skrypt z algebry liniowej 1 - Patrycja Piechaczek.pdf
(
1953 KB
)
Pobierz
563094649 UNPDF
Uniwersytet Wroc“awski
Wydzia“ Matematyki i Informatyki
Instytut Matematyczny
specjalno–¢: matematyka nauczycielska
Patrycja Piechaczek
Skrypt z Algebry Liniowej 1
Praca magisterska
napisana pod kierunkiem
dr. hab. prof. Jacka
‘
wi¡tkowskiego
Wroc“aw 2007
Spis tre–ci
Wstƒp
5
1 Wiadomo–ci wstƒpne 7
1.1 O– liczbowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Uk“ad wsp
ó
“rzƒdnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Wsp
ó
“czynnik nachylenia odcinka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 R
ó
wnoleg“o–¢ i prostopad“o–¢ odcink
ó
w . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Wektory na p“aszczy„nie 13
2.1 Wektor i jego wsp
ó
“rzƒdne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Geometryczne cechy wektor
ó
w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 R
ó
wno–¢ wektor
ó
w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Dodawanie wektor
ó
w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Wektory przeciwne i odejmowanie wektor
ó
w . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Mno»enie wektora przez liczbƒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.7 W“asno–ci dzia“a« na wektorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.8 Wektory wsp
ó
“liniowe i niewsp
ó
“liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9 Rozk“ad wektora wzglƒdem dw
ó
ch r
ó
»nych
kierunk
ó
w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.10 Rozk“ad wektora wzglƒdem pary liniowo niezale»nych wektor
ó
w . . . 24
2.11 Wersory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.12 Wektor wodz¡cy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.13 R
ó
wnanie parametryczne prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Iloczyn skalarny i wyznacznik pary wektor
ó
w 31
3.1 De
nicja i w“asno–ci iloczynu skalarnego . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 K¡t miƒdzy niezerowymi wektorami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Wyznacznik pary wektor
ó
w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 R
ó
wnania krzywych 39
4.1 R
ó
wnanie krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 R
ó
wnanie og
ó
lne prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 R
ó
wnanie elipsy, paraboli, hiperboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Przesuwanie krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.5 Rozpoznawanie krzywej na podstawie r
ó
wnania oraz miejsce geome-
tryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2
5 Uk“ad r
ó
wna« 47
5.1 Uk“ad dw
ó
ch r
ó
wna« liniowych z dwiema niewiadomymi . . . . . . . 47
5.2 Algebraiczny jƒzyk teorii uk“ad
ó
w r
ó
wna« liniowych . . . . . . . . . . 49
5.3 R
ó
»ne interpretacje uk“adu dw
ó
ch r
ó
wna« liniowych z dwiema nie-
wiadomymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Przekszta“cenia p“aszczyzny 54
6.1 Przyk“ady przekszta“ce« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 Przekszta“cenia odwrotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.3 Sk“adanie przekszta“ce« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.4 R
ó
wnanie obrazu krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7 Przekszta“cenia liniowe 63
7.1 De
nicja przekszta“cenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2 Wz
ó
r przekszta“cenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3 Przyk“ady przekszta“ce« liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.4 Odwracalne przekszta“cenia liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.5 Obraz odcinka i r
ó
wnoleg“oboku przez przekszta“cenie liniowe . . . . 69
8 Przekszta“cenia a
niczne, izometrie, podobie«stwa 72
8.1 De
nicja i przyk“ady przekszta“ce« a
nicznych . . . . . . . . . . . . . 72
8.2 W“asno–ci przekszta“ce« a
nicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.3 Wyznacznik a pole
gury przekszta“canej . . . . . . . . . . . . . . . . 77
8.4 Orientacja p“aszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.5 Izometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.6 Podobie«stwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9 Klasy
kacja krzywych drugiego stopnia 85
9.1 De
nicja krzywej drugiego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2 Krzywe stopnia 2 opisane r
ó
wnaniami, w kt
ó
rych nie wystƒpuje wyraz
mieszany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.3 Krzywe stopnia 2 o r
ó
wnaniach, w kt
ó
rych wystƒpuje wyraz mieszany 88
10 Macierze 90
10.1 Przekszta“cenia liniowe w jƒzyku algebraicznym . . . . . . . . . . . . 90
10.2 Mno»enie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
10.3 Wyznacznik macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
10.4 Macierz odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
10.5 Macierzowa interpretacja uk“adu r
ó
wna« liniowych . . . . . . . . . . 100
11 Warto–ci, wektory w“asne i diagonalizacja macierzy 102
11.1 Warto–ci i wektory w“asne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
11.2 R
ó
wnanie charakterystyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
11.3 Macierze symetryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
11.4 Diagonalizacja macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
11.5 Zastosowanie diagonalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.6 Diagonalizacja ortogonalna macierzy symetrycznych . . . . . . . . . . 120
3
12 Liczby zespolone 122
12.1 De
nicja i dzia“ania na liczbach zespolonych . . . . . . . . . . . . . . 122
12.2 Interpretacja geometryczna liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . 124
12.3 Potƒgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych . . . . . . . . . . . 128
12.4 Zasadnicze twierdzenie algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.5 Sprzƒ»enie liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.6 Funkcje zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Bibliogra
a
138
4
Wstƒp
Niniejszy skrypt przeznaczony jest dla student
ó
w I roku matematyki uczƒszcza-
j¡cych na wyk“ad z algebry liniowej 1 w “atwiejszym nurcie A. Zosta“ on napisany
w oparciu o notatki prof. dr. hab. Jacka
‘
wi¡tkowskiego do tego» w“a–nie wyk“adu.
Ma s“u»y¢ Czytelnikowi w lepszym zrozumieniu pojƒ¢ omawianych na wyk“adach.
Zebrane w skrypcie wiadomo–ci s¡ opisane jƒzykiem prostym, przystƒpnym dla
student
ó
w, kt
ó
rzy dopiero wchodz¡ w –wiat matematycznych de
nicji, twierdze«
i dowod
ó
w. Dodatkowo zawarte w nim przyk“ady i ¢wiczenia wraz z pe“nymi rozwi¡-
zaniami, a tak»e liczne rysunki, jeszcze lepiej obrazuj¡ przytaczane de
nicje i fakty.
Skrypt obejmuje zagadnienia z geometrii analitycznej i algebry liniowej, lecz
ogranicza siƒ tylko do przestrzeni R
2
. Przestrzenie wy»szych wymiar
ó
w om
ó
wione s¡
w skrypcie autorstwa Barbary Szczepa«skiej
Skrypt z Algebry Liniowej 2
, bƒd¡cego
kontynuacj¡ tego skryptu. Zrozumienie tre–ci niniejszego skryptu mo»e tak»e pom
ó
c
w wyrobieniu intuicji analogicznych pojƒ¢ w wy»szych wymiarach, poznawanych
w dalszym toku nauki algebry liniowej.
Pierwsze rozdzia“y skryptu dotycz¡ geometrii analitycznej, pocz¡wszy od pojƒ¢
zupe“nie podstawowych, jak uk“ad wsp
ó
“rzƒdnych, czy wsp
ó
“rzƒdne punktu, poprzez
rachunek wektorowy, iloczyn skalarny, a» do r
ó
wna« krzywych a tak»e uk“ad
ó
w r
ó
w-
na« liniowych z dwiema niewiadomymi. W kolejnych rozdzia“ach opisane s¡ prze-
kszta“cenia p“aszczyzny, kt
ó
rych badaniem zajmuje siƒ algebra liniowa. W szczeg
ó
l-
no–ci, osobne rozdzia“y po–wiƒcone s¡ przekszta“ceniom liniowym oraz a
nicznym.
Pojƒcia zwi¡zane z przekszta“ceniami liniowymi, tj. macierze oraz warto–ci i wektory
w“asne, om
ó
wione s¡ w dw
ó
ch kolejnych rozdzia“ach. Ostatni¡ czƒ–ci¡ skryptu jest
jeszcze jedno zagadnienie zwi¡zane z p“aszczyzn¡, a mianowicie liczby zespolone i ich
geometryczna interpretacja, a tak»e funkcje zespolone odpowiadaj¡ce przekszta“ce-
niom p“aszczyzny.
Aby u“atwi¢ Czytelnikowi korzystanie ze skryptu, materia“ przedstawiony w po-
szczeg
ó
lnych rozdzia“ach podzieli“am na podrozdzia“y, w obrƒbie kt
ó
rych umieszczam
numerowane kolejno de
nicje, twierdzenia, fakty, uwagi i wnioski. Wyr
ó
»niam tak»e
pewne fragmenty tekstu (bƒdƒ nazywa¢ je punktami) umieszczaj¡c na ich pocz¡tku
nag“
ó
wek, r
ó
wnie» numerowany, informuj¡cy Czytelnika czego bƒd¡ dotyczy“y przed-
stawione ni»ej rozwa»ania. Wszystkie wa»niejsze r
ó
wnania oznaczone s¡ numerami
w nawiasach umieszczonymi z prawej strony, natomiast te z nich, kt
ó
re s¡ najistot-
niejsze wyr
ó
»nione s¡ dodatkowo znakami§po obu stronach wzoru. Je–li w pewnych
miejscach korzystam z wcze–niej wprowadzonych tre–ci, zaznaczam to poprzez po-
danie odpowiedniego numeru podrozdzia“u, punktu, faktu, r
ó
wnania itp. Przyk“ady
i ¢wiczenia umie–ci“am w ramkach, by odr
ó
»ni¢ je od pozosta“ego tekstu. Przyk“ady
stanowi¡ prost¡, bezpo–redni¡ ilustracjƒ omawianych w danym miejscu tre–ci, nato-
miast ¢wiczenia s¡ nieco trudniejsze, lub wymagaj¡ powi¡zania kilku informacji.
Mam nadziejƒ, »e skrypt oka»e siƒ pomocny dla student
ó
w, a spos
ó
b przedsta-
wienia materia“u bƒdzie zrozumia“y dla Czytelnik
ó
w.
Patrycja Piechaczek
5
Plik z chomika:
sir_matin
Inne pliki z tego folderu:
Analiza Pytlik Pochodna.pdf
(553 KB)
Analiza 1 marcinkowska.pdf
(7481 KB)
Algebra_z_Geometria-Teoria_Przyklady_Zadania_-_J.Stankiewicz__K.Wilczek.pdf
(17574 KB)
Matematyka 2 - Dobrowolska, Dyczka, Jakuszenkow.pdf
(26104 KB)
Stankiewicz.Wilczek.-.Algebra.Z.Geometria.-.Teoria.Przyklady.Zadania.pdf
(17563 KB)
Inne foldery tego chomika:
informatyka
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin