P_Met_Energ-profaska.pdf

(483 KB) Pobierz

224647907 UNPDF

203

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Zadanie 8.4.1

Obliczyć maksymalne ugięcie belki przedstawionej na rysunku (8.2). Do obliczeń

przyjąć następujące dane:

q = 10

kN

m

, l = 1 [m], E = 2 ·10 7 [Pa], d = 4 [cm], P = ql.

W obliczeniach pominąć wpływ siły poprzecznej T.

Rys. 8.2

Rozwiązanie:

Energia sprężysta przedstawionego układu zależy od funkcji momentu zginającego (siły

normalne i momenty skręcające nie występują).

Zgodnie z twierdzeniem Castigliano współrzędna uogólniona przemieszczenia p i

odpowiadająca sile uogólnionej P i , jest równa pochodnej cząstkowej energii sprężystej U

danego układu względem tej siły (dla stałej sztywności zginania EJ ).

p i = δU

δP i = 1

EJ Σ

M gi · δM gi

δP i

d xi

l i

Maksymalne ugięcie dla belki wystąpi w punkcie przyłożenia siły P , więc siłą

uogólnioną odpowiadającą maksymalnemu przemieszczeniu (ugięciu) będzie siła P .

Funkcja momentu zginającego oraz pochodna cząstkowa momentu zginającego podług

siły P (rys. 8.3) wynosi dla:

0 ≤ x ≤ l

M g = - Px - 1

2 ·qx 2 ,

stąd:

δM g

δP i = - x

224647907.051.png

224647907.054.png

224647907.055.png

224647907.056.png

224647907.001.png

224647907.002.png

224647907.003.png

224647907.004.png

224647907.005.png

204

Rys. 8.3

Maksymalne ugięcie wynosi:

p max = 1

l

M g · δM g

dx = 1

l

- Px - 1

EJ

EJ

2 ·qx 2

(- x) dx

δP

0

0

p max = 11ql 2

24EJ

Po wstawieniu danych z tematu zadania oraz przyjęciu, że:

J = πd 4

64 = π(4) 4

64

J = 12,56 [cm 4 ],

otrzymamy:

p max = 1,82 [cm].

Zadanie 8.4.2

Obliczyć ugięcie w punkcie A belki o sztywności EJ przedstawionej na rysunku 8.4.

Wpływ sił poprzecznych na ugięcie belki pominąć.

Dane: q. L. EJ.

Rys. 8.4

224647907.006.png

224647907.007.png

224647907.008.png

224647907.009.png

224647907.010.png

224647907.011.png

224647907.012.png

224647907.013.png

224647907.014.png

224647907.015.png

224647907.016.png

224647907.017.png

205

Rozwiązanie:

W celu wyznaczenia ugięcia belki w punkcie A , przykładamy siłę fikcyjną P * = 0

(rys. 8.5), o kierunku szukanego przemieszczenia. Funkcje wielkości sił wewnętrznych

(momentów zginających) w poszczególnych przedziałach wynoszą odpowiednio:

Rys. 8.5

0 ≤ x 1 ≤ l

M g1 = - P * x 1 – q · x 2 1

2

,

l ≤ x 2 ≤ 2l

M g2 = - P * x 2 – ql x 2 - 1

2 ·l – K,

2l ≤ x 3 ≤ 3l

M g3 = - P * x 3 – ql x 3 - 1

2 ·l – K – P(x 3 – 2l).

Pochodne cząstkowe podług siły fikcyjnej P * wynoszą:

δM g1

δP * = - x 1 ,

δM g2

δP * = - x 2 ,

δM g3

δP * = - x 3 .

Ugięcie w punkcie A wynosi więc:

224647907.018.png

224647907.019.png

224647907.020.png

224647907.021.png

224647907.022.png

224647907.023.png

224647907.024.png

224647907.025.png

224647907.026.png

224647907.027.png

224647907.028.png

224647907.029.png

224647907.030.png

206

p A = 1

l

M g1 · δM g1

2l

M g2 · δM g2

3l

M g3 · δM g3

EJ

δP * dx 1 +

δP * dx 2 +

δP * dx 3

0

l

2l

Po wstawieniu odpowiednich wartości liczbowych i scałkowaniu otrzymamy:

p A = 579ql 2

24EJ

.

Zadanie 8.4.3

W jakiej odległości a od końca pręta (rys. 8.6), należy przyłożyć siłę aby

przemieszczenie punktu A było równe zero ?.

Dane: P, l, EJ = const.

Rys. 8.6

Rozwiązanie:

Aby obliczyć przemieszczenie punktu A , przykładamy w tym punkcie fikcyjną siłę P * o

wartości równej zero (rys. 8.7). Wartości momentów zginających w poszczególnych

przedziałach ramy wynoszą odpowiednio:

0 ≤ x 1 ≤ a

M g1 = 0

a ≤ x 2 ≤ 2l

M g2 = - P(x 2 – a)

0 ≤ x 3 ≤ l

M g3 = - P(2l – a)

0 ≤ x 4 ≤ 2l

224647907.031.png

224647907.032.png

224647907.033.png

224647907.034.png

224647907.035.png

224647907.036.png

224647907.037.png

224647907.038.png

224647907.039.png

224647907.040.png

224647907.041.png

224647907.042.png

224647907.043.png

207

M g4 = - P(2l – a – x 4 ) – P * x 4

Rys. 8.7

Pochodne cząstkowe podług siły fikcyjnej P * wynoszą odpowiednio:

δM g1

δP * = 0,

δM g2

δP * = 0,

δM g3

δP * = 0,

δM g4

δP * = - x 4 ,

czyli ugięcie w punkcie A będzie wynosiło:

p A = 1

l

EJ

[P(2l - a - x 4 )] ( - x 4 ) dx 4

0

EJ 2a - 4

3 l .

Ugięcie punktu A będzie równe wtedy zero, kiedy siła P będzie przyłożona w odległości a :

a = 2

Zadanie 8.4.4

Zaprojektować przekrój stalowej belki zamocowanej i obciążonej jak na rysunku (8.8)

wiedząc, że dopuszczalne maksymalne ugięcie może wynosić p dop = 0,25 [cm].

p A = P

3 l (od swobodnego końca belki).

224647907.044.png

224647907.045.png

224647907.046.png

224647907.047.png

224647907.048.png

224647907.049.png

224647907.050.png

224647907.052.png

224647907.053.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

sam_rama.ppt (839 KB)
sam_belka.ppt (1266 KB)
rozciaganie-profaska.pdf (248 KB)
rama.zip (397 KB)
problemy_stateczności-profaska.pdf (683 KB)

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin