakterystyka przechodzi przez powyższy punkt. Na wykresie Nicholasa możemy dostrzec trzy charakterystyki przy różnych wzmocnieniach układu. Wszystkie są niestabilne gdyż obejmują punkt
(-1, j0). Charakterystyka koloru zielonego ma wzmocnienie k=27 i jest najbardziej niestabilna. Można to również dostrzec na wykresie odpowiedzi skokowej. Drgania mają charakter sinusoidalny ich amplituda rośnie- nie jest tłumiona.

v Obiekt dwuinercyjny

Transmitancja:

Układ dwuinercyjny o wylosowanych parametrach T1 = 7.0s , T2 = 3.5s oraz wzmocnieniach k=3, 9 i 27 jest zawsze stabilny. Charakterystyka na wykresie Nicholasa nie obejmuje punktu (-1, j0). Charakterystyki na odpowiedz skokowa h(t) również wskazują na stabilność układu. Amplituda drgań sinusoidalnych jest silnie tłumiona. Charakterystyka Nyquista potwierdza wcześniejsze wnioski, gdyż pokazuje, że układ o zdanych parametrach nigdy nie obejmie punktu (-1, j0). Zmieniając wartość wzmocnienia k nie wpływamy na charakterystyki Bodego w taki sposób aby wytrącić układ ze stabilności. Przy fazie 1800 zapas modułu jest równy nieskończoności- zawsze znajduję się nad 0. Wszystkie wykresy dowodzą o stabilności układu.

v Obiekt inercyjny n- tego rzędu

Transmitancja:

Na wykresie Nicholasa można dostrzec, że obiekt inercyjny 10 rzędu o T=6s jest zawsze niestabilny. Charakterystyka przechodzi powyżej punktu (-1, j0). Wykresy Bodego przy fazie 1800 nie pokazują żadnego zapasu modułu. Obejmowanie punktu „krytycznego” dobrze widoczne jest na wykresie Nyquista. Dostrzec możemy również brak tłumienia drgań amplitudy na wykresie odpowiedzi skokowej.

v Obiekt dwukrotnie całkujący z inercją

Transmitancja:

Przedstawione wykresy wskazują, że układ dwukrotnie całkujący z inercją jest zawsze niestabilny. Zmiana wzmocnienia w dosyć dużym zakresie nie powoduje zbliżenia się o granicy stabilności, ani przejścia w stabilność układu. Przebiegi na wykresie Nicholasa są znacznie ponad punktem (-1, j0). Na wykresie po prawej dobrze widać narastanie amplitudy-brak tłumienia. Jest to zjawisko połączone z niestabilnością układów. Wykresy Bodego przedstawiają, że nie istnieje takie wzmocnienie, dla którego układ posiadałby zapas fazy lub modułu. Układ jest zawsze niestabilny.

3.2 Zapas stabilności

Obiekt dwuinercyjny z astatyzmem o parametrach: k = 0.1429, T1 = 7.0 s, T2 = 3.5 s.

Transmitancja:

Charakterystyki wyznaczone dla podanych parametrów obiektu dwuinercyjnego z astatyzmem pokazują, że układ jest zawsze stabilny. Fakt ten łatwo jest zaobserwować na wykresie Nicholasa, gdzie charakterystyka leży poniżej punku (-1, j0). Odpowiedz układu na skok jednostkowy wykazuje mocne tłumienie amplitudy. Wykresy Bodego dają nam możliwość odczytania zapasu stabilności. Dla podanego układu wynoszą:

zapas modułu - Λ=9.5398 [dB]

zapas fazy - =32.6039 [0]

3.3 Metoda linii pierwiastkowych

Parametry nominalne:

· p1 = 0.01

· p2 = -2.3

· p3 = -7.4

· z1 = -0.5

· k = 3

· trzeciego rzędu z astatyzmem

Transmitancja:

Badając układ metodą linii pierwiastkowych w pierwszej kolejności należy wyznaczyć transmitancję układu zamkniętego .

Dla obiektu trzeciego rzędu z astatyzmem o zadanych parametrach ma ona postać:

Kryterium Routha:

s3	1000	-23	Dla 0<k<0,052 układ jest stabilny. Dla wzmocnienia k=0 oraz k=0,052 układ staje się niestabilny. Dla k=0 punkty oraz k=0,052 , są punktami przecięć linii pierwiastkowych z osią urojoną.
s2	2290	1000k
s1		0
s0	1000k	0