skrypt1.pdf

Uniwersytet Wroc“awski

Wydzia“ Matematyki i Informatyki

Instytut Matematyczny

specjalno–¢: matematyka nauczycielska

Patrycja Piechaczek

Skrypt z Algebry Liniowej 1

Praca magisterska

napisana pod kierunkiem

dr. hab. prof. Jacka ‘ wi¡tkowskiego

Wroc“aw 2007

Spis tre–ci

Wstƒp

1 Wiadomo–ci wstƒpne 7

1.1 O– liczbowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Uk“ad wsp ó “rzƒdnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Wsp ó “czynnik nachylenia odcinka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 R ó wnoleg“o–¢ i prostopad“o–¢ odcink ó w . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Wektory na p“aszczy„nie 13

2.1 Wektor i jego wsp ó “rzƒdne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Geometryczne cechy wektor ó w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 R ó wno–¢ wektor ó w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Dodawanie wektor ó w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Wektory przeciwne i odejmowanie wektor ó w . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6 Mno»enie wektora przez liczbƒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7 W“asno–ci dzia“a« na wektorach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.8 Wektory wsp ó “liniowe i niewsp ó “liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.9 Rozk“ad wektora wzglƒdem dw ó ch r ó »nych

kierunk ó w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.10 Rozk“ad wektora wzglƒdem pary liniowo niezale»nych wektor ó w . . . 24

2.11 Wersory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.12 Wektor wodz¡cy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.13 R ó wnanie parametryczne prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Iloczyn skalarny i wyznacznik pary wektor ó w 31

3.1 De nicja i w“asno–ci iloczynu skalarnego . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 K¡t miƒdzy niezerowymi wektorami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Wyznacznik pary wektor ó w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 R ó wnania krzywych 39

4.1 R ó wnanie krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 R ó wnanie og ó lne prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 R ó wnanie elipsy, paraboli, hiperboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.4 Przesuwanie krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.5 Rozpoznawanie krzywej na podstawie r ó wnania oraz miejsce geome-

tryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Uk“ad r ó wna« 47

5.1 Uk“ad dw ó ch r ó wna« liniowych z dwiema niewiadomymi . . . . . . . 47

5.2 Algebraiczny jƒzyk teorii uk“ad ó w r ó wna« liniowych . . . . . . . . . . 49

5.3 R ó »ne interpretacje uk“adu dw ó ch r ó wna« liniowych z dwiema nie-

wiadomymi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 Przekszta“cenia p“aszczyzny 54

6.1 Przyk“ady przekszta“ce« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2 Przekszta“cenia odwrotne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3 Sk“adanie przekszta“ce« . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.4 R ó wnanie obrazu krzywej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7 Przekszta“cenia liniowe 63

7.1 De nicja przekszta“cenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.2 Wz ó r przekszta“cenia liniowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.3 Przyk“ady przekszta“ce« liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.4 Odwracalne przekszta“cenia liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.5 Obraz odcinka i r ó wnoleg“oboku przez przekszta“cenie liniowe . . . . 69

8 Przekszta“cenia a niczne, izometrie, podobie«stwa 72

8.1 De nicja i przyk“ady przekszta“ce« a nicznych . . . . . . . . . . . . . 72

8.2 W“asno–ci przekszta“ce« a nicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.3 Wyznacznik a pole gury przekszta“canej . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.4 Orientacja p“aszczyzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.5 Izometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.6 Podobie«stwa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9 Klasy kacja krzywych drugiego stopnia 85

9.1 De nicja krzywej drugiego stopnia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.2 Krzywe stopnia 2 opisane r ó wnaniami, w kt ó rych nie wystƒpuje wyraz

mieszany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.3 Krzywe stopnia 2 o r ó wnaniach, w kt ó rych wystƒpuje wyraz mieszany 88

10 Macierze 90

10.1 Przekszta“cenia liniowe w jƒzyku algebraicznym . . . . . . . . . . . . 90

10.2 Mno»enie macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

10.3 Wyznacznik macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

10.4 Macierz odwrotna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

10.5 Macierzowa interpretacja uk“adu r ó wna« liniowych . . . . . . . . . . 100

11 Warto–ci, wektory w“asne i diagonalizacja macierzy 102

11.1 Warto–ci i wektory w“asne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

11.2 R ó wnanie charakterystyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

11.3 Macierze symetryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

11.4 Diagonalizacja macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

11.5 Zastosowanie diagonalizacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

11.6 Diagonalizacja ortogonalna macierzy symetrycznych . . . . . . . . . . 120

12 Liczby zespolone 122

12.1 De nicja i dzia“ania na liczbach zespolonych . . . . . . . . . . . . . . 122

12.2 Interpretacja geometryczna liczb zespolonych . . . . . . . . . . . . . . 124

12.3 Potƒgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych . . . . . . . . . . . 128

12.4 Zasadnicze twierdzenie algebry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

12.5 Sprzƒ»enie liczby zespolonej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

12.6 Funkcje zespolone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Bibliogra a

138

Wstƒp

Niniejszy skrypt przeznaczony jest dla student ó w I roku matematyki uczƒszcza-

j¡cych na wyk“ad z algebry liniowej 1 w “atwiejszym nurcie A. Zosta“ on napisany

w oparciu o notatki prof. dr. hab. Jacka ‘ wi¡tkowskiego do tego» w“a–nie wyk“adu.

Ma s“u»y¢ Czytelnikowi w lepszym zrozumieniu pojƒ¢ omawianych na wyk“adach.

Zebrane w skrypcie wiadomo–ci s¡ opisane jƒzykiem prostym, przystƒpnym dla

student ó w, kt ó rzy dopiero wchodz¡ w –wiat matematycznych de nicji, twierdze«

i dowod ó w. Dodatkowo zawarte w nim przyk“ady i ¢wiczenia wraz z pe“nymi rozwi¡-

zaniami, a tak»e liczne rysunki, jeszcze lepiej obrazuj¡ przytaczane de nicje i fakty.

Skrypt obejmuje zagadnienia z geometrii analitycznej i algebry liniowej, lecz

ogranicza siƒ tylko do przestrzeni R 2 . Przestrzenie wy»szych wymiar ó w om ó wione s¡

w skrypcie autorstwa Barbary Szczepa«skiej Skrypt z Algebry Liniowej 2 , bƒd¡cego

kontynuacj¡ tego skryptu. Zrozumienie tre–ci niniejszego skryptu mo»e tak»e pom ó c

w wyrobieniu intuicji analogicznych pojƒ¢ w wy»szych wymiarach, poznawanych

w dalszym toku nauki algebry liniowej.

Pierwsze rozdzia“y skryptu dotycz¡ geometrii analitycznej, pocz¡wszy od pojƒ¢

zupe“nie podstawowych, jak uk“ad wsp ó “rzƒdnych, czy wsp ó “rzƒdne punktu, poprzez

rachunek wektorowy, iloczyn skalarny, a» do r ó wna« krzywych a tak»e uk“ad ó w r ó w-

na« liniowych z dwiema niewiadomymi. W kolejnych rozdzia“ach opisane s¡ prze-

kszta“cenia p“aszczyzny, kt ó rych badaniem zajmuje siƒ algebra liniowa. W szczeg ó l-

no–ci, osobne rozdzia“y po–wiƒcone s¡ przekszta“ceniom liniowym oraz a nicznym.

Pojƒcia zwi¡zane z przekszta“ceniami liniowymi, tj. macierze oraz warto–ci i wektory

w“asne, om ó wione s¡ w dw ó ch kolejnych rozdzia“ach. Ostatni¡ czƒ–ci¡ skryptu jest

jeszcze jedno zagadnienie zwi¡zane z p“aszczyzn¡, a mianowicie liczby zespolone i ich

geometryczna interpretacja, a tak»e funkcje zespolone odpowiadaj¡ce przekszta“ce-

niom p“aszczyzny.

Aby u“atwi¢ Czytelnikowi korzystanie ze skryptu, materia“ przedstawiony w po-

szczeg ó lnych rozdzia“ach podzieli“am na podrozdzia“y, w obrƒbie kt ó rych umieszczam

numerowane kolejno de nicje, twierdzenia, fakty, uwagi i wnioski. Wyr ó »niam tak»e

pewne fragmenty tekstu (bƒdƒ nazywa¢ je punktami) umieszczaj¡c na ich pocz¡tku

nag“ ó wek, r ó wnie» numerowany, informuj¡cy Czytelnika czego bƒd¡ dotyczy“y przed-

stawione ni»ej rozwa»ania. Wszystkie wa»niejsze r ó wnania oznaczone s¡ numerami

w nawiasach umieszczonymi z prawej strony, natomiast te z nich, kt ó re s¡ najistot-

niejsze wyr ó »nione s¡ dodatkowo znakami§po obu stronach wzoru. Je–li w pewnych

miejscach korzystam z wcze–niej wprowadzonych tre–ci, zaznaczam to poprzez po-

danie odpowiedniego numeru podrozdzia“u, punktu, faktu, r ó wnania itp. Przyk“ady

i ¢wiczenia umie–ci“am w ramkach, by odr ó »ni¢ je od pozosta“ego tekstu. Przyk“ady

stanowi¡ prost¡, bezpo–redni¡ ilustracjƒ omawianych w danym miejscu tre–ci, nato-

miast ¢wiczenia s¡ nieco trudniejsze, lub wymagaj¡ powi¡zania kilku informacji.

Mam nadziejƒ, »e skrypt oka»e siƒ pomocny dla student ó w, a spos ó b przedsta-

wienia materia“u bƒdzie zrozumia“y dla Czytelnik ó w.

Patrycja Piechaczek

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: