3.Kryterium porównawcze:
Jeżeli wyrazy szeregów są nieujemne i an < bn
to ze zbieżności szeregu bn wynika zbieżność szeregu an. Z rozbieżności szeregu an wynika rozbieżność szeregu bn. Jako szeregu porównawczego używa się szereg harmoniczny :
3. Kryterium porównawcze w postaci limesowej.
Jeżeli dla szeregu o wyrazach dodatnich
istnieje właściwa granica to oba
szeregi są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne. Kryterium 1/na.
3. Warunek zbieżności:
Jeżeli szereg an jest zbieżny, to . Dowód:
an = Sn –Sn-1, jeżeli an jest zbieżne to istnieje granica
3. Kryterium d`Alamberta:
Szereg Ean o wyrazach dodatnich jest zbieżny gdy :przy g < ! lub rozbieżny dla g > 1.
3. Kryterium Couchy`ego :
Szereg Ean o wyrazach nieujemnych jest zbieżny gdy przy g < 1 lub rozbieżny przy g > 1.
3. Kryterium Weierstrassa:
Załóżmy, że (fn : n e N) jest ciągiem odwzorowań zbioru X w przestrzeni C. Jeżeli istnieje taki ciąg (an: n e N) nieujemnych liczb rzeczywistych, że :
i szereg Ean jest zbieżny, to szereg funkcyjny Efn jest bezwzględnie zbieżny.
3. Kryterium Leibniza
Jeżeli ciąg an o wyrazach nieujemnych jest nierosnący i lim an = 0 to szereg naprzemienny jest zbieżny.
3. Wzór Taylora:
3. Szereg liczbowy:
Ean jest zbieżny gdy istnieje właściwa granica .
Jeżeli szereg an jest zbieżny to posiada sumę Ean =S
3. Szereg geometryczny:
Jeżeli a = 0 to szereg Eaqn-1 jest zbieżny a jego suma = 0. Przy a różnym 0:
1.
2. |q| >= 1 to Sn nie posiada granicy właściwej zatem Eaqn-1 rozb.
3. Promień zbieżności R:
szeregu nazywamy kres górny wartości bezwzględnych wszystkich x dla których szereg jest zbieżny.
4. Twierdzenie Gaussa - Ostrogradzkiego:
Jeżeli funkcja P,Q,R są ciągłe wraz z pochodnymi cząstkowymi w obszarze domkniętym V, którym jest normalny
względem płaszczyzny układu współrzędnych ; brzeg S obszary V jest powierzchnią regularną zamkniętą zorientowaną na zewnątrz, to:
4. Twierdzenie GREENA:
Jeżeli funkcje P,Q są klasy C1 w obszarze normalnym D, brzeg K obszaru D jest dodatnio skierowany gładką krzywą Jordana, to:
4. Czynnik całkujący:
Niech * P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 nie będzie równaniem różniczkowym zupełnym. Funkcję m dwóch zmiennych nazywamy czynnikiem całkującym dla równania * w obszarze D jeżeli spełniony warunek, że równanie:
Jest równaniem różniczkowym zupełnym w D.
Jeżeli m = m(x) wówczas:
Jeżeli m = m(y) wówczas:
5. Równania różniczkowe liniowe rzędu II.
def.
* y`` + p(x)y` + po(x)y = f(x)
gdzie p, po, f są funkcjami rzeczywistymi ciągłymi w < a , b > . Jeżeli f(x) = 0 to równanie powyższe przyjmuje postać:
** y`` + p(x)y` + po(x)y = f(x)
równania liniowego jednorodnego. Wyznacznikiem Wrońskiego dla układu funkcji nazywamy wyznacznuk:
Całka ogólna równania * jest sumą całki ogólnej równania jednorodnego ** i całki szczególnej równania niejednorodnego *.
CORN = CSRN + CORJ
Do znalezienia CSRN stosuje się metodę uzmienniania stałych.
5. Równania różniczkowe liniowe rzędu II o stałych współcz.
r.r II o stałych: * y`` + p1y` + poy = f(x)
** y`` + p1y` + poy = 0
Szuka się rozwiązania ** w postaci y = erx :
y` = rerx, y`` = r2 erx po wstawieniu do ** otrzymuje się:
r2erx + p1rerx + poerx = 0 /erx
r2 + p1r + po = 0 rów. charakterystyczne
1) D > 0 dwa pierwiastki rzeczywiste r1 i r2. er1x i er2x są całkami liniowymi niezależnymi równania **.
CORJ = y C1er1x + C2er2x
2) D = 0 wówczas 1 pierwiastek rzeczywisty podwójny ro
y1 = er0x y2 = xer0x
3) D < 0 wówczas dwa pierwiastki zespolone:
r1 = a + ib r2 = a - ib
wówczas
y1 = eax cosbx y2 = eax sinbx
5. Równania różniczkowe liniowe rzędu n o stałych wsp.
yn + pn-1 (x)y(n-1) + pn-2 (x)y(n-2) +...+p1(x)y` + +po(x)y = f(x)
rn + pn-1rn-1+....+p1r po rów. charakterystyczne
5. Równanie Bernouliego
p i q są funkcjami ciągłymi w (a,b), r jest dowolną liczbą rzeczywistą.
Przez podstawienie y1-r = z rów. Bernoul. sprowadzamy do równania liniowego:
5. Równanie różniczkowe zupełne:
def: * P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
gdzie lewa strona rów. jest różniczką zupełną pewnej funkcji.
Warunkiem koniecznym i wystarcz. by równanie * było różniczką zupełną pewnej funkcji R w obszarze D jest :
Jeżeli lewa strona rów. * jest różn. zupeł. funkcji U w obszarze D i Q różne od 0 w D U(x,y) jest całką ogólną rów. *. przez każdy punkt obszaru D przechod. dokładnie jedna krzywa całkowa.
5. Równanie różniczkowe liniowe I rzędu:
p i q są funkcjami ciągłymi w przedziale (a,b). jeżeli q(x) = 0 to równanie * nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym. CORN = CSRN + CORJ
CORJ znajdujemy metodą zmiennych rozdzielonych.
CSRN znajdujemy metodą uzmienniania stałych bądź metodą przewidywań (gdy p(x) = const = p)
stivi7