Ekonometria – nauka o metodach badania ilościowych prawidłowości występujących w zjawiskach ekonomicznych. Wykorzystuje do tego aparat rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej oraz algebrę liniową (rachunek macierzowy)
Nieznane czynniki losowe v
Badane
zjawiska ekonomiczne
Zm.egzogeniczne X
Zm.endogeniczne: Y=f(X)+e
Wpływ procesu na otoczenie
opisują zmienne objaśniane
(endogeniczne) Y: Y=f(X)+e
e – reprezentacja losowości opisu
Wpływ otoczenia na proces
opisują zmienne objaśniające
(egzogeniczne) X
Rys.1. Ekonometryczne ujęcie zjawisk ekonomicznych
Ekonometria zajmuje się poszukiwaniem zależności ekonometrycznych f(X) (tj. deterministycznych powiązań ilościowych pomiędzy zmiennymi objaśniającymi i objaśnianymi) oraz analizą probabilistyczną składowej losowej e zmiennych objaśnianych.
Literatura:
1. Henry Theil: Zasady ekonometrii, PWN, Warszawa, 1979
2. Zbigniew Pawłowski: Ekonometria, PWN, Warszawa 1969
3. Edward Nowak: Zarys metod ekonometrii – zbiór zadań, PWN, Warszawa 1994
4. John Freund Podstawy nowoczesnej statystyki, PWE, Warszawa 1968
5. G.E.P.Box, G.M.Jenkins: Analiza szeregów czasowych, PWN, Warszawa, 1983
1. I.E. Brontsztejn, K.A.Siemeindiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Część szósta – Opracowanie danych doświadczalnych,. PWN, Warszawa 1986
2. Poradnik inżyniera – Matematyka – Rozdziały XXXII i XXXIII
3. J.Greń: Statystyka matematyczna – modele i zadania, PWN, Warszawa 1982
Definicje intuicyjne: (Foralnie definicje można znależć np. w Poradniku 2)
Zdarzenie losowe: zdarzenie, którego zajście leży całkowicie lub częściowo poza zasięgiem kontroli.
Definuje się:
iloczyn zdarzeń A i B jako równoczesne wystąpienie zdarzenia A i zdarzenia B; (A*B)
sumę (alternatywę) zdarzeń A, B, jako wystąpienie zdarzenia A lub zdarzenia B. (A+B)
zdarzenie przeciwne do A – zdarzenie zachodzące wtedy gdy A nie zachodzi (~A)
zdarzenie pewne – zachodzi zawsze (np. A+(~A));
zdarzenie niemożliwe – nie zachodzi nigdy (np. A*(~A)); oznaczamy go symbolem Æ
zdarzenia rozłączne A, B – takie, że A*B jest zdarzeniem niemożliwym
(c)
A lub B (A+B)
(a)
A
(b)
A i B
A*B
nieA
(d)
(e)
B
E
(suma wszystkich zdarzeń możliwych)
Rys.2. Graficzna ilustracja zdarzeń elementarnych i złożonych:
koła- elementarne zdarzenia losowe, całe ramki – wszystkie zdarzenia możliwe
Prawdopodobieństwo zdarzenia – liczba wyrażająca stopień możliwości zachodzenia zdarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia A czyli P(A) jest równe stosunkowi liczby przypadków sprzyjających zdarzeniu A (nA) do wszystkich przypadków możliwych (n):
Wartość tak zdefiniowanego prawdopodobieństwa ilustrują stosunki pól figur (kół) reprezentujących zdarzenia A, B na rysunkach powyżej, do pola całej ramki E.
Właściwości prawdopodobieństwa:
1. Jeśli A, B, .. są zdarzeniami rozłącznymi (wykluczają się wzajemnie) to
P(A lub B lub ..)=P(A)+P(B)+.. (patrz rysunek d)
2. Jeśli E jest zdarzeniem pewnym to
P(E)=1 (patrz rysunek e)
0£ P(A) £ 1
Dla dowolnych zdarzeń A i B
P(A lub B)=P(A)+P(B)-P(A i B) (patrz rysunki b, c)
Prawdopodobieństwo warunkowe i prawdopodobieństwo całkowite:
Mamy dwa zdarzenia losowe A i B. Niech P(B)>0. Jeśli zdarzenia A i B mogą występować równocześnie to można mówić o prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, co oznacza się symbolem P(A|B). W tym przypadku zbiór zdarzeń możliwych redukuje się do zdarzenia B, zatem (zgodnie z rys.2b) mamy:
gdzie
Prawdopodobieństwo warunkowe nazywane jest prawdopodobieństwem a posteriori (po uzyskaniu dodatkowej informacji) i na ogół różni się od P(A) zwanego prawdopodobieństwem a priori (określonym dla dowolnych warunków przy których zachodzi A).
Jeśli w wyniku pewnego doświadczenia losowego realizuje się zawsze jedno z wzajemnie wykluczających się zdarzeń B1, B2, .. BN (tzn. B1+ B2 +.. BN=E oraz B1*B2=Æ, Bi*Bk=Æ dla każdej pary zdarzeń Bi, Bk i¹k) to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi równość:
Jest to wzór na prawdopodobieństwo całkowite.
Stosuje się go, gdy prawdopodobieństwa warunkowe P(A|Bn) oraz prawdopodobieństwa P(A) albo P(Bn) są łatwe do oszacowania lub znane. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia Bn gdy zaszło zdarzenie A liczy się ze wzoru Bayesa:
Jeśli zdarzenie B nie wpływa na prawdopodobieństwo zdarzenia A to zdarzenia A, B są zdarzeniami niezależnymi. Wówczas obowiązuje zależność:
zatem
Zdarzenia A, B są zatem niezależne, gdy mogą występować w różnych okolicznościach, a ich łączne wystąpienie jest tylko całkowicie przypadkowe. Założenie niezależności zdarzeń jest często wykorzystywane w obliczeniach probabilistycznych. W ekonometrii mamy na ogół do czynienia ze zdarzeniami współzależnymi, ale założenie niezależności pozwala dokonać zgrubnych oszacowań prawdopodobieństw iloczynu zdarzeń.
Zmienne losowe: liczby charakteryzujące rezultat zjawiska losowego
Zmienne losowe dyskretne – liczby losowe ze skończonego lub przeliczalnego zbioru wartości. Na ogół są to liczby całkowite symbolizujące rozważane zdarzenia losowe, zliczające ich krotność itp.
Zmienne losowe ciągłe: liczby rzeczywiste o losowej wartości, charakteryzujące ilościowo zjawiska losowe:
Zdarzenia losowe odniesione do liczb losowych dotyczą wystąpienia określonych wartości zmiennych dyskretnych oraz wystąpienia wartości zmiennych ciągłych w określonych przedziałach.
Prawdopodobieństwa takich zdarzeń charakteryzują rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych:
Dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej x nazywamy prawdopodobieństwo wystąpienia wartości x mniejszej niż argument dystrybuanty (założona wartość zmiennej) X.
F(X) = P(x < X)
Dystrybuanta posiada następujące cechy:
1. F(-¥)=0;
2. F(¥)=1;
3. jest funkcją lewostronnie ciągłą i niemalejącą, tzn., jeśli X1<X2 to F(X1) £ F(X2)
Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej zmienia się skokowo w punktach odpowiadających kolejnym wartościom zmiennej.
Rozkład prawdopodobieństwa takich zmiennych wygodniej jest charakteryzować podając wprost prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych wartości p(xi). Nazywa się to krótko rozkładem prawdopodobieństwa zmiennych dyskretnych:
f(x)={p(xi); i=1,2, ...,N}, gdzie N oznacza liczbę możliwych wartości zmiennej x
W przypadku zmiennych losowych ciągłych (dokładnie – absolutnie ciągłych – patrz Poradnik [2]) rozkład opisuje się tzw. funkcją gęstości prawdopodobieństwa f(x), którą definiuje się jako pochodną dystrybuanty względem zmiennej x, tzn. w następujący sposób:
Zgodnie z własnością (3) dystrybuanty funkcja f(x) jest nieujemna
Uwaga !! Funkcja gęstości prawdopodobieństwa nie jest prawdopodobieństwem, ale pozwala obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia wartości X w zadanym przedziale x1, x2 z wzoru:
Wynika stąd, że
oraz
Parametry rozkładu prawdopodobieństwa jednowymiarowych zmiennych losowych:
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej ciągłej charakteryzuje się przy pomocy parametrów zwanych momentami. Moment i-tego rzędu mi(x) definiuje się następująco:
Moment rzędu zerowego jest zawsze równy 1.
Moment rzędu pierwszego zmiennej X nazywa się wartością oczekiwaną zmiennej losowej X, a operację jego obliczania oznacza się symbolem E(X).
Wartość oczekiwana jest też nazywana wartością przeciętną zmiennej losowej lub nadzieją matematyczną.
Dla zmiennej losowej ciągłej wartość oczekiwaną wyraża wzór:
Dla zmiennej dyskretnej przyjmującej wartości xi z prawdopodobieństwem pi wartość oczekiwaną oblicza się ze wzoru:
Właściwości wartości oczekiwanej:
1. Każda ograniczona zmienna losowa ma wartość oczekiwaną.
2....
Kanfieta