ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
Pojęcie pochodnej funkcji jest podstawowym pojęciem analizy matematycznej i ma szerokie zastosowania. Definicję pochodnej podali niezależnie od siebie Newton, w związku z rozważaniami dotyczącymi prędkości ruchu punktu materialnego, oraz Leibniz, przy rozpatrywaniu zagadnienia stycznej do krzywej.
Kinematyczną (fizyczną) interpretacją pochodnej jest prędkość chwilowa w ruchu prostoliniowym.
Przypuśćmy, że ciało porusza się po linii prostej, przebywając pewną drogę od punktu początkowego O. Prędkość średnia tego ciała w odstępie czasu wyliczmy z dobrze znanego nam wzoru
Ale jeśli byśmy chcieli znać dokładną wartość prędkości ciała w momencie t0 musielibyśmy liczyć ją, gdy przyrost czasujest znikomy, tzn. gdy , czyli
Oznacza to, że prędkość ciała w dowolnym momencie jest pochodną funkcji s(t), której wartość określa drogę przebytą w czasie t (zob. definicja pochodnej funkcji).
Definicja.
Niech dana będzie funkcja f : A→R, A⊂R. Jeżeli istnieje granica skończona
to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy najczęściej symbolem f ’(x0).
Iloraz
przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu nazywamy ilorazem różnicowym funkcji.
Wzory na pochodne wybranych funkcji znajdują się w dołączonej tablicy.
1. Interpretacja geometryczna. Równanie stycznej
Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną f ’(x0), to do wykresu tej funkcji istnieje w punkcie (x0, f(x0)) styczna o równaniu
y-f(x0)=f ’(x0)(x- x0).
Styczna ta jest granicą siecznych przechodzących przez punkty A(x0, f(x0)) oraz
B(x0+h, f(x0+h)) przy h zmierzającym do 0. Fakt ten ilustruje poniższy rysunek.
Długość odcinka BC jest równa przyrostowi wartości funkcji f odpowiadającego przyrostowi argumentu o h (długość odcinka AC). Iloraz różnicowy funkcji jest więc stosunkiem długości odcinków BC do AC. Jest on zatem równy tangensowi kąta α nachylenia siecznej AB do osi OX, co oznacza, że w sensie geometrycznym jest on równy współczynnikowi kierunkowemu siecznej AB.
Jeżeli przyrost argumentu h maleje do zera, to punkt B zbliża się do punktu A. Przy przejściu do granicy (czyli do pochodnej) punkt ten pokryje się z punktem A, a sieczna stanie się już styczną (im mniejszy przyrost argumentu h, tym bardziej sieczne zbliżają się do stycznej). Zatem pochodną w punkcie x0 możemy interpretować geometrycznie jako współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o współrzędnych (x0, f(x0)).
Przykład.
Wyznaczymy równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=3x2-5 w punkcie A(1,-2).
Zauważmy od razu, że x0=1 i f(x0)=f(1)=-2. Aby skorzystać z podanego wzoru stycznej, brakuje nam tylko wartości f’(1). W tym celu policzmy pochodną
f’(x)= 6x oraz f’(1)= 6∙1=6.
Na podstawie podanego wzoru stycznej otrzymujemy
y-(-2)=6(x-1)
czyli równane stycznej do funkcji w punkcie A(1,-2) ma postać
y=6x-8
2. Interpretacja ekonomiczna.
a) Prędkość zmian wartości funkcji .
Iloraz różnicowy
nazywamy też często przyrostem średnim albo przeciętnym funkcji f w przedziale [x0, x0+h] .
Określenie przyrost średni (przeciętny) oznacza przyrost przypadający średnio (przeciętnie) na jednostkę przyrostu zmiennej x na odcinku h. Iloraz różnicowy jest więc miarą średniej prędkości zmiany wartości funkcji f w przedziale [x0, x0+h] . Widać że zależy on zarówno od x0 jak i od h.
Przy ustalonym x0 przyrost średni można uważać za miarę reakcji (czułości) funkcji f na przyrost zmiennej liczonej od punktu x0. Gdy małym przyrostom argumentu h odpowiadają małe przyrosty wartości ilorazu różnicowego to mówimy, że funkcja nie jest czuła w danym punkcie x0 na przyrost zmiennej o h. W przeciwnym wypadku, gdy przyrost wartości ilorazu różnicowego jest znaczny, to o takiej funkcji będziemy mówić, że jest czuła.
Z dwóch funkcji których wykresy przedstawiono na rysunku, funkcja g jest bardziej czuła w punkcie x0 na przyrost h niż funkcja f.
Przechodząc w ilorazie różnicowym do granicy przy h→0, uzyskujemy oczywiście pochodną funkcji f w punkcie x0. Jest ona miarą prędkości zmian wartości funkcji w otoczeniu punktu x0 niezależną od wartości przyrostu h.
Niech K(x) oznacza funkcje kosztów, tzn. oznacza koszt całkowity wyprodukowania x jednostek pewnego produktu. Wtedy iloraz różnicowy tej funkcji oznacza koszt przeciętny wytworzenia jednostki produktu, przy zwiększeniu produkcji od x0 do x0+h. Natomiast iloraz
jest kosztem przeciętnym przypadającym na jednostkę produkcji.
Jeżeli funkcja K(x) posiada pochodną, to funkcję K’(x) nazywamy funkcją kosztów krańcowych.
Pochodna K’(x0) funkcji kosztów K(x) w punkcie x0 nazywamy kosztami krańcowymi w punkcie x0. Pochodną tę interpretujemy jako prędkość zmian kosztów przy poziomie produkcji x0.
Ponieważ
K (x0+h)- K (x0) ≈ K’(x0)∙h,
to w szczególności przyjmując h=1 mamy
K (x0+1)- K (x0) ≈ K’(x0)∙
co oznacza, że podniesienie produkcji o jedną jednostkę powoduje zwiększenie kosztów produkcji o K’(x0). Koszty krańcowe w punkcie x0 są zatem równe w przybliżeniu wartości nakładów zużytych na wyprodukowanie dodatkowej jednostki produktu w stosunku do poziomu wyjściowego x0.
Koszt całkowity wytworzenia x jednostek pewnego produktu określony jest wzorem
K(x)=2500+50x-0,01x3.
Wtedy funkcja kosztów krańcowych ma postać
K’(x)= 50-0,03x2.
Przy wysokości produkcji x=10 koszt krańcowy wynosi K’(10)= 50-0,03∙100= 47 jednostek pieniężnych, natomiast przy x=20 koszt ten jest równy K’(x)= 50-0,03∙400=38 jednostek pieniężnych.
Tak więc przybliżony koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki przy poziomie produkcji x=10 wynosi K’(10)= 47, a przy poziomie produkcji x=20 wynosi K’(20)= 38.
Można to zinterpretować, że produkcja 20 jednostek jest korzystniejsza niż 10 jednostek.
3. Elastyczność funkcji
Jeżeli mamy daną funkcję f określoną dla x>0, przyjmującą tylko dodatnie wartości i różniczkowalną w dziedzinie, to liczbę określoną wzorem
nazywamy elastycznością funkcji f w punkcie x i oznaczamy symbolem Exf.
Elastyczność funkcji f w punkcie x jest przybliżoną miarą procentowego przyrostu (wzrostu lub spadku) wartości funkcji odpowiadającemu przyrostowi argumentu x o 1%. Przy przyjętych założeniach x0>0 i f(x0)>0, czyli znak elastyczności zależy tylko od znaku pochodnej f’(x0). Stąd, elastyczność funkcji rosnącej w otoczeniu x0 jest dodatnia w punkcie x0, natomiast elastyczność funkcji malejącej w otoczeniu x0 jest ujemna.
Ustalono, Ze pomiędzy popytem y na pewne dobro a przeciętnymi dochodami miesięcznymi x ludności istnieje zależność funkcyjna
Obliczmy elastyczność dochodową na dane dobro. Łatwo sprawdzić, że
Elastyczność dochodowa popytu na dane dobro wynosi więc
Jeżeli np. x=3, to E3f = 27/30 =0,9. Zatem przy dochodzie miesięcznym równym 3 (np. 3 tysiące złotych) wzrost dochodu o 1% pociąga za sobą wzrost popytu na dane dobro o 0,9%.
Jednym z najważniejszych zastosowań pochodnej funkcji jest badanie i wyznaczanie monotoniczności funkcji oraz wyznaczanie jej największej i najmniejszej wartości (w całej dziedzinie, lub jej podzbiorze). Badanie monotoniczności funkcji za pomocą pochodnych opiera się na następującym twierdzeniu Lagrange’a.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b] i różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c∊(a, b), że
Wartość f’(c) interpretujemy jako średnią szybkość zmian wartości f(x) w przedziale [a, b]. Dlatego też twierdzenie to nosi nazwę twierdzenia o wartości średniej, lub twierdzenia o przyrostach.
Wnioski z tego twierdzenia są następujące:
1. Jeżeli pochodna funkcji f jest równa zero w każdym punkcie przedziału (a, b) to funkcja f jest stała w tym przedziale.
2. Jeżeli pochodna funkcji f jest dodatnia w każdym punkcie przedziału (a, b) to funkcja f jest w tym przedziale rosnąca.
3. Jeżeli pochodna funkcji f jest ujemna w każdym punkcie przedziału (a, b) to funkcja f jest w tym przedziale malejąca.
Zbadamy monotoniczność funkcji f(x) = 4+3x2-x3.
Funkcja ta jako funkcja wielomianowa jest różniczkowalna. Policzmy jej pochodną i zbadajmy jej znak.
Zatem funkcja rośnie w przedziale (0, 2), natomiast maleje w przedziałach (-∞, 0) i (2,∞).
Drugim bardzo ważnym zastosowaniem pochodnej funkcji jest wyznaczanie ekstremów lokalnych funkcji. Ekstremami lokalnymi funkcji nazywamy maksima i minima lokalne funkcji.
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne równe f(x0), jeżeli istnieje takie otoczenie (x0-δ, x0+δ) punktu x0, że dla każdego x∊(x0-δ, x0+δ) zachodzi nierówność
f(x)≤ f(x0) ( f(x)≥ f(x0) )
Powyższe określenia ilustrują rysunki.
Pojęcie ekstremum funkcji w punkcie jest pojęciem lokalnym odnoszącym się do małego otoczenia tego punktu i nie należy go mylić z wartością najmniejszą i największą funkcji!
Pojęcia wartość największa lub wartość najmniejsza są globalne, a więc odnoszące się do całego zbioru, w którym określona jest dana funkcja.
Funkcja f może mieć w przedziale określoności kilka minimów i maksimów lokalnych, ale tylko jedną wartość najmniejszą i największą, która nie koniecznie musi być ekstremum lokalnym.
Na przedstawionym rysunku funkcja f w punktach x1 i x3 ma maksimum lokalne, a w punktach x2 i x4 minimum lokalne. Jednocześnie zauważmy, że najmniejszą wartością tej funkcji w przedziale [a, b] jest f(a), a największą f(x1). Tak więc w przedziale [a, b] funkcja f osiąga w punkcie x=a minimum globalne (mimo, że nie jest to minimum lokalne!), a w punkcie x=x1 maksimum globalne.
Ponieważ bezpośrednio z definicji trudno jest wyznaczyć ekstremum, sformułujemy teraz twierdzenia podające warunki konieczne i wystarczające istnienia ekstremum lokalnego funkcji f w punkcie x0.
Jeżeli funkcja różniczkowalna f ma w punkcie x0 ekstremum, to f ’(x0)=0.
Twierdzenie Fermata orzeka, że warunkiem koniecznym na to, aby funkcja f różniczkowalna w punkcie x0, miała w tym punkcie ekstremum jest zerowanie się pochodnej w tym punkcie.
Zerowanie się pochodnej w pewnym punkcie nie wystarcza jednak do istnienia ekstremum, w tym punkcie czego dowodem jest poniższy przykład.
Przykład 1.
Funkcja g(x)=x3 nie ma ekstremum w punkcie x0=0 (co jest widoczne na poniższym rysunku), ale jak łatwo sprawdzić g’(0)=0.
Pojawia się wiec pytanie o warunek wystarczający istnienia ekstremum i określenia jego typu (czy jest to maksimum czy minimum). Odpowiedź jest następująca.
Warunkiem wystarczającym na to, aby funkcja f miała w punkcie x0, w którym pochodna się zeruje (f’(x0)=0) ekstremum jest zmiana znaku pochodnej w tym punkcie, przy czym jeśli pochodna zmienia znak z - na +, to funkcja ma w punkcie x0 minimum, natomiast jeśli pochodna zmienia znak z + na -, to funkcja ma w punkcie x0 maksimum.
Przykład 2.
...
asia0491