Automaty.doc

Schemat funkcjonal typowego ukł sterow automatycz z pętlą sprzężenia zwrotnego. > zadajnik-kształtuje relacje między wielk zadaną a wielk sterow-dostarcz sygnału odniesienia dla sygnałów pozyskiwanych z pomiarowych czujników > sterownik-zapewnia stabilność ukł zamkniętemu-kształtuje relacje między wielk zadaną a wielk sterowaną -usuwa wpływ zakłóceń -usuwa wpływ niepewności wiedzy o sterowanym obiekcie Zad przestawiania oraz zad nadążania. > zad nadążania:-wielk zad zmienia się w spos permanentny, ale z reguły nie w sposób gwałtowny -zakłócenia nie mają charakteru krytyczn i, z reguły, ich wpływ może być pominięty na wstępnym etapie projektow -żądanie zapewnienia małego uchybu sterow rozciąga się na cały czas trwania sterow >zad przestawiania - wielk zad zmienia się względnie rzadko, ale w spos istotny -wpływ zakłóceń jest znaczący i nie może być pominięty -żądanie zapewnienia małego uchybu sterow może być racjonalnie formułowane(np. koszty sterow) tylko dla tych chwil czasu, które są dostatecznie odległe od momen wystąp zmiany wielk zadanej Podst. modele liniowych ob. dyn., związki między > Modele wejśc-wyjśc: -G(t)–odp impulsowa ukł dynamicz -G(s)-transmitancja ukł dynamicz >Modele w przestrzeni stanu -x'(t) = Ax(t)+Bu(t) - r-nie stanu, relacja dynamicz -y(t) =Cx(t)+Du(t) - równanie wyjścia, relacja statycz -x(t) - wektor stanu, u(t)-w. przejść, y(t)-w. wyjść > wzajemne związki: G(s)=C(sI-A)-1B+D=Cф(t)B+D Klasa równoważności podobnych modeli w przestrzeni stanu danego obiektu dynamicz. Dwa modele n wymiarowe w przestrzeni stanu nazywamy parametrycznie podob. o ile istnieje nieosobliwa macierz P € Rnxn, że: Az=P-1AxP  Bz=P-1Bx  Cz=CxP  Dz=Dx gdzie P-macierz podobieństwa Modele nazywamy podobnymi jeżeli są param. podobne oraz: ux(t) ≡ U2(t) ≡ U(t) i x(0) = P*z(0) Modele parametrycz podobne charakteryz się taką samą transmitancją operatorową oraz posiadają identyczne odp impulsowe i skokowe. Modele podobne charakter się dodatkowo: x(t) ≡ P2(t) yx(t) ≡ y2(t) ≡ y(t) Macierz fund x'(t) = Ax(t), x(t0) € Rn. wyznaczanie > Macierz fundamentalna: ф(t) = exp(A*t) Macierz fund. można wyznaczyć z operatorowego. opisu zmiennych stanu. Wychodzi z nich, że op. postać ф(s) macierzy fund. wyn: ф(s)=(sI-A)-1, natomiast macierz fund.: ф(t)=α-1[ф(s)]=α-1[(sI-A)-1]=exp(At). Diagonalizacja modelu z przestrz. stanu. Procedura > Jest to procedura w wyniku której macierz stanu przyjmuje postać macierzy diagonalnej. Elem są wart własne macierzy stanu. >Trzeba rozwiązać równ charakterystycz det(λI-A)=0, natomiast żeby otrzymać wektory własne: (A-Iλi)xi=0 > Nieosobliwa? Stabilność w sensie BIBO > Syst reprezentow przez g(t) jest stabilny w sensie Lp gdy u € Lp=>y € Lp oraz ||y||p≤c ||u||p dla pewnej stałej c≥0 oraz każdego u należącego do Lp.   przyjmując p = ∞ mamy do czynienia z L∞ - stabilnością nazywaną stabilnością w sensie BIBO (dynamicz pobudzeniu odpowiada ograniczona odp) > Kryterium:-wszystkie bieguny transm. G(s) muszą leżeć w lewej ot. półpł. pł. zesp. Stabilność asymptotyczna Ukł x'(t) = Ax(t) jest as. stabilny gdy dla dowolnych warunk. pocz. x(0) € Rn zachodzi: lim(t->∞)||x(t)||=0 Kryterium: wszystkie wart własne (λ) macierzy stanu A leżą w lewej otwartej półpł. pł. zespolonej. Stabilność wewn(totalna)> Ukł jest wewn. stabilny, gdy żadna z transm. stanowiących elem odwrotnej macierzy nie posiada biegunów w prawej domk. półpł. zesp. Układ jest wewn. stabilny gdy jest BIBO stabilny dla każdej pary wej.-wyj. dla każdej pary możliwej do wyróżnienia w ukł. >Kryterium: - wyznacznik mianownika nie posiada zer w prawej domk. półpłaszcz. płaszcz. zesp. - w liczniku nie występ skreślenia w parach zł. z zera i bieguna z prawej domknięt półpłaszcz płaszcz zespol.Uchyb sterow (regulacji). główne przyczyny pojaw się. środki ograniczaj > uchyb sterow: e(t)=r(t)-c(t)  gdzie r(t)-wielk zadana, c(t)-wielk sterow > przyczyny pojawiania się uchybów: -zakłócenia-skończone wzmocnienie prędkościowe i położeniowe / rys. r(t) ->O-e(t)-[Gc(s)]--[Gp(s)]-c(t)-- / > Ogranicz wart uchybu: -zastosow odpow. regulatora, dążenie do jak najw. Wzmocnienia Astatyzm I stopnia > to ukł(stabilny) o skończonym i niezerowym prędkościowym wzmocnieniu (kr ≠ 0) ∩(kr ≠ ∞) >schemat przykładowy (astatyzm pierwszego rzędu) kv=lim(s->∞)sGc(s)Gp(s) /rys. Gc(s)=1/s  Gp(s)=1/(s+1)/ > s. p. (brak astatyzmu) /rys. Gc(s)=1/(s+1) Gp(s)=1/(s+2)/ Dany jest ukł zamknięty z jednostkowym, ujemnym sprzężeniem zwrotnym, obejmuj tor główny złożony z szeregowo połączonych korektora Gc(s)=(s-1)/s oraz obiektu  Gp(s)=2/(s-1). Stosując podany korektor ukł zamknięty starci wewn stabilność. Istnieje bowiem zasada, że korektor nie może eliminować niestabilnych biegunów obiektu (leżących w prawej domkniętej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej). Taki spos regulacji jest nie dopuszczalny, ponieważ zgodnie z def o stabilności wewn nie może być skreśleń zer z biegunami w prawej półpłaszcz płaszcz zespolonej. Jeżeli nawet byśmy dokonali tego skreślenia to i tak układ posiada biegun w zerze, więc będzie niestabilny. Czyli regulacja jest niedopuszczalna. Dany jest model: (rys) Podaj warunki, jakie należy nałożyć na wart nastaw k oraz T, aby w tym ukł doprowadzić do zerow się ustalonego uchybu położeniowego. E(s)=k*R(s)-2C(s); C(s)=E(s)- ((1+sT)/s)*(1/s2(s+1))   stąd Gre(s)=E(s)/C(s)=k/(1+(2(1+sT)/s)*1/( s2(s+1))) zatem e(∞)=lims->0 sGre(s)R(s)= lims->0 sGre(s)*1/s= lims->0 (k/( s2(s+1)+2(1+sT)))=0 czyli k,TÎR Zas kreślenia linii pierwiastkow > l pierw. są symetryczne względem osi rzeczywistej płaszcz. zesp. > l. pierw. zaczynają się (dla k=0) w biegunach transm., zaś kończą się (dla k->∞) w zerach transm., włączając zera w niesk. > l. pierw. posiadają asymptoty o następuj właściw: - asymptoty są półprostymi wychodzącymi z centroidu C=(suma bieg.-suma zer)/(stop. mian.-stop. licznika) - kąt między asymptotami a osią rzeczywistą: φ=(r*180o)/(stop. mian.-stop. licznika)  r=+/-1, 2, 3.. k > l. pierw. na osi rzeczywistej mogą leżeć tylko na lewo od nieparzystej liczby pktów kontrolnych (rzeczywistych biegunów i zer transmitancji G0(s), licząc od pktu o największej wart) > pkty wspólne gałęzi linii pierw. (pkt spotkania i pkty odejścia) należą do zbioru rozwiązań równ: N(s)*D'(s)-N'(s)*D(s)=0 gdzie G0(s)=N(s)/D(s) > kąt odejścia  φdi  linii pierwiastkow od danego zespolonego bieguna pi dany jest wzorem: φdi = ∑φzj - ∑φpi + r*180o   gdzie  φzj(φpi) reprezentuje argument wektora poprowadz od bieguna pj (zera zi) do bieguna pi tej transmitancji > kąt odejścia φai l. pierw. od danego zespolonego zera zi transmitancji dany jest wzorem: φai=∑φpj - ∑φzi + r*180o  f) kąt odejścia  ƍdi  LP od danego zespolonego bieguna pi dany jest wzorem ƍdi=Σj ƍzj- Σj,j=i ƍpj+r180, r=-+1,-+3,..,

Uzasadnij reguły kreślenia LP (i) gdy 1+k[L(s)/M(s)] (inaczej – 1+kG0) – pierwiastki M(s)+kL(s) Jeżeli k=0 to otrzymuj M(s)=0 zatem LP zaczynają się w biegunach G0 Jeżeli k→nieskończ. to M(s)+kL(s)=0    L(s)=-[M(s)/k]   lim(k→nieskończ.)[-M(s)/k]=L(s) zatem LP kończą się w zerach Jakie wnioski płyną z orientacyjnego przebiegu linii pierw dla zadanego przykładu f przenoszenia: -można określić zakres stabilności // -można określić przeregulowania i szybkość ukł Scharakteryzuj poj dobrej określoności liniowego ukł dynamicz. Podaj prosty przykł ukł ze sprzężeniem zwrotnym, który nie jest dobrze określony. Zinterpretuj własności takiego ukł w oparciu o met linii pierwiastkowych. Aby ukł sterowania był dobrze określony (czyli realizowalny), muszą istnieć wszystkie operatorowe transmitancje zdefiniowane dla zewn sygnałów oraz dla wyróżnionych wewn sygn tego układu. Warun dobrej określoności można sformułować: mianownik ukł zamkn musi być różny od zera, czyli 1+Gp(s)Gc(s)Gs(s)≠0. Warun konieczny i wystarczający: wyznacznik 1+Gp(s)Gc(s)Gs(s) nie może być ściśle właściwą, wymierną funkcją zmiennej zespolonej s. Czyli Gp(s)Gc(s)Gs(s)≠-1.Przykł: Gp(s)=(-s+1)/(s+2) //   Gc(s)=(s+3)/(s+4)  //  Gs(s)=(s+5)/(s+6) è Gp(s)Gc(s)Gs(s)|s->∞≠-1 Omów bezpośred (w dziedzinie czasu) oraz pośrednie (w dziedzinie częstotliwości) wskaźniki jakości regulacji, odnoszące się do (i) stabilności ukł zamkniętego oraz do (ii) szybkości proces przejściowych w tym ukł. w dziedzinie czasu: -odp skokowa: h(t)=L-1[G(s)/s] – jest to odp na pobudzenie funkcją skokową (jedynką Haeviside’a) 1(t) przy zerowych war początk // -odp impuls: g(t)=L-1[G(s)] – jest to odp na pobudzenie deltą Diraca δ(t) przy zerow wart pocz. //-czas sterowania(ustalania) – TsΔ //-czas wystąpienia przeregulowania TK (czas maksi) //-współ tłumienia ζ=|lnk|/√π2+k2; w dziedzinie częstotl: -pulsacja drgań tłumionych ω0=ωn√1-ζ2= (√1-ζ2)/τ  //-pulsacja drgań nietłumionych (naturalnych) ωn=1/τ   //-pulsacja rezonansowa ωr={ ω: M(ω)=Mmax} M(ω) – amplitudowa char. //3dB pasmo przenoszenia ω3dB={ω:M(ω3dB)=M(0)/sqrt2} //-zapas wzmocnienia Mg,Δg  Mg+=20log(kmax/k0) (çodporność stabilności zamknięt ukł regulacji na wzrost odporności param k0 ukł otwartego)  Mg- =20log(k0/kmin) (çodporność stabilności zamknięt ukł w przypadku spadku wart parametru k0)  //-zapas fazy  Mp, Δp   Mp=Mp(α)=arctan((α-1)/(2*sqrt(α))) Wskaźnik jakości powinien być tak zdefiniowany, aby mierzył żądane cechy przebiegu przejściowego e(t) z dostateczną dokładnością. Nie może nim być sam uchyb e(t) ponieważ jest on funkcją czasu. Podst charakter oraz praktyczne wskaźniki opisuj człon dynamicz I rzędu ...