U dynam.doc

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

WYDZIAŁ TRANSPORTU

ZAKŁAD STEROWANIA RUCHEM KOLEJOWYM

LABOLATORIUM AUTOMATYKI

Badanie Układów Dynamicznych

1.) Badanie podstawowych członów dynamicznych             

Pierwsza część ćwiczenia polegała na odpowiednim doborze parametrów modelu w celu uzyskania podstawowych ukłdów dynamicznych tj.:

·         Prporcjonalny

·         Całkujący

·         Inercyjny

·         Rużniczkujący rzeczywisty

·         Dwuinercyjny

·         Proporcjonalno – całkujący

·         Oscylacyjny

Człon proporcjonalny

W celu wyznaczenia charakterystyki układu proporcjonalnego należało określić:

1.) Równania

              - statyczne: y = k * u

              - dynamiczne: y(t) = k * u(t), gdzie k – współczynnik wzmocnienia proporcjonalności

2.) Transmitancja operatorowa

              G(s) = k

3.) Charakterystyki

              - skokowa

              - statyczna

4.) Równania układu i macierze

·         Równanie stanu: nie występuje

·         Równanie wyjścia: y(t) = ku(t)

·         Macieże: A = [-0], B = [0], C = [0], D = [k]

Człon całkujący

1.) Równania

              - statyczne: y = k * x

              - dynamiczne: y(t) = k * x(t)

2.) Transmitancja operatorowa

              G(s) = k / s

3.) Charakterystyki

              - skokowa

              - statyczna

4.) Równania układu i macieże

·         Równanie stanu: dx / dt = k * u(t)

·         Równanie wyjścia: y(t) = x(t)

·         Macieże: A = [0], B = [k], C = [1], D = [0]

Człon inercyjny

1.) Równania

              T dy/dt + y = k * u, gdzie T – stała czasowa, k – wspólczynnik proporcjonalności

2.) Transmitancja operatorowa

              G(s) = k / Ts + 1

3.) Wartości własne

              Ts + 1 = 0, s = -1 /T

4.) Charakterystyki

              - skokowa

              - ststyczna

5.) Równania stanu i macieże

              T dy/dt +y(t) = k * u(t)

·         Równanie wyjścia: y(t) = x(t)

·         Równanie stanu: dx/dt = 1/T * x(t) + k/T * u(t)

·         Macieże: A = [-1], B = [1], C = [1], D = [0], gdy założymy, że T = 1, k = 1

Człon różniczkujący rzeczywisty

1. )Równania

              y = - αx + αu

2.) Transmitancja operatorowa

              G(s) = Ts / ( T / α  *  s + 1 )

3.) Charakterystyki

              - skokowa

              - statyczna

4.) Równania układu i macieże

·         Równanie wyjścia: y(t) = αu – αx

·         Równanie stanu:

·         Macieże: A = [-1], B = [0], C = [1], D = [1]

Człon proporcjonalno całkujący

1.) Równania

              y = kx + ku

2.) Transmitancja operatorowa

              G(s) = k( 1 + 1/Ts )

3.) Charakterystyki

              - skokowa

              - statyczna

4.) Równania stanu i macieże

·         Równanie wyjścia: y(t) = kx + ku

·         Równanie stanu:

·         Macieże: A = [0], B = [0], C = [1], D = [1]

Człon oscylujący

1.) Równwnia

              y = kxt

2.) Transmitancja operatorowa

              G(s)  = kωn2 / s2 + 2ζωs + ω2n

3.) Charakterystyki

              - skokwa

              - statyczna

4.) Równania stanu i macieże

·         Równanie wyjścia: y(t) = kx(t)

·         Równanie stanu:

·         Macieże: A =[], B = [], C = [], D = []

2.) Wykresy:

3.) Badanie prostego układu regulacji

W drugiej części ćwiczenia należało zbadać układ regulacji podany na schemacie pod kątem sterowalności i obserwowalności.

przy czym:

k1 = k2 = k

T = 1

y(t) = u1(t) + u2(t)

u(t) = y1(t) +y2(t)

Obliczm transmitancję wypadkową:

G(s)sz = G1(s) * G2(s)

G(s) = [k1 / ( Ts + 1)] * k2 / s =  k1 * k2 / Ts2 + s = k1k2 / Ts2 + s

G(s) = G(s)sz = G(s)sz / 1 + G(s)sz = [1 / s2 + s] / [1 + (1/s2 + s)] = 1 / s2 + s + 1

Z definicji G(s) = y(s) / u(s), a więc transmitancja wypadkowa wygląda następująco:

y(s) / u(s) = 1/ s2 + s + 1

Równania obiektu dynamicznego:

u(s) = (s2 + s + 1) * y(s)

u(s) = y(s) * s2 + y(s) * s + y(s)

Przechodze do dziedziny czasu:

u(t) = y”(t) + y’(t) + y(t)

Otrzymane równanie ma postać równania rużniczkowego drugiego rzędu, należy więc wyprowadzić dwa rónania pierwszego rzędu, które będą odpowiadać równaniom stanów normalnych. Jako zmienną stanu przyjmujemy sygnał wyjściowy y(t) i zgodnie z zasadami zmiennych fazowych tworzymy relacje:

y(t) = x1(t)

.

.

.

x’1 = x2(t)

Równania stanu i wyjścia:

x’1(t) =               x2(t)

x’2(t) =  -x1(t) – x2(t) + u(t)

   y(t) =    x1(t)

A =   0   1  , B =  0  , C =  1  0  , D = [0]

       -1  -1            1

Wyznaczenie sterowalności:

A =   0   1  , B =  0  , C =  1  0  , D = [0]

       -1  -1            1

W = [B, AB, A2B,…,An-1B]

W = [B, AB] detW ≠ 0

B =  0

        1

A =  0    1  , AB =  1   ,                 det W =  0    1  = -1 ≠ 0 

       -1  -1               1                                    1  -1

Układ jest sterowoalny

Wyznaczenie obserwowalności:

S = [CT, ATCT, … , (AT)n-1CT]

CT = 1  , AT =  0  -1

         0              1   -1

AT * CT =  0  -1   *  1  =  0*1  + -1*0   =  0

                    1  -1       0      1*1  + -1*0       1

S =  1  0

        0  1

Det S =  1  0   = 1 ≠ 0

0        1

Układ jest obserwowalny

Wyznaczenie stabilności:

&#x...