Rozdz_10A.pdf

(166 KB) Pobierz
PrimoPDF, Job 10
10. RUCH TURBULENTNY CIECZY LEPKIEJ
10.1. StatecznoĻę rozwiĢzaı rwnaı Naviera-Stokesa
Istnienie w przyrodzie i zagadnieniach technicznych dwu rodzajw przepþyww
oznacza, Ňe stacjonarne rozwiĢzania ukþadu rwnaı rzĢdzĢcych przepþywem cieczy
lepkiej muszĢ byę traktowane jako pewnego rodzaju abstrakcja. MogĢ one realizo-
waę siħ w rzeczywistoĻci - z dokþadnoĻciĢ dostħpnĢ dla urzĢdzeı pomiarowych -
tylko wtedy, gdy sĢ s t a t e c z n e w odniesieniu do maþych przypadkowych zabu-
rzeı. Dlatego teŇ kontrola statecznoĻci tych rozwiĢzaı jest bardzo istotna.
W celu zbadania statecznoĻci rozwiĢzaı ukþadu rwnaı (8.38) zaþoŇymy, Ňe
znamy pewne jego rozwiĢzanie stacjonarne
V C
0 z
(
x
,
y
,
)
i
0 z
(
x
,
y
,
)
V C
(
x
,
y
,
z
,
t
)
,
p
(
x
,
y
,
z
,
t
)
.
Obydwie sumy:
C
C
C
V
=
V
(
x
,
y
,
z
)
+
V
(
x
,
y
,
z
,
t
)
,
p
=
p
(
x
,
y
,
z
)
+
p
(
x
,
y
,
z
,
t
)
,
0
0
muszĢ oczywiĻcie speþniaę ukþad (8.38) i zadane warunki brzegowe. Po pominiħciu
wyrazw maþych wyŇszych rzħdw ze wzglħdu na V C i
p otrzymamy ukþad rw-
naı liniowych wzglħdem maþych zaburzeı V C i :
p
C
Ú
div
V
=
0
,
Í
Û
C
( ) ( )
C
C
C
C
C
C
C
(10.1)
V
1
+
V
µ
¯
V
+
V
µ
¯
V
=
-
grad
p
+
n
D
V
,
Í
Ü
t
0
0
r
V C
Dalsze postħpowanie przy badaniu statecznoĻci rozwiĢzania stacjonarnego pole-
ga zazwyczaj na poszukiwaniu rozwiĢzania ukþadu (10.1) w postaci iloczynu roz-
wiĢzaı szczeglnych, zawierajĢcych czynnik ,
0 p
, 0
.
e w
t
gdzie
w
=
w
+
iw
jest zespolonĢ
r
u
281
p Nakþadamy na-
stħpnie na nie dowolne niestacjonarne, ale maþe zaburzenia:
ktre muszĢ speþniaę jednorodne warunki brzegowe, poniewaŇ warunki brzegowe sĢ
juŇ speþnione przez rozwiĢzanie stacjonarne
37952848.043.png 37952848.044.png 37952848.045.png
czħstoĻciĢ drgaı. JeŇeli w rozwiĢzaniu wystħpujĢ skþadniki, w ktrych
w r
>
0
,
wte-
p bħdĢ siħ zwiħkszaę z upþywem czasu; rozwiĢzanie stacjonar-
ne jest zatem niestateczne. Innymi sþowy, przepþyw ktry siħ realizuje jest przepþy-
wem turbulentnym, a rozwiĢzanie:
V C
0 , p
0
ma sens czysto formalny. JeŇeli natomiast
w r wtedy rozwiĢzanie jest stateczne w odniesieniu do rozpatrywanych
maþych zaburzeı i istnieje prawdopodobieıstwo, Ňe rozwiĢzanie takie bħdzie siħ
realizowaę w naturze (moŇe okazaę siħ, Ňe jest ono niestateczne w odniesieniu do
zaburzeı dostatecznie wielkich bĢdŅ teŇ zaburzeı innego typu).
Analiza statecznoĻci rozwiĢzaı w oglnym przypadku trjwymiarowego ruchu
cieczy lepkich napotyka na ogromne trudnoĻci natury matematycznej. Ograniczymy
siħ wiħc w dalszym ciĢgu do badania tylko takich stacjonarnych przepþyww pþa-
skich, ktre majĢ tħ wþaĻciwoĻę, Ňe obszar ich istnienia jest ograniczony w kierunku
wspþrzħdnej y
0
,
y y y
1
, (10.2)
2
od ktrej zaleŇy rwnieŇ jedyna rŇna od zera skþadowa prħdkoĻci (przykþ. 8.1) - jest
wiħc
V
0
x
=
U
(
y
)
,
V
0
y
=
0
.
(10.3)
Wwczas ukþad rwnaı (10.1) redukuje siħ do postaci:
V
V
y
Ú
x
+
=
0
,
Í
x
y
Í
V
x
+
U
V
x
+
V
d
U
=
-
1
p
+
n
D
V
,
Í
(10.4)
t
x
y
d
y
r
x
x
Í
Í
V
V
1
p
y
+
U
y
=
-
+
n
D
V
.
Í
t
x
r
y
y
Í
Ü
Po wprowadzeniu funkcji prĢdu
y okreĻlonej zwiĢzkami (6.7):
V
=
y
,
V
=
-
y
,
(10.5)
x
y
y
x
rwnanie ciĢgþoĻci jest speþnione toŇsamoĻciowo, a pozostaþe rwnania (10.4) bħdĢ
nastħpujĢce:
Ä
y
Ô
2
y
y
d
U
1
p
( ) ,
Å
Æ
Õ
Ö
+
U
-
=
-
+
n
D
y
(10.6a)
t
y
x
y
x
d
y
r
x
y
282
dy zaburzenia V C i
bħdzie
Û
37952848.046.png 37952848.001.png 37952848.002.png 37952848.003.png 37952848.004.png
Ä
y
Ô
2
y
1
p
( ) .
Å
Æ
Õ
Ö
+
U
=
+
n
D
y
(10.6b)
t
x
2
r
y
x
x
W wyniku zrŇniczkowania pierwszego rwnania (10.6) wzglħdem y, drugiego -
wzglħdem x i nastħpnie dodaniu ich stronami uzyskujemy
( ) ( )
d
2
U
y
D
y
+
U
D
y
-
=
n
D
2
y
.
(10.7)
t
x
2
x
d
y
RozwiĢzania rwnania (10.7) poszukiwaę bħdziemy w postaci
y
(
x
,
y
,
t
)
=
F
(
y
)
e
a
( t
x
-
c
)
,
(10.8)
= - staþĢ zespolonĢ oraz F( y - zespolonĢ
amplitudĢ zaburzeı. Po podstawieniu otrzymujemy liniowe rwnanie rŇniczkowe
zwyczajne czwartego rzħdu dla funkcji F( )
c
c
r c
+
i
u
y
d
4
F
d
2
F
i
a
Ë
( )
Ä
d
2
F
Ô
d
2
U
Û
-
2
a
2
+
a
4
F
=
U
-
c
Å
Æ
-
a
2
F
Õ
Ö
-
F
,
(10.9)
4
2
n
2
2
d
y
d
y
Ì
d
y
d
y
Ü
ktra musi speþniaę na granicach obszaru (10.2) jednorodne warunki brzegowe
F
=
0
,
d
F
=
0
dla
y
=
y
.
(10.10)
d
y
2
Uzyskane podstawowe rwnanie badania statecznoĻci przepþyww o prostolinio-
wych i rwnolegþych liniach prĢdu nosi nazwħ r w n a n i a O r r a i S o m m e r -
f e l d a .
Do rwnania Orra-Sommerfelda moŇna wprowadzię liczbħ Reynoldsa (1.22),
jeĻli zdefiniujemy wymiar charakterystyczny l i przyjmiemy prħdkoĻę maksymalnĢ
przepþywu U max , jako prħdkoĻę odniesienia.
Rwnanie (10.9) jest rwnaniem czwartego rzħdu, posiada wiħc cztery liniowo
niezaleŇne rozwiĢzania F , F 2 , F 3 i F 4 (sĢ one funkcjami parametrw a, Re i c ),
a rozwiĢzanie oglne tego rwnania jest ich kombinacjĢ liniowĢ
F
(
y
)
=
C
1
F
1
(
y
)
+
C
2
F
2
(
y
)
+
C
3
F
3
(
y
)
+
C
4
F
4
(
y
)
,
(10.11)
gdzie C , C , C 3 i C 4 sĢ staþymi.
Staþe C , ... , C 4 muszĢ byę tak dobrane, aby rozwiĢzanie (10.11) speþniaþo jed-
norodne warunki brzegowe (10.10). W takim razie muszĢ one speþniaę nastħpujĢcy
algebraiczny ukþad rwnaı jednorodnych:
283
i
w ktrej a jest liczbĢ falowĢ ,
Ê
Ú
37952848.005.png 37952848.006.png 37952848.007.png 37952848.008.png 37952848.009.png 37952848.010.png
Ã
4
Ú
C
F
(
y
)
=
0
,
Í
Û
i
i
1
2
=
1
(10.12)
4
Í
Ü
Ã
C
F
(
y
)
=
0
,
i
i
1
2
Í
=
1
gdzie
F
=
dF
d
y
,
ktrego wyznacznik
F F
( )
y y y y
2 1
( )
F
3 1
( )
F
4 1
( )
F F
( )
y y y y
2 1
( )
F
3 1
( )
F
4 1
( )
= 0 (10.13)
F F
( )
y y y y
( )
F
( )
F
( )
1 2
2 2
3 2
4 2
F F
( )
y y y y
2 2
( )
F
3 2
( )
F
4 2
( )
musi znikaę, jeĻli (10.11) ma byę nietrywialnym rozwiĢzaniem rwnania Orra
i Sommerfelda. Rwnanie wynikajĢce z warunku znikania wyznacznika (10.13)
nazywa siħ r w n a n i e m w i e k o w y m .
Rys. 10.1
Rwnanie wiekowe bħdzie mieę w rozpatrywanym przypadku nastħpujĢcĢ postaę
F a c
( , Re, ) ,
= 0 (10.14)
moŇemy wiħc zastĢpię je ukþadem dwu rwnaı:
c
u
=
F
u
(
a
,
Re)
,
c
r
=
F
r
(
a
,
Re)
.
(10.15)
PodstawiajĢc c u = 0 w pierwszym z nich uzyskamy zaleŇnoĻę
F a
u ( , Re) ,
= 0 (10.16)
284
i
i
1 1
1 1
1 2
37952848.011.png 37952848.012.png 37952848.013.png 37952848.014.png 37952848.015.png 37952848.016.png 37952848.017.png 37952848.018.png 37952848.019.png 37952848.020.png 37952848.021.png 37952848.022.png 37952848.023.png 37952848.024.png 37952848.025.png 37952848.026.png 37952848.027.png 37952848.028.png 37952848.029.png 37952848.030.png 37952848.031.png 37952848.032.png 37952848.033.png 37952848.034.png 37952848.035.png 37952848.036.png 37952848.037.png 37952848.038.png 37952848.039.png 37952848.040.png 37952848.041.png 37952848.042.png
ktrej odpowiada w pþaszczyŅnie (a , Re) tzw. k r z y w a r w n o w a g i o b o -
j ħ t n e j (rys. 10.1). Krzywa ta oddziela obszar statecznoĻci badanego ruchu stacjo-
narnego
a (10.17)
c
<
0
od obszaru niestatecznoĻci
a (10.18)
c
>
0
.
a = dla c u = 0,
okreĻla jĢ wiħc pionowa styczna do krzywej rwnowagi obojħtnej.
a
Re
*
Na podstawie przedstawionych rozwaŇaı wnioskujemy, Ňe rozwiĢzania rwnaı
laminarnej warstwy przyĻciennej mogĢ opisywaę przepþywy rzeczywiste tylko
w przypadku gdy sĢ stateczne wzglħdem maþych zaburzeı. JeĻli ponadto utrata sta-
tecznoĻci wystĢpi przed hipotetycznym oderwaniem laminarnej warstwy przyĻcien-
nej, to wpþynie to w sposb istotny na charakter przepþywu. W szczeglnym przy-
padku punkt utraty statecznoĻci warstwy laminarnej i punkt jej oderwania mogĢ siħ
pokrywaę.
Ruch w pþaskiej laminarnej warstwie przyĻciennej moŇna zaliczyę do klasy ru-
chw, ktrych statecznoĻciĢ rzĢdzi rwnanie Orra i Sommerfelda. W przybliŇeniu
jest bowiem speþnione zaþoŇenie (10.3), gdyŇ skþadowa V x sþabo zaleŇy od x, a skþa-
dowa V y jest maþa w porwnaniu z .
V Pozostaje wiħc tylko sformuþowanie sto-
x
sownych warunkw brzegowych.
Na Ļciance zaburzenia ruchu znikajĢ, obowiĢzujĢ wiħc rwnieŇ w tym przypadku
jednorodne warunki brzegowe (10.10). Natomiast na granicy warstwy postuluje siħ
zwykle rwnoĻę zaburzeı ruchu lepkiego i zaburzeı ruchu nielepkiego, stanowiĢce-
go przepþyw jednorodny.
Po podstawieniu n = 0 w rwnaniu (10.9) otrzymamy rwnanie dla amplitudy j
zaburzeı ruchu nielepkiego
d
2
j
-
a
2
j
=
0
,
(10.19)
d
y
2
ktrego interesujĢce nas rozwiĢzanie (speþniajĢce postulat zanikania zaburzeı wraz
ze wzrostem odlegþoĻci od Ļcianki) jest nastħpujĢce
j
=
C -
e
a
y
.
(10.20)
285
Krytycznej liczbie Reynoldsa odpowiada minimum funkcji ( )
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin