Badanie  przebiegu  zmienności  funkcji  jednej  zmiennej

Y =

DZIEDZINA

              D = R- {1}   dziedzina nie jest więc określona dla x=1

MIEJSCA ZEROWE

              Y = 0 => = 0

              X3 =0 =>x = 0

Jest jedno miejsce zerowe w punkcie (0,0)

PARZYSTOŚĆ I NIEPARZYSTOŚĆ 

f(2) = 8

f(-2)=-, więc f(x) #f(-x)  => funkcja nie jest parzysta

                                f(-x)# -f(x) =>funkcja nie jest nieparzysta

GRANICE NA KRAŃCACH DZIEDZINY  (R.H. oznacza, że korzystam z Reguły de l’Hospitala)

lim(x®¥) =R.H. lim(x®¥)=R.H.lim(x®¥)3x=+¥

lim(x®-¥) = -¥

lim(x®1-)= 1* lim(x®1-) =+¥

lim(x®1+) = +¥

ASYMPTOTY

Istnieje asymptota pionowa x=1

Asymptota ukośna

lim(x®¥) =lim(x®¥) = lim(x®¥) =lim(x®¥) =R.H.lim(x®¥) = = 1 = a

lim(x®-¥) =1

lim(x®¥) f(x)-ax =–x =lim(x®¥) = lim(x®¥) = lim(x®¥) =R.H.lim{x®¥} = =2=b

                                          y=ax+b

                                          y=x+2 => asymptota ukośna

POCHODNA

f ’(x) = = =

f ‘(x)=0 Þ x3=3x2 = 0 Þ x= 0Ú3

f ‘(x)>0 Þ xÎ(-¥,0)Ù(3,+¥) => funkcja rosnąca

f ‘(x)<0 ÞxÎ (0,3) => funkcja malejąca

DRUGA POCHODNA

f ‘’(x) = =

f ’’(x)=0 Þ6x=0Þx=0

f ‘’(x)<0 Þ xÎ(-¥,0) funkcja wypukła

f ‘’(x)>0Þ xÎ(0,+¥)  funkcja wklęsła

f ‘’(0) = 0 => punkt przegięcia (0,0)

                            f(0)=0

f ‘’(3)= >0 => minimum (3,)

                            f(3) =

y =

DZIEDZINA

                            D = R+-{1}

              Więc dziedzina nie jest  określona dla x = 1

MIEJSCA ZEROWE

              Y = 0 Þx = 0

FUNKCJA NIE JEST PARZYSTA 

GRANICE NA KRAŃCACH DZIEDZINY

lim(x®¥) =R.H. = x =+¥

lim(x®1+) =1 lim(x®1+) =+¥

lim(x®1-) = -¥

lim(x®0+) = 0

ASYMPTOTY

Istnieje asymptota pionowa x = 1

POCHODNA

f ‘(x)=

f ‘(x)=0Þ lnx=0 => x= e

DRUGA  POCHODNA

f „ (x)=

f ’’= 0 =>lnx = 2 =>x = e2

f(e2) =

Istnieje więc punkt przegięcia (e2,)

f(e) = e

f ’’(e) = >0 istnieje więc minimum w (e, e)

f ’’>0 ÞxÎ(1,+¥) wklęsła

f ’’<0 ÞxÎ(0,1)   wypukła

f ’>0 Þ xÎ(e,+¥) funkcja  rosnąca 

f ‘<0 Þ xÎ(0,1)Ù(1,e) funkcja malejąca