MP-przyk2.pdf

(245 KB) Pobierz
TEMAT:Ramê pokazan¹ na rysunku rozwi¹zaæ metod¹ przemieszczeñ
MP – przykład 2 – rama o siatce nieortogonalnej – rozwiązanie z wykorzystaniem bppo
ROZWIĄZANIE RAMY METODĄ PRZEMIESZCZEŃ
Ramę pokazaną na rysunku rozwiązać metodą przemieszczeń. Dokonać kontroli rozwiązania.
Przyjąć:
M = P*m.
q
P
M
2EI
4 m
3 m
3 m
2 m
2 m
1. STOPIEŃ GEOMETRYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI
Podział układu na elementy, dla
których dane są wzory
transformacyjne
s - s
s - p
1
2
B
s - s
A
s - s ; element "sztywno - sztywny"
s - p ; element "sztywno - przegubowy"
1, 2 ; węzły sztywne łączące przyjęte elementy
Z przyjętego podziału na elementy wynika, że:
– dla pręta A-1 i pręta 1-2 stosować będziemy wzory transformacyjne w postaci
M
=
EI
L
ij
(
4
⋅ + ⋅ − ⋅ +
ϕϕψ
2
6
)
M
o
,
ij
i
j
ij
ij
ij
– dla pręta 2-B stosować będziemy wzór transformacyjny w postaci
M
=
EI
L
2
B
(
3
⋅ + − ⋅ +
ϕ
0 3
ψ
)
M
o
,
2
B
2
2
B
2
B
2
B
2
gdyż końce przyjętych elementów połączone są w 2 węzłach sztywnych (oznaczonych jako 1
i 2) , mających swobodę obrotu.
ϕ =
Wyznaczenie liczby stopni swobody przesuwu węzłów n
δ
Model układu o węzłach przegubowych
B
1
2
A
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
1
q = P/m,
– liczba stopni swobody obrotu węzłów wynosi n
21042917.034.png 21042917.035.png 21042917.036.png 21042917.037.png 21042917.001.png 21042917.002.png 21042917.003.png
MP – przykład 2 – rama o siatce nieortogonalnej – rozwiązanie z wykorzystaniem bppo
2 =2*5 - 4 - 4 = 2,
gdzie w - liczba węzłów,
p - liczba prętów w modelu,
r - liczba więzi podporowych.
Wynika stąd, że aby model
układu był geometrycznie niezmienny
należy dodać, co najmniej 2 więzi.
Należy sprawdzić czy dodanie 2
więzi wystarczy. Jak widać na
rysunku obok dodanie 2 więzi (I i II)
przekształciło przyjęty model w układ
geometrycznie niezmienny. Oznacza to, że liczba stopni swobody przesuwu wynosi n
δ ≥⋅−−
B
2
I
1
II
A
δ =
2 .
Stopień geometrycznej niewyznaczalności wynosi, więc nnn
g
=+=
ϕ δ
2 + 2.
2. UKŁAD PODSTAWOWY
Układ podstawowy
tworzymy z układu danego przez
dodanie n
q
P
B
2
I
więzi rotacyjnych i n
ϕ
δ
M
1
więzi translacyjnych (w naszym
przykładzie 2 więzi rotacyjne i 2
translacyjne) co przekształca dany
układ w układ geometrycznie
wyznaczalny pokazany na rysunku
obok.
II
4 m
A
3 m
3 m
4 m
3. ROZWIĄZANIA UKŁADU PODSTAWOWEGO
DLA SKŁADOWYCH STANÓW OBCIĄŻEŃ
3.1 DANE
q = P/m,
M P m
=⋅
, M 1 0
=
,
MMP m
o
2
=− =− ⋅
,
L m
A 1 5
=⋅
, L m
12 3
=⋅
, L m
2
B
=⋅
4
EI EI
1
A
=⋅
, EI EI
12 1
=⋅
, EI
2
B
=⋅
2
EI
3.2 STAN OBCIĄŻENIA DANEGO (
ϕ ϕ δ δ
====
I
II
0
)
Należy pamiętać, że poszczególne stany obciążeń rozpatrujemy rozłącznie, to jest, że stanowi obciążeń
danych towarzyszy
ϕ ϕ δ δ
====
I
II
0
a to oznacza, że do wzorów transformacyjnych
ij
Dla elementów przyjętych w punkcie 1 momenty brzegowe odczytujemy z tablic lub
otrzymujemy w wyniku rozwiązania metodą sił. Obciążenia działające na poszczególne elementy i
wykresy momentów zginających pokazano na rysunku poniżej. Pokazano także siły równoważne
działającym obciążeniom sprowadzone do końców prętów
ϕ ϕ ψ
===
0
2
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
Liczba stopni swobody przesuwu spełnia warunek
n wp r
1
1 2
1 2
podstawiamy
1 2
21042917.004.png 21042917.005.png 21042917.006.png 21042917.007.png 21042917.008.png 21042917.009.png
MP – przykład 2 – rama o siatce nieortogonalnej – rozwiązanie z wykorzystaniem bppo
q
M
P
B
1
2
3 m
4 m
4 m
A
3 m
Moment M obciąża węzeł 2. Nie jest, więc uwzględniany jako obciążenie żadnego pręta.
Momenty brzegowe odpowiednio wynoszą:
MM qm
=− = ⋅
()
2
o
1 1
o
=
0.75 P m,
MM
1 1 0
o
+ =
o
A
A
A
A
M
o
2
=− ⋅ ⋅
34
16
Pm
=
- 0.75 P m, M o 2
=
0
,
MM Pm
o
+ = − ⋅ ⋅
o
075
.
B
2
B
B
2
MM
o
=− =
o
0
,
MM
o
+ =
o
0
12
21
12
21
3.3 STAN
I II oraz obciążenie dane =0)
Do wzorów transformacyjnych podstawiamy:
ϕ 1 1
=
(
ϕ δ δ
2
===
0
ϕ 1 1
=
,
ϕψ
2
===
ij
o M
ij
0
Momenty brzegowe wynoszą:
(
1 1
= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + = ⋅
EI
L
A
4 1 20 60 0
)
4
5
EI
m
,
1
A
1
A
M
1 1
= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + = ⋅
EI
L
A
(
40 21 60 0
)
2
5
EI
m
,
MM EI
m
1
+ = ⋅
1 6
5
A
1
1
A
A
1
1
A
M
1 12
= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + = ⋅
EI
L
(
4 1 20 60 0 4 3
)
EI
m
⋅ =⋅
4
3
EI
m
,
12
M
1 12
= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + = ⋅
EI
L
(
40 21 60 0
)
2
3
EI
m
,
MM EI
m
1
+ = ⋅
1
2
21
12
12
12
M
1 2
=
EI
L
B
⋅ ⋅ + − ⋅ + =
(
30 0 30 0 0
)
, M B 2
1
=
0
,
MM
1
+ =
1
0
2
B
2
B
B
2
2
B
3.4 STAN
I II oraz obciążenie dane =0)
W tym stanie do wzorów transformacyjnych podstawiamy:
ϕ
2 1
=
(
ϕ δ δ
1
===
0
ϕ
2 1
=
,
ϕψ
1
===
ij
o M
ij
0
Momenty brzegowe wynoszą:
M
2 1
= ⋅ ⋅+⋅−⋅+=
EI
L
A
(
40 20 60 0 0
)
,
1
A
1
A
M
2 1
= ⋅ ⋅+⋅−⋅+=
EI
L
A
(
40 20 60 0 0
)
,
MM
2
+ =
2
0
A
1
A
1
1
A
1
A
M
12
2 12
= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + = ⋅
EI
L
(
40 21 60 0 2 3
)
EI
m
⋅ =⋅
2
3
EI
m
,
12
M
2 12
= ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + = ⋅
EI
L
(
4 1 20 60 0
)
4
3
EI
m
,
MM EI
m
2
+ = ⋅
2
2
21
12
21
12
M
2
= ⋅ ⋅ + − ⋅ + = ⋅
EI
L
2
B
(
3 1 030 0 3 2
4
)
⋅
⋅ =⋅
EI
m
15
.
EI
m
, M B 2
2
=
0
, MM EI
m
2
+ = ⋅
2
15
.
2
B
2
B
B
2
2
B
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
3
3
12
M
12
21042917.010.png 21042917.011.png 21042917.012.png 21042917.013.png 21042917.014.png 21042917.015.png 21042917.016.png
MP – przykład 2 – rama o siatce nieortogonalnej – rozwiązanie z wykorzystaniem bppo
3.5 STAN
II oraz obciążenie dane =0)
W tym stanie do wzorów transformacyjnych podstawiamy:
δ
I
=
1 (
ϕ ϕ δ
1 2
===
0
ϕϕ
1 2
===
M i o
0
oraz kąty obrotu
( )
cięciw prętów
ψ
ij
I
określone od przemieszczenia
δ
I
=
1.
W celu wyznaczenia szukanych
kątów obrotu cięciw prętów
rozpatrujemy przegubowy
model układu z dodanymi
więziami translacyjnymi i
wymuszamy przesunięcie o
wartości 1 w miejscu i kierunku
dodanej więzi I. Wartości
wzajemnych przesunięć końców
prętów można wyznaczyć
sporządzając biegunowy plan
przesunięć obróconych. Układ
odkształcony i biegunowy plan
przesunięć obróconych pokazano na rysunku obok.
Wartości wzajemnych przesunięć końców prętów i kątów obrotów cięciw wynoszą:
1
1
δ I
=
1
2
B
1
3/4
II
C
A, 1, 2, B, C
A', C'
A
5/4
δ I
=
1
1'
B', 2'
3/4
5
4
∆
I
5
45
1
∆
I
1 1
=+ ′′=+
A
(„+” gdyż obrót pręta w prawo),
ψ
I
= = + ⋅⋅ =+ ⋅
1
A
A
1
A
L
m m
4
1
A
3
4
∆
I
3
43
1
∆
I
12 1 2
=− ′′=−
(„-” gdyż obrót pręta w lewo),
ψ
I
= = − ⋅⋅ =− ⋅
12
12
L
m m
4
12
∆
I
∆
I
= ′′=
2
B
0
ψ
I
L = =
2
B
0
2
B
2
B
2
B
Momenty brzegowe wynoszą:
MM EI
L
I
= = ⋅
I
1
A
40 20 6 1
4
⋅ + ⋅ − ⋅
+=− ⋅
0
3
10
EI
m
, MM EI
m
I
1 1 2
I
+ = − ⋅
3
5
1 1
A
A
⋅
m
2
A
A
1
A
MM EI
L
I
= = ⋅
I
12
40 20 6
⋅ + ⋅ − ⋅ −
1
+=⋅
0 1
2
EI
m
, MM EI
m
I
+ = ⋅
I
1
12
21
4
⋅
m
2
12
21 2
12
M
I
=
EI
L
2
B
⋅ ⋅ + − ⋅ + =
(
3 1 030 0 0
)
, M B 2
2
=
0
,
MM
2
+ =
2
0
2
B
2
B
B
2
2
B
3.6 STAN
I oraz obciążenie dane =0)
W tym stanie do wzorów transformacyjnych podstawiamy:
δ
II
=
1 (
ϕ ϕ δ
1 2
===
0
ϕϕ
1 2
===
M i o
0
oraz kąty obrotu
( )
1.
W celu wyznaczenia szukanych kątów obrotu cięciw prętów w przegubowym modelu układu z
dodanymi więziami
translacyjnymi wymuszamy
przesunięcie o wartości 1 w
miejscu i kierunku dodanej
więzi II. Układ odkształcony i
biegunowy plan przesunięć
obróconych pokazano na
rysunku obok.
ψ
ij
II
określone od przemieszczenia
δ
II
=
1
2
B
I
II
δ II =
1
A, 1, 2, B
δ
II
=
1
2'
A', 1', B'
A
4
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
cięciw prętów
21042917.017.png 21042917.018.png 21042917.019.png 21042917.020.png 21042917.021.png 21042917.022.png
MP – przykład 2 – rama o siatce nieortogonalnej – rozwiązanie z wykorzystaniem bppo
Wartości wzajemnych przesunięć końców prętów i kątów obrotów cięciw wynoszą:
∆
II
∆
1 1 0
= ′′=
A
,
ψ
II
L = =
1
A
0
A
1
A
1
A
∆
II
1
∆
12 1 2 1
=+ ′′=+
( „+” gdyż obrót pręta w prawo),
ψ
II
= = +
12
12
L
3
⋅
m
12
∆
II
1
∆
II
=− ′′=−
2 1
B
( „-” gdyż obrót pręta w lewo),
ψ
II
= = −
2
B
2
B
2
B
L
4
⋅
m
2
B
Momenty brzegowe wynoszą:
MM EI
L
II
= = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + =
II
1
A
(
40 20 60 0 0
)
,
MM
1 1 0
II
+ =
II
,
1 1
A
A
A
A
1
A
MM EI
L
II
= = ⋅
II
12
40 20 6 1
3
⋅ + ⋅ − ⋅
+=−⋅
0
2
3
EI
m
,
MM EI
m
II
+ = − ⋅
II
4
3
12
21
⋅
m
2
12
21 2
12
M
II
= ⋅ ⋅ + − ⋅ −
EI
L
2
B
3 1 03
1
+=⋅
0
3
8
EI
m
, M II 2 0
=
, MM EI
m
II
+ = ⋅
II
3
8
2
B
4
⋅
m
2
2
B
B
2
2
2
B
4. UKŁAD RÓWNAŃ
4.1 POSTAĆ OGÓLNA
k
11 1 122 1 1 1
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +=
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +=
⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + =
ϕ
k
ϕ
k
I
δ
I
k
II
δ
II
k
o
0
0
0
,
k
211 22
ϕ
k
ϕ
2
k
2 1 2
I
δ
I
k
II
δ
II
k
o
,
k
I
11 22
ϕ
k
I
ϕ
k
I I
,
δ
I
k
I II
,
δ
II
k
Io
,
k
II
11 22
ϕ
k
II
ϕ
k
II I
,
δ
I
k
II II
,
δ
II
k
IIo
0
4.2 WSPÓŁCZYNNIKI
k Mk MM
=
∑
1
+ = + + =
ϕ
1
1
0
4
5
+
4
3
⋅ =⋅ = ⋅
EI
m
32
15
EI
m
2133333
.
EI
m
,
11 1
j
1 1
A
12
j
k M
12 12
= =
2
2
3
⋅ = ⋅
EI
m
0 666666667
EI
m
k MMM
I I
1 1 1 12
=
∑
I
= + =
−+
3
10
1
2
⋅ =⋅
EI
m
02
.
EI
m
I
j
A
2
2
j
k MMM
II II
1 1 1 12
=
∑
II
= + =
0
−
2
3
⋅ =− ⋅
EI
m
0 66666667
.
EI
m
II
j
A
2
2
j
k MMMM
1 1 1 1 12 0
=
∑
o
− = + − =
o
o
o
(
075 0
.
+⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
)
Pm Pm
075
.
o
j
A
j
k M
21 21
= =
1
2
3
⋅ = ⋅
EI
m
0 666666667
EI
m
= k 12
k Mk MM
=
∑
2
+ = + + =
ϕ
2
2
0
4
3 15
+
.
⋅ =⋅ = ⋅
EI
m
17
6
EI
m
2 8333333
.
EI
m
22
2
j
2
21
2
B
j
k MMM
=
∑
I
= + =
I
I
(
05 0
.
+⋅ = ⋅
)
EI
m
05
.
EI
m
2
I
2
j
21 2
B
2
2
j
k M M M
=
∑
II
= + =
II
II
−+
2
3
3
8
⋅ =−⋅ =− ⋅
EI
m
7
24
EI
m
0291667
.
EI
m
2
II
2
j
21 2
B
2
2
2
j
http://www.iil.pwr.wroc.pl/zukowski
5
II
II
.
.
21042917.023.png 21042917.024.png 21042917.025.png 21042917.026.png 21042917.027.png 21042917.028.png 21042917.029.png 21042917.030.png 21042917.031.png 21042917.032.png 21042917.033.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin