stat10.pdf

(126 KB) Pobierz
10
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
34
10. Maxwellowski rozkład prędkości
Przestrzeń fazowa.
Do pełnego opisu układu potrzebna jest w mechanice klasycznej znajomość
współrzędnych uogólnionych 
q i pędów uogólnionych 
p . Przestrzeń, która jest zbudowana
na tych współrzędnych i pędach, to przestrzeń fazowa.
f -liczba stopni swobody

- dla rozkładu kanonicznego i wybranego poziomu energetycznego.
exp E
-
r
W mechanice klasycznej możemy zapisać:
P
   
1
, q
,
q
f
,
p
1
,
,
p
f
d
q
1
d
q
f
d
p
1
d
p
f
C
exp
  f
E
q
1
,
,
q
f
d
q
1
d
p
P
  1
q
1
,
- warunek normalizujący
,
p
f
d
q
1
d
f
Maxwellowski rozkład prędkości.
Rozważamy gaz w stanie równowagi. Jaki jest rozkład prędkości cząsteczek takiego gazu?
Załóżmy, że w naszych warunkach dozwolony jest klasyczny opis cząsteczek gazu i zajmijmy
się szczegółowiej dowolną jednoatomową jego cząsteczką. Taka cząsteczka przedstawia dla
nas niewielki, wyróżniony układ znajdujący się w kontakcie termicznym ze zbiornikiem
ciepła złożonym z pozostałych cząsteczek gazu i mającym temperaturę T . W przypadku, gdy
można zaniedbać siły zewnętrzne, energia naszej cząsteczki jest po prostu jej energią
kinetyczną
1
p
mV 2
2
2
2
m
Możemy postawić teraz pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że wektor położenia
cząsteczki ma wartość z przedziału  
r,  oraz że jednocześnie wartości pędu cząsteczki
r
dr
znajdują się w przedziale  
p,  .
p
dp
3
3
p
2
3
3
P
(
r
,
p
)
d
r
d
p
 
exp
d
r
d
p
2
m
P
(
r
,
V
)
d
3
r
d
3
V
 
exp
1
mV
2
d
3
r
d
3
V
2
gdzie z
d 3 oraz z
V
d
V d
x V
d
V
y
d 3
r d
d
x
d
y
http://www.knuon.prv.pl
P
r
q
239477665.009.png 239477665.010.png 239477665.011.png
35
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
Można zapytać, ile cząsteczek ma prędkość w określonym przedziale prędkości.
f 3
( - średnia liczba cząsteczek na jednostkę objętości, które mają prędkość
zawartą w przedziale
)
d
V
V, .
V
dV
Ponieważ N cząsteczek gazu porusza się niezależnie, prawie nie oddziałując na siebie,
więc gaz ten przedstawia statystyczny zbiór cząsteczek, z których pewien ułamek określany
prawdopodobieństwem P(r, V) znajduje się pomiędzy r i r+dr , a prędkość pomiędzy V i
V+dV . Średnia liczba V
f 3
( jest zatem równa iloczynowi prawdopodobieństwa
)
d
P 3
(
r
,
V
)
d
3
r
d
V
i całkowitej liczby cząsteczek N podzielonemu przez element objętości r
d .
Zatem
3
NP
(
r
,
V
)
3
r
d
3
V
f
( 
)
V
3
d
r
f
V
)
3
V
 
C
exp
1
mV
2
d
3
V
2
gdzie C jest współczynnikiem proporcjonalności.
Równanie to nosi nazwę maxwellowskiego rozkładu prędkości.
Zauważmy, że ani prawdopodobieństwo P(r, V) , ani też średnia liczba f nie zależą od
położenia r cząsteczki, ponieważ nie może mieć ona uprzywilejowanego położenia w
przestrzeni, w przypadku gdy na układ nie działają żadne siły zewnętrzne. P(r, V) zależy tylko
od modułu wektora V , a nie zależy od kierunku.
szybkości
.
F d -średnia liczba cząsteczek na jednostkę objętości, których szybkość V znajduje się
pomiędzy V i V
 V
V
V d
F  V

V
d
V d
4
V
2
f
V
 V
kT
mV
2
F d
2
V
d
V

4
V
2
C
exp
Zależność 
F jako funkcję modułu prędkości pokazuje poniższy rysunek. Szybkość V
V
V ~
F nosi nazwę najbardziej prawdopodobnej
szybkości. Można ją znaleźć przyrównując do zera pochodną:
V
http://www.knuon.prv.pl
V
V
3
V
(
Rozkład
odpowiadającą maksimum rozkładu 
239477665.012.png 239477665.001.png 239477665.002.png 239477665.003.png
Notatki z wykładu z fizyki statystycznej prowadzonego przez prof. Janusza Wolnego ,
sporządzone przez Joannę Ropkę
36
d
F
d
mV
2
0
4
V
2
C
exp
d
V
d
V
2
kT
V
mV
exp
1
mV
2
V
2
exp
1
mV
2
2
0
2
2
V 2
~
2
kT
m
m
Np. dla cząsteczek azotu w temperaturze pokojowej
V 420
~
m
s
Po normalizacji, maxwellowski rozkład szybkości ma postać: ]
3
 V
m
2
mV
2
F d
2
V
d
V
4
V
2
exp
2
kT
Liczymy średnią energię cząsteczki gazy doskonałego:
3
mV
2
m
2
mV
2
4
kT
3
F
V
)
d
V
2
V
4
m
exp
d
V
x
4
exp(
x
2
)
d
x
kT
K
2
2
2
kT
2
0
0


3
8
http://www.knuon.prv.pl
(
0
239477665.004.png 239477665.005.png 239477665.006.png 239477665.007.png 239477665.008.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin