Rozdz_11C.pdf
(
121 KB
)
Pobierz
PrimoPDF, Job 14
w ktrej wspþczynnik przepuszczalnoĻci
[ ]
k zaleŇy wyþĢcznie od fizycznych
m
2
p
wþasnoĻci oĻrodka.
ZastħpujĢc iloraz Q s prħdkoĻciĢ filtracji V, na podstawie wzoru (11.22) mo-
Ňemy zapisaę prawo DarcyÓego w postaci
V
=
-
k
D
h
,
(11.25)
D
z
w ktrej zostaþ wprowadzony znak minus, uwzglħdniajĢcy przeciwny zwrot prħdko-
Ļci do zwrotu osi z - i nastħpnie, po przejĻciu do granicy, w postaci rŇniczkowej:
V
=
-
k
d
h
,
Ú
d
z
Í
Û
(11.26)
p
Í
Ü
h
=
z
+
.
g
Í
UoglniajĢc ten wzr, w przestrzennym ukþadzie wspþrzħdnych prostokĢtnych mo-
Ňemy napisaę
V
=
-
k
h
=
-
(
k
h
)
,
Ú
Í
x
x
x
V
=
-
k
h
=
-
(
k
h
)
,
Í
(11.27)
y
y
y
Í
Í
V
=
-
k
h
=
-
(
k
h
)
,
z
z
z
Ü
skĢd wynika, Ňe skþadowe prħdkoĻci filtracji moŇna wyrazię za pomocĢ pochodnych
czĢstkowych funkcji ,
-
k
h
V
=
j
,
V
=
j
,
V
=
j
.
x
x
y
y
z
z
Na mocy rwnania ciĢgþoĻci zagadnienie wyznaczania ruchu wd swobodnych w
jednorodnym oĻrodku porowatym (gruncie) sprowadza siħ wiħc do rozwiĢzania
rwnania LaplaceÓa
D
(11.28)
j
=
0
,
z warunkami brzegowymi zaleŇnymi od tego, czy powierzchnie ograniczajĢce sĢ
przepuszczalne, nieprzepuszczalne, czy teŇ sĢ powierzchniami swobodnymi.
Na podstawie doĻwiadczeı ustalono, Ňe ruch cieczy w oĻrodku porowatym pod-
lega liniowemu prawu DarcyÓego w zakresie maþych liczb Reynoldsa
330
Û
j zwanej
potencjaþem
prħdkoĻci
filtracji
:
=
Re
=
V
d
=
4
6
,
(11.29)
n
gdzie d
jest ĻrednicĢ ziaren oĻrodka porowatego.
ĘWICZENIA
km
wykonano model
w skali 1:10 i zbadano w tunelu wodnym. Z jakĢ prħdkoĻciĢ musi przepþywaę woda
w tunelu, aby zachowane byþo peþne podobieıstwo dynamiczne przepþywu? Tempe-
ratura wody
t = 20C.
h
W temperaturze t = 20C lepkoĻci kinematyczne powietrza i wody sĢ rwne:
n
r
= 0145
. cm s
, n
m
= 0.01cm s
2
;
z rwnoĻci liczb Reynoldsa
V
m
l
m
=
V
r
l
r
,
n
n
m
r
mamy
V V
l
l
r
m
n
n
m
r
=
0 69
. m s.
Przykþad 11.2. Z jakĢ prħdkoĻciĢ musi poruszaę siħ model statku, aby zachowa-
ne byþo podobieıstwo dynamiczne:
a) przy uwzglħdnieniu siþ lepkoĻci,
b) przy uwzglħdnieniu siþ ciħŇkoĻci.
Model jest wykonany w skali 1:10. Statek porusza siħ z prħdkoĻciĢ V
r
= 36 .
km
h
a) z rwnoĻci liczb Reynoldsa znajdujemy
V
r
=
l
m
=
1
,
V
l
k
m
r
l
skĢd obliczamy
V
m
=
k
l
V
r
=
100
m
s
,
331
Przykþad 11.1. Dla obliczenia wspþczynnika oporu samochodu wyĻcigowego
o dþugoĻci
l = 5 m i rozwijajĢcego prħdkoĻę V = 220 ,
2
=
m r
b) z rwnoĻci liczb FroudeÓa
V
2
V
2
m
=
r
g
l
g
l
m
r
mamy
V
m
=
V
r
k
1
=
3
.
15
m
s
.
l
Przykþad 11.3. PosþugujĢc siħ metodĢ analizy wymiarowej wyprowadzię zaleŇ-
noĻę strat liniowych ciĻnienia D od Ļrednicy przewodu d,
jego dþugoĻci l,
wþasno-
Ļci fizycznych cieczy: għstoĻci r i wspþczynnika lepkoĻci dynamicznej m, Ļredniej
prħdkoĻci przepþywu w poprzecznym przekroju przewodu V oraz Ļredniej chropo-
watoĻci k.
PoszukiwanĢ zaleŇnoĻę zapiszemy w postaci
D
p
=
f
(
l
, k
d
,
r
,
m
V
,
)
.
(11.30)
W zaleŇnoĻci (11.30) mamy
n=6
wielkoĻci, ktrych wymiary zawierajĢ
m=3
jednostki podstawowe:
L
,
M
,
T
.
Zgodnie z twierdzeniem p (11.18) rwnanie (11.30) moŇna przedstawię za po-
mocĢ wzoru zawierajĢcego
n m
- =3
bezwymiarowych parametrw
p
=
y
(
3
p
1
,
p
2
,
p
)
.
(11.31)
W celu wyznaczenia parametrw
p
, p
p
1
,
p
2
i
3
obieramy trzy wielkoĻci podsta-
r ktre zawierajĢ wszystkie jednostki podstawowe i sĢ od siebie
wymiarowo niezaleŇne
,
d
,
-
3
1
0
1
0
-
1
=
-
1
1
0
0
Tworzymy cztery iloczyny bezwymiarowe:
p
=
D
,
p
=
l
,
r
a
V
b
d
g
1
a
b
g
r
1
V
1
d
1
332
,
wowe, np.: ,
V
p
=
m
,
p
=
k
.
2
a
b
g
3
a
b
g
r
2
V
2
d
2
r
3
V
3
d
3
Z porwnania wykþadnikw potħg przy jednostkach podstawowych wynikajĢ na-
stħpujĢce ukþady rwnaı:
a) obliczanie parametru p:
-
1
+
3
a
-
b
-
g
=
0
,
1
-
a
=
0
,
-
2
+
b
=
0
,
b) obliczanie parametrup
1
:
1
+
3
a
1
-
b
1
-
g
1
=
0
,
-
a
1
=
0
,
b
1
=
0
,
c) obliczanie parametrup
2
:
-
1
+
3
a
2
-
b
2
-
g
2
=
0
,
1
-
a
2
=
0
,
-
1
+
b
2
=
0
,
d) obliczanie parametrup
3
:
1
+
3
a
3
-
b
3
-
g
3
=
0
,
-
a
3
=
0
,
b
3
=
0
.
Po rozwiĢzaniu tych ukþadw rwnaı otrzymujemy:
a) a b g
= = =
1 2 0
, , ,
b)
a
1
=
0
b
1
=
0
g
1
=
1
c)
a
2
=
1
b
2
=
1
g
2
=
1
d)
a
3
=
0
b
3
=
0
g
3
=
1
333
i nastħpnie bezwymiarowe parametry podobieıstwa:
p
=
D
p
,
p
=
l
,
r
V
2
1
d
p
=
m
=
1
,
p
=
k
,
2
r
V
d
Re
3
d
ktre podstawiamy do rwnania (11.31) uzyskujĢc zwiĢzek
D
=
y
Æ
Re
,
l
,
k
Ö
.
V
2
d
d
r
Ze zwiĢzku tego, przy zaþoŇeniu
y
=
l
y
Æ
Re
,
k
Ö
=
l
l
, wynika znany wzr
d
d
2
d
DarcyÓego-Weisbacha (5.22).
Przykþad 11.4. StosujĢc analizħ wymiarowĢ wyprowadzię oglne rwnanie na
ciĻnienie, wywierane na ciaþo przez ciecz.
Oglny wzr na ciĻnienie moŇna wyrazię nastħpujĢco
p
=
y
(
r
,
V
0
,
l
,
m
,
g
,
s
)
,
(11.32)
gdzie
l jest wymiarem charakterystycznym ciaþa poruszajĢcego siħ z prħdkoĻciĢ V
0
w cieczy o għstoĻci r
i lepkoĻci m, przy czym przyspieszenie grawitacyjne wynosi g,
a napiħcie powierzchniowe cieczy s.
Wybieramy bazħ skþadajĢcĢ siħ z wielkoĻci: r
, V,
L
:
[ ] [ ] [ ]
L
r
=
M
L
-
3
,
V ,
=
L
T
-
1
l
=
i sprawdzamy ich liniowĢ niezaleŇnoĻę
1 3 0
-
0 1 1
- = .
1
0 1 0
Zgodnie z twierdzeniem Buckinghama liczba bezwymiarowych iloczynw wy-
niesie: q = 4. Tworzymy wiħc kombinacje ciĻnienia p z wielkoĻciami fizycznymi
:
,
0
l
i
p
=
p
,
p
=
m
,
r
a
V
b
l
g
1
a
b
g
r
1
V
1
l
1
0
0
334
Ä
Ô
Ä
Ô
r
V
Plik z chomika:
Lilamayi
Inne pliki z tego folderu:
Rozdz_4B.pdf
(122 KB)
Rozdz_7C.pdf
(109 KB)
Rozdz_7D.pdf
(82 KB)
Rozdz_7E.pdf
(153 KB)
Rozdz_8A.pdf
(142 KB)
Inne foldery tego chomika:
hydromechanika
Mechanika płynów
Mechanika płynów 2
Mechanika Płynów 3
Mechanika płynów i Hydraulika
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin