plaski.pdf
(
391 KB
)
Pobierz
Redukcja plaskiego ukladu wektorów
Redukcja płaskiego układu wektorów,
redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci
Twierdzenie o redukcji:
Każdy układ wektorów równoważny jest układowi złożonemu ze sumy o początku w dowolnym
punkcie O i pary o momencie równym momentowi układu względem punktu O .
Dane:
Długości wektorów:
|
P
| = 15
|
P
| = 10
| P | = 18
| P | = 12
Y
B
3
P
D
P
B
2
K
C
Punkty zaczepienia wektorów:
α
D
A ( 5,0; 1,0; 0,0 ); B ( 4,0; 3,0; 0,0 )
C ( 1,0; 1,7; 0,0 ); D ( 2,8; 1,3; 0,0 )
1
P
A
A
Kąt nachylenia wektora P do osi x
α
= 56,25
°
P
C
O
X
0
1
2
3
4
5
Współrzędne dowolnie przyjętego
punktu K ( 3,0; 2,0; 0,0 )
Rys.1
Dany układ wektorów na płaszczyźnie x y
1. Obliczenie współrzędnych wektorów
P
,
P
,
P
,
P
P = ( a
x
, a
y
, a
z
) = (
−
15,0; 0,0; 0,0 )
P = ( b
x
, b
y
, b
z
) = ( 0,0;
−
10,0; 0,0 )
P = ( c
x
, c
y
, c
z
) gdzie:
c
x
= | P|
∗
cos
α
= 18
∗
cos 56,25
°
= 10,0
c
y
=
−
|
P|
∗
cos
(90°−α) = −
18
∗
sin 56,25
°
=
−
14,97
c
z
= 0,0
P = ( 10,0;
−
14,97; 0,0 )
P = ( 0,0; 12,0; 0,0 )
Uwaga
: działania na wektorach
pr
zeprowadzamy w tabelach
zastępujemy zapisem wektora w tabeli:
P
10,0
−
14,97
0,0
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
1/6
i tak np. zapis wektora
P = ( 10,0;
−
14,97; 0,0 )
2. Redukcja danego układu wektorów w punkcie
O
2.1. Obliczenie sumy
S
układu wektorów
S
= P
+
P + P
+ P
P
-15,0
0,0
0,0
P
0,0
-10,0
0,0
P
10,0 -14,97
0,0
P
0,0
12,0
0,0
S
-5,0
-12,97
0,0
2.2. Obliczenie momentu
M
układu wektorów względem punktu
O ( 0, 0, 0 )
O
M+
(
A
)
O
M+
B
)
O
M+
(
C
)
O
M =
(
D
)
P
A
x
AO
+
P
B
x
BO
+
P
C
x
CO
+
P
D
x
DO
P
-15,0
0,0
0,0
AO
-5,0
-1,0
0,0
P
A
x
AO
0,0
0,0
15
P
0,0
-10,0
0,0
BO
-4,0
-3,0
0,0
P
B
x
BO
0,0
0,0
-40,0
P
10,0
-14,97
0,0
CO
-1,0
-1,7
0,0
P
C
x
CO
0,0
0,0
-31,97
P
0,0
12,0
0,0
DO
-2,8
-1,3
0,0
P
D
x
DO
0,0
0,0
33,6
M
0,0
0,0
-23,37
Dany układ wektorów redukuje
się
w punkcie
O
do sumy
S = ( -5,0; -12,97; 0,0 )
o początku
w punkcie
O
i pary o momencie
M = ( 0,0; 0,0; -23,37 )
równym momentowi układu względem
punktu
O
.
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
2/6
M =
(
3. Redukcja danego układu wektorów w punkcie
K
3.1 Obliczeniemomentu
M
układu wektorów względem punktu
K ( 3, 2, 0 )
M =
K
M +
(
A
)
K
M +
(
B
)
K
M +
(
C
)
K
M =
(
D
)
P
A
x
AK
+
P
B
x
BK
+
P
x
CK
+
P
D
DK
P
-15,0
0,0
0,0
P
10,0 -14,97
0,0
AK
-2,0
1,0
0,0
CK
2,0
0,3
0,0
P
A
x
AK
0,0
0,0
-15
P
C
x
CK
0,0
0,0
32,94
P
0,0
-10,0
0,0
P
0,0
12,0
0,0
BK
-1,0
-1,0
0,0
DK
0,2
0,7
0,0
P
B
x
BK
0,0
0,0
-10,0
P
D
x
DK
0,0
0,0
-2,4
M
0,0
0,0
5,54
3.2. Obliczenie momentu
M
układu wektorów względem punktu
K ( 3, 2, 0 )
korzystając z twierdzenia o zmianie bieguna
M =
M + S x
OK
M
0,0
0,0
-23,37
S
-5,0 -12,97
0,0
OK
3
2
0
S
x
OK
0,0
0,0
28,91
M
0,0
0,0
5,54
Dany układ wektorów redukuje s
ię
w punkcie
K
do sumy
S = ( -5,0; -12,97; 0,0 )
o początku
w punkcie
K
i pary o momencie
M = ( 0,0; 0,0; 5,54 )
równym momentowi układu względem
punktu
K
.
4. Obliczenie parametru
k
układu wektorów
k =
M
∗
S
=
M
∗
S
= 0
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
3/6
x
5.
Redukcja do najprostszej postaci – redukcja do wypadkowej
5.1. Wyznaczenie
parametrycznego równania osi środkowej płaskiego układu wektorów
Parametryczne równanie osi środkowej: r (r
x
, r) =
S
x
M
O
+
S
∗
t
=
OO
*
+
S
∗
t
y
2
S
Y
S
-5,0
-12,97
0,0
1
M
M
0,0
0,0
-23,37
S
x
303,109 -116,85 0,0
O
X
2
S = 5,0
2
+
12,97
2
= 193,22
S
-0,604
O*
-1
OO
=
S
x
M
O
1,569 -0,604
0,0
2
S
-2
W
r = 1,569 - 5,00
∗
t
r = -0,604 - 12,97
∗
t
x
-3
dla t = 0,0
O* ( 1,569; -0,604; 0,0 )
Po wyrugowaniu t otrzymujemy równanie
osi środkowej:
-4
oś środkowa
y = 2,594x - 4,674
-4,674
Rys.2.
Graficzne przedstawienie osi
środkowej na płaszczyźnie x y
r = 2,594
∗
−
4,674
r
x
M
układu wektorów względem punktu
O* ( 1,569; -0,604; 0,0 )
leżącego na osi środkowej korzystając z twierdzenia o zmianie bieguna
M
= M + S x
*
OO
*
M
0,0
0,0
-23,37
S
-5,0 -12,97
0,0
OO
*
1,569 -0,604
0,0
S
x
OO
*
0,0
0,0
23,37
M
*
0,0
0,0
0,0
Oś środkowa układu wektorów na płaszczyźnie jest to prosta o tej własności, że moment
układu wektorów względem dowolnego jej punktu jest równy zeru.
Dany płaski układ wektorów redukuje się do wypadkowej
W = ( -5,0; -12,97; 0,0 )
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
4/6
*
5.2. Obliczenie momentu
*
5.3. Wyznaczenie osi środkowej (prostej działania wypadkowej) z warunku
równoważności dwóch układów wektorów
Dwa układy wektorów nazywamy równoważnymi, jeżeli mają równe sumy i równe momenty
liczone względem każdego punktu.
Układ wektorów
I
Układ wektorów
II
Suma danego układu wektorów jest różna od zera
Wektor wypadkowej
W
S
=
P
+
P
+
P
+
P
≠
0
Moment układu wektorów wzgl. np. punktu O
Moment wektora wypadkowej wzgl. punktu O
M
=
M
(
P
,
P
,
P
,
P
) =
M
=
M
(
W) =
xW
≠
0
RO
P
A
x
AO
+
P
B
x
BO
+
P
C
x
CO
+
P
D
x
DO
≠
0
Układ wektorów
I
jest równoważny
układowi wektorów
II
, a zatem
S
=
W
M(P
,
P, P
,
P) = M
(
W)
Obieramy dowolny punkt R leżący na osi środkowej R ( x, y, 0 )
Obliczamy moment wektora wypadkowej M
(
W) względem punktu O:
W
-5,0 -12,97
0,0
RO
−
x
−
y
0,0
M
(
W) =
W
x
RO
0,0
0,0
5,0
∗
y
−
12,97
∗
x
M(P
,
P, P
,
P)
0,0
0,0
-23,37
Porównując odpowiednie współrzędne M(P
,
P, P
,
P) i M
(
W ) otrzymujemy
równanie osi środkowej ( prostej działania wypadkowej ):
5,0
∗
y
−
12,97
∗
x =
−
23,37
y = 2,594
∗
x
−
4,674
http://www.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka
5/6
Plik z chomika:
Dozis
Inne pliki z tego folderu:
twierdzenie.pdf
(598 KB)
redukcja dowolnego układu.pdf
(219 KB)
plaski.pdf
(391 KB)
MT_Redukcja_2011.pdf
(245 KB)
MT_Rama2.pdf
(182 KB)
Inne foldery tego chomika:
Chemia
Fizyka
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin