11 MODELE ATOMU.pdf

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

XI.

XI.1. ATOM WODOROPODOBNY

Atomy wodoropodobne, to pierwiastki posiadające tylko jeden elektron, np. He + , Na ++ , itd.

Energię możemy wyrazić z pomocą wzoru:

E ' = E K 1 + E K 2 + V

(XI.1)

gdzie

E K 1 – energia kinetyczna elektronu

E K 1 = p 2

(XI.1.2a)

m – masa elektronu

p – pęd elektronu

E K 2 – energia kinetyczna jadra atomowego

E K 2 = p 2

(XI.1.2b)

V – energia potencjalna (potencjał)

V =− Ze 2

(XI.1.2c)

Masa jądra atomowego M jest znacznie większa od masy elektronu m.

– 1 –

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

Rys.XI.1. Schematyczna ilustracja atomu wodoropodobnego umieszczonego w kartezjańskim układzie

współrzędnych.

Równanie Schrődingera dla atomu wodoropodobnego znajdujemy posługując się regułami

Jordana:

E '  H

p 1  p 1 , p 2  p 2 , p 3  p 3

2m  1 − ℏ 2

2m  2 − Ze 2

(XI.1.3)

H  x 1 , y 1 ,z 1 ;x 2 ,y 2 ,z 2  = E '  x 1 ,y 1 ,z 1 ;x 2 ,y 2 ,z 2  (XI.1.4)

x = x 2 − x 1

y = y 2 − y 1

z = z 2 − z 1

X = m x 1  M x 2

m  M

(XI.1.5)

m y 1  M y 2

m  M

Z = m z 1  M z 2

m  M

Y =

We wzorze (XI.1.5) współrzędne x, y, z to współrzędne względne (położenie elektronu

względem jądra lub odwrotnie).

– 2 –

H =− ℏ 2

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

separujemy zmienne:

 x, y,z,X ,Y ,Z  =  x,y,z ⋅ X ,Y ,Z 

(XI.1.6)

Ze wzorów (XI.1.3) oraz (XI.1.6) otrzymujemy:

m  M  X ,Y ,Z  =  E ' − E  X ,Y ,Z 

(XI.1.7a)

2  [ − Ze 2

r ]  x,y ,z  = E  x,y,z 

(XI.1.7b)

Równanie (XI.1.7a) opisuje ruch atomu jako całości, z energią kinetyczną równą (E' – E).

Uwaga:

 XI.1.7a =

∂ X 2 + ∂ 2

∂ Y 2 +

∂ 2

∂ Z 2

 XI.1.7b = ∂ 2

∂ x 2 + ∂ 2

∂ y 2 + ∂ 2

∂ z 2

 =  X ,Y ,Z  = exp [ i  k x x  k y y  k z z  ]

(XI.1.8)

Wyrażenie (XI.1.8a) opisuje falę płaską.

j – kąt azymutalny

J – kąt biegunowy

H  r ,  ,  = E  r ,  , 

(XI.1.9)

– 3 –

−ℏ 2

∂ 2

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

H =− ℏ 2

2

[ r 2 ∂ r  r 2 ∂ r  

r 2 sin 2 

∂ 2 

∂ 2

r 2 sin 

∂  sin  ∂  ] − Ze 2

∂

(XI.1.10)

m jest to tzw. masa zredukowana i jest ona równa:

 =

m  M

Równanie (XI.1.9) rozwiązuje się metodą separacji zmiennych czyli zakładamy, że:

 r ,  ,  = R  r 

(XI.1.11)

R – funkcja radialna

Wykorzystujemy znajomość funkcji własnej

L 2

(patrz rozdział X.5.)

 L 2 ~ℏ 2 l  l 1 

Z równania (XI.1.10) oraz wykorzystując funkcję własną

L 2

otrzymujemy:

H = ℏ 2

2  [ −1

∂ r  r 2 ∂ r   r 2 L 2

∂

] − Ze 2

(XI.1.12)

r 2

Po podstawieniu do równania (XI.1.12) wartości własnej operatora

L 2

{ ℏ 2

[ −1

∂ r  r 2 ∂ r   l  l  1 ℏ 2

] − Ze 2

}  r,  ,  = E  r,  ,  (XI.1.13)

2 

r 2

Szukamy rozwiązań postaci:

 r ,  ,  = R  r  Y  , 

(XI.1.14)

R  r  – część radialna

Y  ,  – część kątowa

Z równań (XI.1.13) oraz (XI.1.14) otrzymujemy:

2  [ −1

d r  r 2 d r   l  l 1ℏ 2

] − Ze 2

} R  r  = ER  r  (XI.1.15)

r 2

– 4 –

∂

{ ℏ 2

K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.

Równanie (XI.1.15) to równanie Laguerra

a) E ≥ 0, E jest ciągła

b) E < 0 – elektron związany – tworzy razem z jądrem atom.

{ E n }: E n =−

2 ℏ 2  n r  l 1 2 =− nZ 2 e 4

nZ 2 e 4

(XI.1.16)

2ℏ 2 n 2

Równanie (XI.1.16) to zbiór rozwiązań równania (XI.1.15) przy warunku b).

Z teorii Bohra – Sommerfelda:

E ~ 1

n 2

n – główna liczba kwantowa

l = 0,1,....,n-1 – orbitalna liczba kwantowa

R ln  r  = Cx l +1 e

− x

L n + 1

 x 

(XI.1.17)

gdzie L n + 1

2l + 1

 x  jest wielomianem Lagguera.

x = 2rZ

na H

; a H = ℏ 2

ne 2

Elektron n l L n +1

2l +1

 x 

0 L 2

 x =−1 ! na 1 orbicie

L 1 = 2x−4

L 3 =−3!

L 1 =−3x 2 + 18x−18

24x−96

−5 !

Tabela 1. Przykłady postaci wielomianu Laguerra dla kilku wartości n i l.

 nlm  r ,  ,  = Y lm  ,  R nl  r  =  m  lm  R nl  r  (XI.1.18)

– 5 –

2l +1

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: