II Funkcje wielu zmiennych.
1. Odległość i norma euklidesowa.
Odległość punktów:
Własności odległości:
- d (x,y) = 0 Û x = y
- d (x,y) = d (y,x)
- d (x,z) £ d (x,y) + d (y,z)
- d (x,y) = || x - y ||
Norma euklidesowa (dług. wektora)
Własności normy:
- ||x|| = 0 Û x = Q = (0,0,....,0)
- ||a|| = |a| ||x|| a Î R
- ||x+y|| £ ||x|| + ||y|| nierówność trójkąta
2. Punkty wewnętrzne i brzegowe, zbiór otwarty i zamknięty.
Mówimy, że a Ì Rn jest punktem wewnętrznym zbioru A Ì Rn jeżeli istnieje takie r > 0, że K (a,r) Ì A. Wnętrzem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów wewnętrznych.
K (a,r) – otoczenie punktu a o promieniu r
K ( a,r) \ {a} – sąsiedztwo pkt. a o promieniu r.
Punkt a Ì Rn jest punktem brzegowym zbioru A Ì Rn jeżeli każde otoczenie punktu „a” zawiera zarówno punkty zbioru A jak i punkty nie należące do zbioru A.
Zbiór A Ì Rn nazywa się otwartym jeżeli każdy punkt tego zbiory jest jego punktem wewnętrznym. Wnętrze każdego zbioru jest zbiorem otwartym.
Zbiór A Ì Rn nazywamy domkniętym jeżeli Rn \ a jest zbiorem otwartym.
3. Punkt skupienia zbioru.
Punkt a Ì Rn nazywamy punktem skupienia zbioru A Ì Rn jeżeli każde sąsiedztwo punktu a zawiera punkty zbioru A. Punkt skupienia zbioru nie musi do niego należeć.
4. Granica ciągu Rn.
Zakładam: Mówimy że :
jeżeli
Tw.
5.Granica funkcji n zmiennych.
Zakładam A Ì Rn , a – pkt. skupienia zbioru A f: A \ {a} ® R f(x), f(x1, x2, ... , xn). Mówimy, że jeżeli dla każdego ciągu {x(m)} argumentów funkcji f różnych od „a” i takiego, że:
6. Ciągłość funkcji n zmiennych.
Zakładam A Ì Rn , a Î A, a – pkt skupienia A, Funkcja f: A®R jest ciągła w punkcie a, jeżeli
7. Zbiór spójny, zwarty, obszar.
Zbiór A Ì Rn nazywa się spójnym jeżeli każde jego dwa punkty można połączyć łamaną zawartą w zbiorze A.
Zbiór A Ì Rn jest zwarty jeśli jest domknięty i ograniczony.
Obszarem nazywa się zbiór otwarty i spójny.
8. Różniczkowalność f n-zmiennych
Niech U Ì Rn będzie zbiorem otwartym oraz x Î U. Mówimy, że funkcja f: U®R jest różniczkowalna w pkt. x jeżeli istnieje taki wektor c = (c1,c2,...,cn) Î Rn ,że:
9. Pochodna kierunkowa.
U Ì Rn zbiór otwary, x ÎU, wektor v Î Rn, v ¹ Q. Mówimy, że funkcja f: U®R ma w pkt. x pochodną w kierunku wektora v jeżeli istnieje granica skończona:
10.Poczodne cząstkowe I rzędu i k rzędu.
Niech z = f (x,y). Pochodną cząstkową rzędu I funkcji z w punkcie (x0,y0) względem zmiennej x nazywamy granicę ( o ile istnieje):
Pochodną cząstkową rzędy k funkcji f (x1,x2,...,xn) nazywamy pochodną cząstkową (jeżeli istnieje) pochodnej cząstkowej rzędu k-1 i oznacza się:
11. Zależność różniczki funkcji i poch. cząstkowej.
U Ì Rn jest zbiorem otwartym x = (x1,x2,...,xn) ÎU, f: U®R. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x, to ma w tum punkcie pochodną cząstkową względem każdej zmiennej.
12. Różniczkowanie funkcji złożonej.
g(x,y),h(x,y) określone w zbiorze A, (g(x,y),h(x,y)) Ì B, funkcja f(v,u) określona w B. Jeżeli funkcje g(x,y) i h(x,y) mają pochodne cząstkowe w punkcie (x0,y0) a funkcja f(u,v) ma pochodne cząstkowe f ` u i f ` v ciągłe w otoczeniu pkt. (u0,v0) gdzie uo = g(x0,y0), v0 = h(x0,y0) to funkcja złożona F(x,y) = f(g(x,y),h(x,y)) ma pochodne cząstkowe w pkt. (x0,y0) przy czym:
13. Różniczka zupełna.
Wyrażenie:
nazywamy różniczką zupełną funkcji f w punkcie x.
Zastosowanie:
15. Pochodne mieszane tw. Schwarza.
Tw. f: U®R, U Ì Rn jest zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja f ma w pkt. xÎU ciągłe pochodne cząstkowe:
Pochodne cząstkowe mieszane:
niech f(x,y) określona w obszarze D. Zakładam istnienie pochodnych cząstkowych tej funkcji f`(x,y) i f`(x,y)
16. Różniczka zupełna II rzędu.
f: U®R; U Ì Rn ; x = (x1,x2,...,xn) ÎU; Zakładam że istnieją pochodne mieszane II rzędu i są ciągłe w pkt. x:
Przy stałych dx1,...,dxn df(x) jest funkcją n zmiennych:
17. Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych.
Zakładam że U Ì Rn jest zbiorem otwartym, a funkcja f: U®R ma w pkt. x = (x1,x2,...,xn) ÎU ciągłe pochodne cząstkowe do m –0 tego rzedu włącznie. Oznacza to, że funkcja f jest w pkt. x klasy Cm. Wówczas dla przyrostu Dx = (Dx1, Dx2,...,Dxn) takiego że x + Dx Î U istnieje liczba Q Î (0,1) taka, że:
18. Forma kwadratowa.
Formą kwadratową n zmiennych h1,h2,...,hn nazywamy każdą funkcję postaci :
gdzie przynajmniej jedna aij ¹ 0 oraz aij = aji dla wszystkich i,j.
19. Dodatnia, ujemna określoność form kwadratowych.
Formę kwadratową n zmiennych j (n1,...,nn) nazywamy:
- dodatnie określoną jeżeli:
- ujemnie określoną, jeżeli:
- nieokreśloną, jeśli istnieją takie:
19a. Kryterium Sylvestra.
Niech j (n1,...,nn) będzie formą kwadratową o macierzy A. Forma j jest:
- dodatnio określona Û D1 > 0, D2 > 0, ... , Dn > 0
- ujemnie określona Û D1 < 0, D2 > 0, D3 < 0, ... ,(-1)n Dn > 0
- nieokreślona forma kwadratowa j (n1,n2) = an21 + 2bn1n2 + cn22 o macierzy A=[abbc] jest wówczas jeżeli det A = ac-b2 <0
20. Extremum lokalne funkcji n zmiennych.
Funkcja f: A®R, gdzie A Ì Rn ma w pkt. a ÎA min (max) lokalne o ile istnieje taka kula K(a,r) że dla każdego xÎA i K(a,r) zachodzi nierówność:
20. WK istnienia extremum lokalnego.
Zakładam f: U®R, U Ì Rn jest zbiorem otwartym. Funkcja f ma w zbiorze U pochodne cząstkowe. Jeżeli funkcja f ma w pkt. a Î U extremum lokalne, to ***:
21. WW istnienia extremum.
Zakładam, że U Ì Rn jest zbiorem otwartym, f: U®R jest klasy C2. Istnieje dla a Î U wzór*** wtedy:
- jeżeli d2 f (a) jest formą dodatnie określoną, to f ma w pkt. a min
- jeżeli d2 f (a) jest formą ujemnie określoną, to f ma w pkt. a max - jeżeli d2 f (a) jest formą nieokreśloną , to f nie ma extremum.
III. Całki podwójne.
1. Definicja całki podwójnej.
Określenia: niech D będzie obszarem regularnym, f(x,y) – funkcją ograniczoną w D. P będzie prostokątem zawierającym D. Oznaczam przez pn podział prostokąta P na mn...
stivi7