Zmienne losowe wielowymiarowe

Dana jest przestrzeń probabilistyczna (W,S,P).W tej przestrzeni zdefiniowane sa zmienne losowe X1+X2+...+Xn takie, że  Xi: W ® R

Definicja 10.1 ( Wektor losowy)

Uporządkowaną n-kę (X1,X2,...,Xn) nazywamy n-wymiarową zmienną losową lub wektorem losowym i oznaczamy X=(X1,X2,...,Xn) (uporządkowany układ zmiennych losowych)

(W,S,P) – p.p.

X: W ® R

(R,B(R),PX)

X=(X1,X2,...,Xn); Xi: W ® R

(Rn,B(Rn),PX)

Definicja 10.2 (Zbiory Borelowskie w Rn)

Najmniejsze  σ-ciało generowane przez rodzinę przedziałów postaci:

(-∞,a1)x(-∞,a2)x… x(-∞,an)

nazywamy zbiorami Borelowskimi w Rn

Niech:

PX – rozkład wektora losowego X

PX: B(Rn)эA ®  PX(A)=P(XєA)

Rozważać będziemy sytuację, gdy n=2 i wtedy wektor losowy (X1,X2)  ma postać (X,Y)

Definicja 10.3 (Rozkład dyskretny)

Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y), której zbiór wartości jest zbiorem skończonym lub przeliczalny ma rozkład dyskretny, jeśli istnieje taki zbiór KR2 (K-skończony lub przeliczalny) taki, że P(X,Y)(K)=1

przy czym gdzie:

Przykład:

X(ω1)={0,1}

Y(ω2)={2,4,6}

Wówczas:

K={(0,2),(0,4),(0,6),(1,2),(1,4),(1,6)}

P(X,Y)=0,1δ(0,2)+0,3 δ(0,4)+0,1 δ(0,6)+0,1 δ(1,2)+0,1 δ(1,4)+0,3 δ(1,6)

Definicja 10.4 (Rozkład ciągły)

Mówimy, że wektor losowy (X,Y) ma rozkład ciągły, jeśli istnieje sumowalna funkcja taka, że:

P(X,Y)=f·l2   gdzie: l2 – miara Lebesque’a w R2

      f - gęstość wektora losowego (X,Y)

UWAGA:

Jeżeli f: R2®R jest gęstością wektora losowego (X,Y) to

1.      f(x,y)0

2.     

Każda funkcja f: R2® R spełniająca warunki (1) i (2) jest gęstością pewnego wektora losowego (X,Y)

Funkcja gęstości rozkładu jednostajnego na płaszczyźnie

Definicja 10.5 (Dystrybuanta wektora losowego (X,Y))

Dystrybuantą wektora losowego  (X,Y) nazywamy funkcję

F(X,Y): R2® R: F(X,Y)=P(X<x,Y<y)= P(X,Y)((-∞,x)х(-∞,y))

Twierdzenie 10.1

Przykład 10.1(c.d.)

Y

4

2

X

0

1

111

P(X,Y)=0,2δ(0,2)+0,4 δ(0,4)+0,3 δ(1,2)+0,1 δ(1,4)

F(X,Y)(x,y)= P(X,Y)((-∞,x)x(-∞,y))= 0,2δ(0,2)((-∞,x)x(-∞,y))+0,4 δ(0,4)((-∞,x)x(-∞,y))+0,3 δ(1,2)((-∞,x)x(-∞,y))+0,1 δ(1,4)((-∞,x)x(-∞,y))

Przykład 10.2

Y

1

yo

xo

X

1

0

111

F(X,Y)= P(X,Y)((-∞,x)х(-∞,y))=

Własności dystrybuanty:

1.      Jest funkcją niemalejącą ze względu na każdą ze zmiennych

2.     

3.     

4.      Jest funkcją lewostronnie ciągłą ze względu na każdą ze zmiennych:

5.      Dla dowolnych dwóch punktów: (x­­1,y1), (x­­2,y2) takich, że x­­1<x­­2 i y1<y2 zachodzi nierówność:

              F(X,Y)(x­­1,y1)+F(X,Y)(x­­2,y2)–F(X,Y)(x­­1,y2)-F(X,Y)(x­­2,y1)³0

Ponieważ L=P(x­­1£X<x2, ­y1£Y<y2)              = P((X,Y)Î(x­­1,x2>x(­y1,y2>)

...