Matematyka 1 dowody wybranych twierdzeń.pdf

Matematyka

semestr I

Dowody wybranych twierdzeń.

n 0 ∈ℕ : n ≥ n 0 :a n ≤ b n ≤ c n

(2) lim a n = g =lim c n , To: lim b n = g

Dowód:

Z definicji granicy: lim b n = g ⇔

n' ∈ℕ : n ∈ℕ : [ n  n' ⇒∣ b n − g ∣]

(dowód polega na pokazaniu prawdziwości prawej strony).

Niech 0 . Z założeń wiemy, że:

(1) n ≥ n 0 :a n ≤ b n ≤ c n

0 : ∃

(2) lim a n = g ⇔

0 : ∃

n 1 ∈ℕ : n ∈ℕ : [ n  n 1 ⇒∣ a n − g ∣]

− a n − g 

g − a n  g 

(3) lim c n = g ⇔

0 : ∃

n 2 ∈ℕ : n ∈ℕ : [ n  n 2 ⇒∣ c n − g ∣]

− c n − g 

g − c n  g 

g − a n ≤ b n ≤ c n  g  ⇔ g − b n  g  ⇔ − b n − g  ⇔ ∣ b n − g ∣ 

Liczba n' = max { n 0 ,n 1 ,n 2 } C.B.D.U

n 0 ∈ℕ : n ∈ℕ : [ n  n 0 ⇒∣ a n b n ∣]

(dowód polega na pokazaniu prawdziwości prawej strony).

Niech 0 . Z założeń wiemy, że:

(1) M : ∣  b n  ∣ ≤ M

(2)  ' 0 : ∃

0 : ∃

n 1 ∈ℕ : ∀ n : [ n  n 1 ⇒ ∣ a n ∣  ' ]

Chcemy, żeby: ∣ a n ∣∣ b n ∣  .

Warunek (2) zachodzi dla każdego  ' , więc także dla  ' = 

Wtedy ∣ a n ∣  

, czyli ∣ a n ∣ M  . Z warunku (1) widać więc, że ∣ a n ∣∣ b n ∣  C.B.D.U

1. Twierdzenie o trzech ciągach.

Jeżeli  a n  ,  b n  ,  c n  spełniają warunki:

(1) ∃

2. Twierdzenie o granicy iloczynu ciągu ograniczonego i zbieżnego do zera.

Jeżeli lim a n =0 oraz  b n  jest ograniczony to lim a n b n =0 .

Dowód:

Z definicji granicy: lim a n b n =0 ⇔

3. Twierdzenie o granicy pierwiastka n-tego stopnia z n.

lim

n ∞

Dowód:

n ≥1 ⇒ n

 n ≥1 Czyli

 n =1  n , gdzie  n ≥0 .

 k   k 1 n − k ≥  2   2

n =1 n  n = k =0

n ≥ n  n −1

 2

⇔

 n −1 ≥ 2

, czyli: 0 ≤ 2 ≤

 n −1

Z twierdzenia o trzech ciągach:  n 0 , więc

lim

n ∞

 n =1

C.B.D.U

4. Twi er dzenie o granicy pierwiastka n-tego stopnia z a.

lim

n ∞

dla a 0

Dowód:

(1) a =1 O .K .

(2) a 1 ⇒ n

 a 1 Czyli

 a =1  n , gdzie  n ≥0

 k   k 1 n − k ≥1  n  n . Dochodzimy do nierówności: 0  n  a −1

a =1 n  n = k =0

Z twierdzenia o trzech ciągach:  n 0 , więc

lim

n ∞

 a =1

C.B.D.U

 a =

 a = 1

(3) a ∈0 ; 1 . Wtedy

 b gdzie:

a = b ; b 1

Z podpunktu (2): lim

n ∞

 b =1 ⇒ lim

n ∞

 b =1 C.B.D.U

5. Zbieżność ciągu do liczby e.

Ciąg a n =1  1

n 

jest zbieżny do granicy właściwej, (równej e ≈2,7182 ).

Dowód:

(1)Pokażemy, że ciąg a n jest rosnący.

n 1



1  1

n 1

1  1



n 1

1 

n 1 

 n 2

n 1 

  n 1 2 −1



n 1

a n 1

a n

⋅ n 1

= n 1

n =

⋅

n 1 ⋅

⋅

1  1

 n 1 2

n 

Ze wzoru na dwumian Newtona obliczamy element 1-wszy i n-ty. Ich suma jest na pewno

n 1

  n 1 2 −1



n 1

 n 1

 1 −  1

 ⋅ n 1  =1

mniejsza od całego wyrażenia:

⋅

 n 1 2

⋅

 n 1 2

A zatem: n ∈ℕ : a n  1

a n

1 , czyli jest rosnący.

 n =1

 a =1

n 1

(2)Pokażemy, że ciąg a n jest ograniczony. Pokażemy, że: 2 ≤ a n 4 . Ponieważ ciąg jest

rosnący, oraz a 1 =2 , więc a n ≥2 .

 1  2 k 

2 k





a 2 k =

Przyjmijmy, że n jest parzyste:

 1 −

2 k 1 

Zajmijmy się samym





 1 −

2 k 1 

2 k 1  1

4

mianownikiem:

1−

, a zatem

 1 −

2 k 1 

. Jeżeli n

jest nieparzyste to zachodzi nierówność: a 2 k −1  a 2 k 4

Z warunków (1) i (2) wynika że ciąg ten jest monotoniczny i ograniczony, a więc musie istnieć

granica. C.B.D.U

c ∈ a ,b  : f  c =0

Dowód:

Bez straty ogólności możemy przyjąć, że: f  a 0 ; f  b 0 . Zdefiniujmy zbiór Z, taki że:

Z ={ x ∈〈 a ,b 〉 : f  x 0 } , a więc: a ∈ Z ;b ∉ Z . Niech c = supZ . Widać od razu, że:

c ∈ a ,b  . Aby c było supremum zbioru Z, f  c  nie może być dodatnie (bo istniałby element

odpowiednio mniejszy, który byłby supremum), ani ujemne (bo istniałby element odpowiednio

większy, który byłby supremum). A zatem f  c =0 , czyli taki punkt zawsze istnieje. C.B.D.U

8. Własność Darboux.

Jeżeli funkcja f jest ciągła w 〈 a ,b 〉 , oraz f  a = A i f  b = B , to:

∃

; C ∈ A, B 

Dowód:

Bez straty ogólności możemy przyjąć, że: A  C  B . Zdefiniujmy funkcję F : x  f  x − C .

Wtedy F jest ciągła w 〈 a ,b 〉 .

F  a = f  a − C = A − C 0 ; F  b = f  b − C = B − C 0

Funkcja F spełnia więc założenia twierdzenia nr. 7, a więc: ∃

c ∈〈 a ,b 〉 : F  c =0

Ze wzoru funkcji

wynika, że: F  c = f  c − C , czyli: f  c − C =0 ⇔ f  c = C C.B.D.U

9. Twierdzenie o zachowaniu znaku funkcji ciągłej.

Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu x 0 . Jeżeli f jest ciągła w x 0 , oraz f  x 0 0 ,

to istnieje r 0 , takie, że:

∀

0 : 0 : [ x ∈ U  x 0, ⇒ f  x ∈ U  f  x 0  , ] .

Niech = 1

2 f  x 0  ; f  x 0 0 . Wtedy  0 : x ∈ U  x 0 , ⇒ f  x ∈ U  f  x 0  , 1

2 f  x 0  , czyli

∣ x − x 0 ∣ ⇒ ∣ f  x − f  x 0  ∣ = 1

2 f  x 0 

2 f  x 0  f  x − f  x 0  1

2 f  x 0 

f  x  1

2 f  x 0 0 , a więc ostatecznie: f  x 0 C.B.D.U

7. Twierdzenia o przyjmowaniu wartości zerowej.

Jeżeli funkcja f jest ciągła w 〈 a ,b 〉 , oraz wartości funkcji na końcach przedziału 〈 a ,b 〉 są

różnych znaków, to:

∃

c ∈〈 a ,b 〉 : f  c = C

x ∈ U  x 0 , r  : f  x 0

Dowód:

Z definicji funkcja jest ciągła w punkcie x 0 ⇔

− 1

10. Twierdzenie o ciągłości funkcji różniczkowalnej w punkcie.

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w x 0 , to jest w tym punkcie ciągła.

Dowód:

Z definicji różniczkowalności wynika, że funkcja f jest określona w x 0 .

Chcemy pokazać, że:

lim

x  x 0

f  x = f  x 0 

, czyli

x  x 0  f  x − f  x 0 =

f  x − f  x 0 

x − x 0

lim

x  x 0

 f  x − f  x 0 =lim

x  x 0

 x − x 0 = f '  x 0  x − x 0  Ponieważ funkcja jest

różniczkowalna, to jej pochodna jest skończona, więc f '  x 0  x − x 0 =0 C.B.D.U

11. Pochodna iloczynu funkcji.

 f ⋅ g  x  ' = f '  x  g  x  g '  x  f  x 

Dowód:

 f ⋅ g  '  x 0 =lim

x  x 0

 fg  x − fg  x 0 

x − x 0

=lim

x  x 0

f  x  g  x − f  x 0  g  x 0 

x − x 0

f  x  g  x − f  x 0  g  x  f  x 0  g  x − f  x 0  g  x 0 

x − x 0

= lim

x  x 0

x  x 0  g  x  f '  x 0  f  x 0  g '  x 0  

C.B.D.U

11a. Pochodna ilorazu funkcji.

 g  '  x = f '  x  g  x − f  x  g '  x 

g 2  x 0 

Dowód:

g  x  − f  x 0 

f  x 

 g  '  x 0 =lim

g  x 0 

x − x 0

=lim

x  x 0

f  x  g  x 0 − f  x 0  g  x 0  f  x 0  g  x 0 − f  x 0  g  x 

 x − x 0  g  x  g  x 0 

x  x 0

=lim

x  x 0

g  x 0 [ f  x − f  x 0 ]

x − x 0

− f  x 0 [ g  x − g  x 0 ]

x − x 0

= f '  x 0  g  x 0 − f  x 0  g '  x 0 

g 2  x 0 

C.B.D.U

g  x  g  x 0 

11b. Pochodna funkcji złożonej.

 g ° f  '  x 0 = g '  f  x 0 ⋅ f '  x 0 

Dowód:

g  f  x − g  f  x 0 

x − x 0

g  f  x − g  f  x 0 

f  x − f  x 0 

⋅ f  x − f  x 0 

x − x 0

 g ° f  '  x 0 =lim

x  x 0

=lim

x  x 0

= g'  f  x 0 ⋅ f '  x 0  C.B.D.U

lim

=lim

12. Twierdzenie Rolle'a.

Jeżeli funkcja f jest ciągła w, 〈 a ,b 〉 oraz różniczkowalna w  a ,b  , a ponadto

f  a = f  b  , to istnieje c ∈ a ,b  , taki że: f '  c =0

Dowód:

Niech m = inff  x  ;M = supf  x  .

Jeżeli m=M to wartość funkcji jest stała i jej pochodna jest równa zero.

Jeżeli m ≠ M , to

x 1 ∈ a ,b  : f  x 1 = m

, czyli ∀

x ∈〈 a ,b 〉 : f  x ≥ f  x 1 

f  x − f  x 1 

x − x 1

(1) x  x 1 ⇒ lim

x  x -

= f ' -  x 1 ≤0

f  x − f  x 1 

x − x 1

(2) x  x 1 ⇒ lim

x  x +

= f ' +  x 1 ≥0

Ponieważ funkcja f jest różniczkowalna w x 1 , więc jej granice lew- i prawostronne są sobie

równe, a więc f '  x 1 =0 C.B.D.U

13. Twierdzenie Lagrange'a.

Jeżeli funkcja f jest ciągła w 〈 a ,b 〉 i różniczkowalna a  a ,b  to istnieje ∈ a ,b  takie, że:

f ' = f  b − f  a 

b − a

Dowód:

Zdefiniujmy funkcję g : x  f  x − f  b − f  a 

b − a

 x − a  . Teraz pokażemy, że spełnia ona

założenia twierdzenia Rolle'a. Widać, że funkcja jest ciągła i różniczkowalna na przedziale

〈 a ,b 〉 , więc wystarczy pokazać, że g  a = g  b  .

g  a = f  a − f  b − f  a 

b − a

 a − a = f  a 

g  b = f  b − f  b − f  a 

b − a

 b − a = f  a 

Z twierdzenia Rolle'a wiemy, że ∃

c ∈ a ,b  : g '  c =0

g '  x = f '  x − f  b − f  a 

b − a

, czyli g '  c = f '  c − f  b − f  a 

b − a

=0 , a więc ostatecznie:

f '  c = f  b − f  a 

b − a

C.B.D.U

14. Wnioski z twierdzenia Lagrange'a.

Niech I będzie dowolnym przedziałem.

(1)Jeżeli ∀ x ∈ I : f '  x =0 ⇒ funkcja jest stała na przedziale I .

(2)Jeżeli ∀ x ∈ I : f '  x 0 ⇒ funkcja jest silnie rosnąca na przedziale I .

(3)Jeżeli ∀ x ∈ I : f '  x ≥0 ⇒ funkcja jest słabo rosnąca na przedziale I .

(4)Jeżeli ∀ x ∈ I : f '  x 0 ⇒ funkcja jest silnie malejąca na przedziale I .

(5)Jeżeli ∀ x ∈ I : f '  x ≤0 ⇒ funkcja jest słabo malejąca na przedziale I .

Dowód:

Pełen dowód podpunktu (1): Niech x 1 , x 2 ∈ I Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że

c ∈ x 1 , x 2  : f '  c = f  x 1 − f  x 2 

x 1 − x 2

. Z założeń podpunktu (1)

x ∈ I : f '  x =0

, czyli:

f  x 1 − f  x 2 =0 ⇔ f  x 1 = f  x 2  , a więc dla każdych dwóch argumentów z danego przedziału

wartość jest stała. C.B.D.U

Kolejne podpunkty dowodzimy analogicznie, np. jeżeli x ∈ I : f '  x 0 , to zachodzi implikacja:

x 1  x 2 ⇒ f  x 1  f  x 2  , a to z definicji oznacza, że funkcja jest rosnąca itd.

∃

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: