06. Macierzowy zapis różniczki. Wzór na pochodne cząstkowe z.pdf

(106 KB) Pobierz
Macierzowy zapis różniczki. Wzór na pochodne cząstkowe złożenia odwzorowań.
MACIERZOWY ZAPIS RÓŻNICZKI
1
Niech
U
Top
R
n
,
f
:
U
R
oraz
niech
f
D
 .
x
dla
x
R
n
0
0
Ponieważ różniczka
d :
0
x f
R
n
R
jest odwzorowaniem liniowym, zatem w bazie
kanonicznej n e
e 1
,
...,
macierz różniczki można zapisać w postaci
  
d
f
x
x
    :
d
f
e
...
d
f
e
f
x
...
f
grad f
x 0

x
x

1

x
n
x
0
0
0
0
0
1
n
macierz wartości różniczki na wektorach
różniczki bazowych równe kolejnym
pochodnym cząstkowym
Macierz różniczki nazywamy gradientem funkcji f i oznaczamy
grad 0 f
x
.
2. Przypadek ogólny
Niech
U
Top
K
n
,

f
f
...
f
:
U
K
p
,
1
p
f
i
:
U
K
dla
i
1
,...,
p
,
gdzie każde z odwzorowań f i nazywamy składową odwzorowania f .
Np. funkcja   
f
x
1
, x
x
2
,
x
3
ma 2 składowe f 1 i f 2 :
x
1
x
2
,
x
1
2
f
  2
1 ,
  2
x
1
, x
x
2
x
3
x
1
Macierz różniczki f
f
2 ,
x
1
, x
x
2
x
3
x
1
d x 0 :
f
1
  
x
f
1
x
f
1
x
  
x
0
x
0
x
0
1
2
n
f
f
f
  

2
x
2
x
2
x
0
0
0
d
f
x
x
x
x
1
2
n
0
f
f
f
p
x
p
x
p
x
x
0
x
0
x
0
1
2
n
nazywamy macierzą Jacobiego odwzorowania f w punkcie x 0 ( j -ta kolumna macierzy
Jacobiego jest kolumną pochodnych cząstkowych odwzorowania f względem zmiennej x j ).
Jeśli n=p (macierz jest kwadratowa), to określony jest wyznacznik tej macierzy, który
nazywamy jakobianem ,
det J jakobian

d x 0
f
x
0
1
ZASTOSOWANIE MACIERZY: WZÓR NA POCHODNE
CZĄSTKOWE
ZŁOŻENIA ODWZOROWAŃ
Niech
U
Top
K
n
,
V
Top
K
p
,
f g
U V K
s
f
:
U
V
,
g
:
V
K
s
.
K p
K
n
Rozpatrzmy złożenie f
h
 , tzn. odwzorowanie
g
h
( x
x
)
g
(
f
(
)).
Niech
x
0
U
,
 ,
y
0
f
x
0
V
f
Wtedy istnieje różniczka złożenia i jest równa złożeniu różniczek,
,
g
D
 .
0 x
Ponieważ składanie odwzorowań liniowych odpowiada mnożeniu reprezentujących je
macierzy
d x
h
x
0 f
  .
0
g
f
d
g
d
y
0
h
1
 
x
h
1
x
g
1
 
y
g
n
y
f
1
 
x
f
1
x
 
0
0
x
0
x
0
y
y
x
0
x
0
1
n
1
p
1
n
h
h
g
g
f
f
 
 
s
x
s
x
s
y
s
y
p
x
p
x
0
0
0
0
x
x
y
y
x
0
x
0
1
n
1
p
1
n
zatem mnożąc k -ty wiersz macierzy ]
[ 0 g
d y przez j -tą kolumnę macierzy ]
[ 0 f
d x otrzymujemy
WZÓR NA POCHODNE CZĄSTKOWE ZŁOŻENIA ODWZOROWAŃ
   .
h
p
g
f
k
x
0 s
k
y
i
x
dla
j
1
,...,
n
;
k
1
,...,
x
y
0
x
0
j
i i
1
j
2
K


Przykład
Niech
V
Top
R ( V - zbiór otwarty w R 2 ),
2
g
:
V
R
,
 .
g
D
V
Wyznaczyć pochodną funkcji g we współrzędnych biegunowych.
Tworzymy funkcję f , która wprowadza współrzędne biegunowe 
r
,
  
   .
f
:
[
0

)
[
0
2
R
)
r
,
f
r
,
r
cos
,
r
sin
2
Niech
U
Top
[
0

)
[
0
2
)
:
f
U
V
podzbiór
otwarty
Wtedy U
h
R
g
f
:
U
.
Ponadto
h
D
 .
Aby wyznaczyć macierz złożenia h , wyznaczmy macierze różniczek odwzrowań f i g :
  
g
g
x
,
y
g
x
,
y
 
,
y
x
y
r
cos
r
cos

f
r
cos
r
sin
 
,
r
sin
r
sin
sin
r
cos
r
Wyznaczamy macierz różniczki odwzorowania h
  
h
  
d
g
  
d
f
g
x
,
y
g
x
,
y
cos
r
sin
 
r
,
x
,
y
r
,
x
y
sin
r
cos
x
r
cos
y
r
sin
x
r
cos
y
r
sin
cos
g
   
x
,
y
sin
g
x
,
y
r
sin
g
x
,
y
r
cos
g
x
,
y
x
y
x
y
opracował Jacek Zańko
3
d
x
d
r
d

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin