Matematyka 1 dowody wybranych twierdzeń.pdf
(
133 KB
)
Pobierz
443151899 UNPDF
Matematyka
semestr I
Dowody wybranych twierdzeń.
n
0
∈ℕ
:
n
≥
n
0
:a
n
≤
b
n
≤
c
n
(2) lim
a
n
=
g
=lim
c
n
, To: lim
b
n
=
g
Dowód:
Z definicji granicy:
lim
b
n
=
g
⇔
n'
∈ℕ
:
n
∈ℕ
:
[
n
n'
⇒∣
b
n
−
g
∣]
(dowód polega na pokazaniu prawdziwości prawej strony).
Niech 0 . Z założeń wiemy, że:
(1)
n
≥
n
0
:a
n
≤
b
n
≤
c
n
df
0
:
∃
(2)
lim
a
n
=
g
⇔
0
:
∃
n
1
∈ℕ
:
n
∈ℕ
:
[
n
n
1
⇒∣
a
n
−
g
∣]
−
a
n
−
g
g
−
a
n
g
(3)
lim
c
n
=
g
⇔
0
:
∃
n
2
∈ℕ
:
n
∈ℕ
:
[
n
n
2
⇒∣
c
n
−
g
∣]
−
c
n
−
g
g
−
c
n
g
g
−
a
n
≤
b
n
≤
c
n
g
⇔
g
−
b
n
g
⇔
−
b
n
−
g
⇔
∣
b
n
−
g
∣
Liczba
n'
=
max
{
n
0
,n
1
,n
2
}
C.B.D.U
n
0
∈ℕ
:
n
∈ℕ
:
[
n
n
0
⇒∣
a
n
b
n
∣]
(dowód polega na pokazaniu prawdziwości prawej strony).
Niech 0 . Z założeń wiemy, że:
(1)
M
:
∣
b
n
∣
≤
M
(2)
'
0
:
∃
df
0
:
∃
n
1
∈ℕ
:
∀
n
:
[
n
n
1
⇒
∣
a
n
∣
'
]
Chcemy, żeby:
∣
a
n
∣∣
b
n
∣
.
Warunek (2) zachodzi dla każdego
'
, więc także dla
'
=
M
.
Wtedy
∣
a
n
∣
M
, czyli
∣
a
n
∣
M
. Z warunku (1) widać więc, że
∣
a
n
∣∣
b
n
∣
C.B.D.U
1. Twierdzenie o trzech ciągach.
Jeżeli
a
n
,
b
n
,
c
n
spełniają warunki:
(1)
∃
df
df
2. Twierdzenie o granicy iloczynu ciągu ograniczonego i zbieżnego do zera.
Jeżeli
lim
a
n
=0
oraz
b
n
jest ograniczony to
lim
a
n
b
n
=0
.
Dowód:
Z definicji granicy:
lim
a
n
b
n
=0 ⇔
3. Twierdzenie o granicy pierwiastka n-tego stopnia z n.
lim
n
∞
Dowód:
n
≥1 ⇒
n
n
≥1
Czyli
n
=1
n
, gdzie
n
≥0
.
n
k
k
1
n
−
k
≥
2
2
n
=1
n
n
=
k
=0
n
≥
n
n
−1
2
2
⇔
n
−1
≥
2
2
, czyli: 0 ≤
2
≤
2
n
−1
Z twierdzenia o trzech ciągach:
n
0 , więc
lim
n
∞
n
=1
C.B.D.U
4. Twi
er
dzenie o granicy pierwiastka n-tego stopnia z a.
lim
n
∞
dla
a
0
Dowód:
(1)
a
=1 O
.K
.
(2)
a
1 ⇒
n
a
1
Czyli
a
=1
n
, gdzie
n
≥0
n
k
k
1
n
−
k
≥1
n
n
. Dochodzimy do nierówności:
0
n
a
−1
a
=1
n
n
=
k
=0
n
Z twierdzenia o trzech ciągach:
n
0
, więc
lim
n
∞
a
=1
C.B.D.U
a
=
a
=
1
1
1
(3)
a
∈0
;
1
. Wtedy
b
gdzie:
a
=
b
;
b
1
n
1
n
Z podpunktu (2):
lim
n
∞
b
=1 ⇒ lim
n
∞
b
=1
C.B.D.U
5. Zbieżność ciągu do liczby e.
Ciąg
a
n
=1
1
n
n
jest zbieżny do granicy właściwej, (równej
e
≈2,7182 ).
Dowód:
(1)Pokażemy, że ciąg
a
n
jest rosnący.
1
n
1
1
1
n
1
1
1
n
n
1
1
n
1
n
2
n
1
n
1
2
−1
n
1
a
n
1
a
n
⋅
n
1
n
=
n
1
n
n
=
n
1
n
=
n
=
⋅
n
1
⋅
⋅
1
1
n
1
2
n
Ze wzoru na dwumian Newtona obliczamy element 1-wszy i n-ty. Ich suma jest na pewno
n
1
n
n
1
2
−1
n
1
n
1
n
1 −
1
⋅
n
1
=1
mniejsza od całego wyrażenia:
⋅
n
1
2
⋅
n
1
2
A zatem:
n
∈ℕ
:
a
n
1
a
n
1 , czyli jest rosnący.
n
n
=1
n
n
a
=1
n
n
n
n
n
n
n
1
(2)Pokażemy, że ciąg
a
n
jest ograniczony. Pokażemy, że: 2 ≤
a
n
4 . Ponieważ ciąg jest
rosnący, oraz
a
1
=2
, więc
a
n
≥2
.
1
2
k
2
k
1
2
a
2
k
=
=
Przyjmijmy, że n jest parzyste:
1 −
2
k
1
1
k
Zajmijmy się samym
1
1 −
2
k
1
k
2
k
1
1
k
4
mianownikiem:
1−
, a zatem
1 −
2
k
1
1
k
. Jeżeli n
2
jest nieparzyste to zachodzi nierówność:
a
2
k
−1
a
2
k
4
Z warunków (1) i (2) wynika że ciąg ten jest monotoniczny i ograniczony, a więc musie istnieć
granica. C.B.D.U
c
∈
a ,b
: f
c
=0
Dowód:
Bez straty ogólności możemy przyjąć, że:
f
a
0
; f
b
0 . Zdefiniujmy zbiór Z, taki że:
Z
={
x
∈〈
a ,b
〉
: f
x
0 } , a więc:
a
∈
Z ;b
∉
Z
. Niech
c
=
supZ
. Widać od razu, że:
c
∈
a ,b
. Aby c było supremum zbioru Z,
f
c
nie może być dodatnie (bo istniałby element
odpowiednio mniejszy, który byłby supremum), ani ujemne (bo istniałby element odpowiednio
większy, który byłby supremum). A zatem
f
c
=0 , czyli taki punkt zawsze istnieje. C.B.D.U
8. Własność Darboux.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w 〈
a ,b
〉 , oraz
f
a
=
A
i
f
b
=
B
, to:
∃
;
C
∈
A, B
Dowód:
Bez straty ogólności możemy przyjąć, że:
A
C
B
. Zdefiniujmy funkcję
F : x
f
x
−
C
.
Wtedy F jest ciągła w 〈
a ,b
〉 .
F
a
=
f
a
−
C
=
A
−
C
0 ;
F
b
=
f
b
−
C
=
B
−
C
0
Funkcja F spełnia więc założenia twierdzenia nr. 7, a więc:
∃
c
∈〈
a ,b
〉
: F
c
=0
Ze wzoru funkcji
wynika, że:
F
c
=
f
c
−
C
, czyli:
f
c
−
C
=0 ⇔
f
c
=
C
C.B.D.U
9. Twierdzenie o zachowaniu znaku funkcji ciągłej.
Niech funkcja f będzie określona w otoczeniu
x
0
. Jeżeli f jest ciągła w
x
0
, oraz
f
x
0
0 ,
to istnieje
r
0 , takie, że:
∀
df
0
:
0
:
[
x
∈
U
x
0,
⇒
f
x
∈
U
f
x
0
,
]
.
Niech
=
1
2
f
x
0
; f
x
0
0
. Wtedy
0
: x
∈
U
x
0
,
⇒
f
x
∈
U
f
x
0
,
1
2
f
x
0
, czyli
∣
x
−
x
0
∣
⇒
∣
f
x
−
f
x
0
∣
=
1
2
f
x
0
2
f
x
0
f
x
−
f
x
0
1
2
f
x
0
f
x
1
2
f
x
0
0 , a więc ostatecznie:
f
x
0 C.B.D.U
2
1
7. Twierdzenia o przyjmowaniu wartości zerowej.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w 〈
a ,b
〉 , oraz wartości funkcji na końcach przedziału 〈
a ,b
〉 są
różnych znaków, to:
∃
c
∈〈
a ,b
〉
: f
c
=
C
x
∈
U
x
0 ,
r
: f
x
0
Dowód:
Z definicji funkcja jest ciągła w punkcie
x
0
⇔
−
1
10. Twierdzenie o ciągłości funkcji różniczkowalnej w punkcie.
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w
x
0
, to jest w tym punkcie ciągła.
Dowód:
Z definicji różniczkowalności wynika, że funkcja f jest określona w
x
0
.
Chcemy pokazać, że:
lim
x
x
0
f
x
=
f
x
0
, czyli
x
x
0
f
x
−
f
x
0
=
?
0
.
f
x
−
f
x
0
x
−
x
0
lim
x
x
0
f
x
−
f
x
0
=lim
x
x
0
x
−
x
0
=
f '
x
0
x
−
x
0
Ponieważ funkcja jest
różniczkowalna, to jej pochodna jest skończona, więc
f '
x
0
x
−
x
0
=0
C.B.D.U
11. Pochodna iloczynu funkcji.
f
⋅
g
x
'
=
f '
x
g
x
g '
x
f
x
Dowód:
f
⋅
g
'
x
0
=lim
x
x
0
fg
x
−
fg
x
0
x
−
x
0
=lim
x
x
0
f
x
g
x
−
f
x
0
g
x
0
x
−
x
0
=
f
x
g
x
−
f
x
0
g
x
f
x
0
g
x
−
f
x
0
g
x
0
x
−
x
0
= lim
x
x
0
x
x
0
g
x
f '
x
0
f
x
0
g '
x
0
C.B.D.U
11a. Pochodna ilorazu funkcji.
g
'
x
=
f '
x
g
x
−
f
x
g '
x
g
2
x
0
Dowód:
g
x
−
f
x
0
f
x
g
'
x
0
=lim
g
x
0
x
−
x
0
=lim
x
x
0
f
x
g
x
0
−
f
x
0
g
x
0
f
x
0
g
x
0
−
f
x
0
g
x
x
−
x
0
g
x
g
x
0
=
x
x
0
=lim
x
x
0
g
x
0
[
f
x
−
f
x
0
]
x
−
x
0
−
f
x
0
[
g
x
−
g
x
0
]
x
−
x
0
=
f '
x
0
g
x
0
−
f
x
0
g '
x
0
g
2
x
0
C.B.D.U
g
x
g
x
0
11b. Pochodna funkcji złożonej.
g
°
f
'
x
0
=
g '
f
x
0
⋅
f '
x
0
Dowód:
g
f
x
−
g
f
x
0
x
−
x
0
g
f
x
−
g
f
x
0
f
x
−
f
x
0
⋅
f
x
−
f
x
0
x
−
x
0
g
°
f
'
x
0
=lim
x
x
0
=lim
x
x
0
=
=
g'
f
x
0
⋅
f '
x
0
C.B.D.U
lim
=lim
12. Twierdzenie Rolle'a.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w, 〈
a ,b
〉 oraz różniczkowalna w
a ,b
, a ponadto
f
a
=
f
b
, to istnieje
c
∈
a ,b
, taki że:
f '
c
=0
Dowód:
Niech
m
=
inff
x
;M
=
supf
x
.
Jeżeli m=M to wartość funkcji jest stała i jej pochodna jest równa zero.
Jeżeli
m
≠
M
, to
x
1
∈
a ,b
: f
x
1
=
m
, czyli
∀
x
∈〈
a ,b
〉
: f
x
≥
f
x
1
f
x
−
f
x
1
x
−
x
1
(1)
x
x
1
⇒ lim
x
x
-
=
f '
-
x
1
≤0
f
x
−
f
x
1
x
−
x
1
(2)
x
x
1
⇒ lim
x
x
+
=
f '
+
x
1
≥0
Ponieważ funkcja f jest różniczkowalna w
x
1
, więc jej granice lew- i prawostronne są sobie
równe, a więc
f '
x
1
=0
C.B.D.U
13. Twierdzenie Lagrange'a.
Jeżeli funkcja f jest ciągła w 〈
a ,b
〉 i różniczkowalna a
a ,b
to istnieje ∈
a ,b
takie, że:
f '
=
f
b
−
f
a
b
−
a
Dowód:
Zdefiniujmy funkcję
g : x
f
x
−
f
b
−
f
a
b
−
a
x
−
a
. Teraz pokażemy, że spełnia ona
założenia twierdzenia Rolle'a. Widać, że funkcja jest ciągła i różniczkowalna na przedziale
〈
a ,b
〉 , więc wystarczy pokazać, że
g
a
=
g
b
.
g
a
=
f
a
−
f
b
−
f
a
b
−
a
a
−
a
=
f
a
g
b
=
f
b
−
f
b
−
f
a
b
−
a
b
−
a
=
f
a
Z twierdzenia Rolle'a wiemy, że
∃
c
∈
a ,b
: g '
c
=0
.
g '
x
=
f '
x
−
f
b
−
f
a
b
−
a
, czyli
g '
c
=
f '
c
−
f
b
−
f
a
b
−
a
=0 , a więc ostatecznie:
f '
c
=
f
b
−
f
a
b
−
a
C.B.D.U
14. Wnioski z twierdzenia Lagrange'a.
Niech
I
będzie dowolnym przedziałem.
(1)Jeżeli ∀
x
∈
I : f '
x
=0 ⇒ funkcja jest
stała
na przedziale
I
.
(2)Jeżeli
∀
x
∈
I : f '
x
0 ⇒
funkcja jest
silnie rosnąca
na przedziale
I
.
(3)Jeżeli ∀
x
∈
I : f '
x
≥0 ⇒ funkcja jest
słabo rosnąca
na przedziale
I
.
(4)Jeżeli
∀
x
∈
I : f '
x
0 ⇒
funkcja jest
silnie malejąca
na przedziale
I
.
(5)Jeżeli
∀
x
∈
I : f '
x
≤0 ⇒
funkcja jest
słabo malejąca
na przedziale
I
.
Dowód:
Pełen dowód podpunktu (1): Niech
x
1
, x
2
∈
I
Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że
c
∈
x
1
, x
2
: f '
c
=
f
x
1
−
f
x
2
x
1
−
x
2
. Z założeń podpunktu (1)
x
∈
I
: f '
x
=0
, czyli:
f
x
1
−
f
x
2
=0 ⇔
f
x
1
=
f
x
2
, a więc dla każdych dwóch argumentów z danego przedziału
wartość jest stała. C.B.D.U
Kolejne podpunkty dowodzimy analogicznie, np. jeżeli
x
∈
I
: f '
x
0
, to zachodzi implikacja:
x
1
x
2
⇒
f
x
1
f
x
2
, a to z definicji oznacza, że funkcja jest rosnąca itd.
∃
∃
Plik z chomika:
lopezz811
Inne pliki z tego folderu:
Matematyka 1 dowody wybranych twierdzeń.pdf
(133 KB)
Inne foldery tego chomika:
Budowlanka
Książki
Prywatne
zachomikowane
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin