kwantyczIV.pdf

(292 KB) Pobierz
Atom wodoru
Mechanika kwantowa IV
Opracowanie:
Barbara Pac, Piotr Petelenz
Atom wodoru
W układzie środka mas równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jonów wodoropodobnych ma postać:
( ) ψ
− 2
h
2
∆
+
V =
ψ
E
[.3.84]
µ
gdzie:
ˆ −
=
Ze
2
[.3.85]
r
∆ - operator Laplace’a zdefiniowany wzorem [W.3.71]
Sferycznie symetryczny potencjał w równaniu [W.3.84] umożliwia rozdzielenie w nim zmiennych; funkcję ψ
można zapisać w postaci iloczynu:
ψ
nlm
(
r =
,
ϑ
,
)
R
nl
(
r
)
Y
lm
(
ϑ
,
)
[.3.86]
Funkcjami Y występującymi we wzorze [W.3.86] są funkcje kuliste zdefiniowane wzorami [W.3.75-77]. Z
przyczyn zwyczajowych zastępujemy występujące w nich liczby kwantowe J i M liczbami kwantowymi l i m
( Y
M
→
Y ,
l
m
).
l
−
Zr
)
R
(
r
)
=
N
2
Zr
e
na
0
F
l
−
n
+
1
2
l
+
2
2
Zr
[.3.87]
nl
nl
na
na
0
0
gdzie:
n - główna liczba kwantowa ( n = 1,2,3…)
l - poboczna (orbitalna) liczba kwantowa ( l = 0,1,2…. n -1)
( ) 2
=
1
(
n
+
l
)!
2
Z
3
/
nl
(
2
l
+
1
)!
2
n
(
n
−
l
−
1
)!
na
0
[W.3.88]
)
(
a
,
b
;
x
to zwyrodniała funkcja hipergeometryczna zdefiniowana wzorem:
F
(
a
,
b
;
x
)
=
1
+
a
x
+
a
(
a
+
1
x
2
+
a
(
a
+
1
)(
a
+
2
)
x
3
+
.....
[.3.89]
b
⋅
1
b
(
b
+
1
2
b
(
b
+
1
)(
b
+
2
)
3
W interesującym nas przypadku tj. (
F
l
−
n
+
1
2
l
+
2
2
Zr
)
funkcja ta jest wielomianem stopnia n-l -1 zmiennej
2
na
.
na
0
0
Energia własna atomu wodoru (i jonów wodoropodobnych) jest kwantowana tylko przez liczbę kwantową n :
µ
Z
2
e
4
E n
=
−
[.3.90a]
2 h
n
2
2
Wzór ten w jednostkach atomowych przyjmuje postać:
Z
2
E n
=
−
[W.3.90b]
2 n
2
ψ są równocześnie funkcjami własnymi hamiltonianu, kwadratu momentu pędu i składowej zetowej
momentu pędu:
H
ψ =
nlm E
n
ψ
nlm
[.3.91]
M
ˆ
2
ψ
nlm
=
l
(
l
+
1
h
2
ψ
nlm
[.3.92]
M
ˆ
z
ψ h
nlm
=
m
ψ
nlm
[.3.93]
Prawdopodobieństwo napotkania elektronu w elemencie dv można zapisać jako:
dP
(
r
,
ϑ
,
)
=
R
2
(
r
)
|
Y
(
ϑ
,
)
2
r
2
sin
ϑ
drd
ϑ
d
ϕ
[.3.94]
nl
lm
Scałkowanie powyższego wyrażenia po współrzędnych ϑ i ϕ daje:
dP
( =
r
)
R
nl
2
(
r
)
r
2
dr
[.3.95]
W takim razie radialna (czyli zależna tylko od zmiennej r ) gęstość prawdopodobieństwa to:
ρ
(
r
)
=
dP
(
r
)
=
R
2
(
r
)
r
2
[.3.96]
dr
nl
2
V
Funkcja R(r) - tzw . funkcja radialna – jest zdefiniowana następująco:
( ) (
J
,
N
F
Zr
Funkcje nlm
ˆ
|
424134880.019.png 424134880.020.png 424134880.021.png 424134880.022.png
Przykład 6
1. Znajdź jawne postaci orbitali 3p 1 i 3p -1 dla atomu wodoru.
2. Utwórz z powyższych funkcji odpowiednie orbitalne rzeczywiste.
3. Które z wymienionych wielkości fizycznych: energia, kwadrat momentu pędu, składowa zetowa momentu pędu
nie są ostro zadane w stanach opisanych orbitalami 3p 1 , 3p -1 i orbitalami wyprowadzonymi w punkcie 2.
4. Oblicz wartość a) średnią, b) najbardziej prawdopodobną odległości elektronu znajdującego się na orbitalu 3p x
od jądra.
Ad.1
Orbitale 3p 1 i 3p -1 (czyli 31 ψ i
31 ψ ) możemy (wzór [W.3.86]) zapisać w postaci:
1
ψ
311
(
r =
,
ϑ
,
)
R
31
(
r
)
Y
11
(
ϑ
,
)
[3.6.1a]
ψ
31
−
1
(
r
,
ϑ
,
)
= Y
R
31
(
r
)
1
−
1
(
ϑ
,
)
[3.6.1b]
Funkcja R 31 (r) przyjmie (wzór [W.3.87]) postać:
( ) ( )
0
−
r
3
a
R
(
r
)
=
N
2
r
e
0
F
−
1
4
2
r
[3.6.2a]
31
31
na
3
a
0
gdzie: ( ) ( ) 2
N
=
1
4
2
3
/
2
=
1
2
3
/
[3.6.2b]
31
3
6
⋅
1
3
a
3
3
a
0
0
F
(
−
1
2
r
)
=
1
−
1
2
r
[3.6.2c]
3
a
4
3
a
0
0
W takim razie:
( ) ( )
3
/
2
−
r
3
a
( )
5
/
2
−
r
3
a
1
2
2
r
r
4
1
r
[3.6.2d]
R
(
r
)
=
e
0
(
−
)
=
r
(
6
−
)
e
0
31
3
3
a
3
a
6
a
81
6
a
a
0
0
0
0
0
Postaci funkcji
Y
11
(
ϑ
,
)
oraz
Y
1
−
1
(
ϑ
,
)
zostały wyprowadzone w przykładzie 5 (wzory [3.5.8a] i [3.5.8b]):
Y
(
ϑ
,
)
=
1
3
sin
ϑ
e
i
ϕ
[3.5.8a]
11
2
2
π
Y
(
ϑ
,
)
= sin
1
3
ϑ
e
−
i
ϕ
[3.5.8b]
1
−
1
2
2
π
Ostatecznie zatem:
()
5
/
2
−
r
( )
5
/
2
−
r
3
p
=
4
1
r
(
6
−
r
)
e
3
a
0
1
3
sin
ϑ
e
i
ϕ
=
1
1
r
(
6
−
r
)
e
3
a
0
sin
ϑ
e
ϕ
[3.6.3a]
1
81
6
a
a
2
2
π
81
π
a
a
0
0
0
0
()
5
/
2
−
r
( )
5
/
2
−
r
3
p
=
4
1
r
(
6
−
r
)
e
3
a
0
1
3
sin
ϑ
e
−
i
ϕ
=
1
1
r
(
6
−
r
)
e
3
a
0
sin
ϑ
e
−
ϕ
[3.6.3b]
−
1
81
6
a
a
2
2
π
81
π
a
a
0
0
0
0
Ad.2
Orbitalami rzeczywistymi będą kombinacje liniowe podanych orbitali zespolonych 3p 1 i 3p -1 o postaci:
i
'
(
3
p
1 −
+ p
3
1
)
"
(
3
p
1 −
− p
3
1
)
gdzie N’ i N” są stałymi normującymi odpowiednią kombinację.
e
im
ϕ
+
e
−
im
ϕ
=
cos2 ϕ
m
[3.6.4a]
e
im
ϕ
−
e
−
im
ϕ
=
sin2 ϕ
i
m
)
[3.6.4b]
Stosując je w naszym przypadku mamy:
= ( )
5
/
2
−
r
3
a
i
ϕ
−
i
ϕ
( )
5
/
2
−
r
3
1
1
r
2
1
r
N
'
(
3
p
+ p
3
)
N
'
r
(
6
−
)
e
0
sin
ϑ
(
e
+
e
)
=
N
'
(
6
−
)
e
0
r
sin
cos
ϕ
1 −
1
81
π
a
a
81
π
a
a
0
0
0
0
[3.6.5]
1 (porównaj: Przykład 1, punkt 5a). Unormowaną, rzeczywistą
funkcję o podanej niżej postaci oznaczymy jako orbital 3p x (w nawiązaniu do współrzędnych sferycznych, w
których mamy
2
x =
r
sin
ϑcos
ϕ
).
( )
5
/
2
−
r
3
a
[3.6.6]
3
p x
=
1
(
3
p
+
3
p
− )
=
2
1
(
6
−
r
)
e
0
r
sin
ϑ
cos
ϕ
1
1
2
81
2
π
a
a
0
0
Analogicznie:
()
5
/
2
−
r
( )
5
/
2
−
r
N
"
(
3
p
− p
3
)
=
N
"
1
1
r
(
6
−
r
)
e
3
a
0
sin
ϑ
(
e
i
ϕ
−
e
−
i
ϕ
)
=
N
'
2
i
1
(
6
−
r
)
e
3
0
r
sin
sin
ϕ
1 −
1
81
π
a
a
81
π
a
a
0
0
0
0
[3.6.7]
3
i
i
N
Taka postać orbitali rzeczywistych wynika ze wzorów Eulera:
)
N
a
ϑ
Stała normalizująca kombinacji ( N’ ) jest równa
a
ϑ
424134880.001.png 424134880.002.png 424134880.003.png 424134880.004.png 424134880.005.png 424134880.006.png 424134880.007.png 424134880.008.png
=
Unormowaną, rzeczywistą funkcję o podanej niżej postaci oznaczymy jako orbital 3p y (we współrzędnych
sferycznych
N −
"
i
2
y =
r
sin
ϑsin
ϕ
).
( )
5
/
2
−
r
3
p
=
−
i
(
3
p
−
3
p
− )
=
2
1
(
6
−
r
)
e
3
a
0
r
sin
ϑ
sin
ϕ
[3.6.8]
y
1
1
2
81
2
π
a
a
0
0
Ad.3
Aby móc określić wartość energii, kwadratu momentu pędu i składowej zetowej momentu pędu dla elektronu
znajdującego się na danym orbitalu musimy znać wartości liczb kwantowych- odpowiednio n, l i m [wzory W.3.90-
94].
Zestawy liczb kwantowych charakteryzujących orbitale 3p 1 , 3p -1 , 3p x i 3p y podano w poniższej tabeli
orbital n l m
3p 1
3 1 1
3p -1
3 1 -1
3p x
3 1 *
3p y
3 1 *
Dla każdego z interesujących nas orbitali możemy określić wartości liczb n i l , a co za tym idzie wartości energii i
kwadratu momentu pędu znajdujących się na nich elektronów. Wartość magnetycznej liczby kwantowej m jest
jednoznacznie określona tylko dla orbitali 3p 1 i 3p -1 , a zatem dla znajdujących się na nich elektronów możemy
określić wartość składowej zetowej momentu pędu.
Ad.4
Wartość średnia (porównaj wzór [W.3.3]) odległości elektronu znajdującego się na orbitalu 3p x od jądra opisana
jest wzorem:
r
=
3
p
x
r
3
p
x
[3.6.9]
W takim razie:
()
∞
ππ
2
−
r
()
−
r
∫∫∫
5
/
2
5
/
2
3
a
3
a
2
r
=
2
1
(
6
−
r
)
e
0
r
sin
ϑ
cos
ϕ
r
2
1
(
6
−
r
)
e
0
r
sin
ϑ
cos
ϕ
r
sin
ϑ
drd
ϑ
d
ϕ
=
a
a
a
a
81
2
π
0
0
81
2
π
0
0
00
0
( )
∞
ππ
2
−
2
r
( )
∞
−
2
r
π
2
π
5
∫∫∫
5
∫
∫ ∫
2
4
3
a
3
2
2
5
3
a
3
2
=
4
1
(
6
−
r
)
r
e
0
sin
ϑ
cos
ϕ
drd
ϑ
d
ϕ
=
2
1
(
6
−
r
)
r
e
0
dr
sin
ϑ
d
ϑ
cos
ϕ
d
ϕ
=
12
,
a
6561
2
π
a
a
6561
⋅
π
a
a
0
0
0
0
0
00
0
0
0
0
[3.6.10]
π
∫
sin =
3
ϑ d
ϑ
1
1
[3.6.11a]
3
0
2
π
∫
2
cos d
ϕ
ϕ
=
π
[3.6.11b]
0
∞
−
2
r
∫
2
5
3
a
6
0
[3.6.11c]
r
(
6
−
)
r
e
0
dr
=
30754
,
6875
a
a
0
0
Powyższe obliczenia można uprościć biorąc pod uwagę, że funkcję można rozbić na część radialną (zależną od
interesującej nas zmiennej „ r ”) i „kątową” (zależną od zmiennych ϑ i ϕ ). Każda z tych funkcji z osobna musi być
unormowana.
Mamy zatem:
∞
ππ
2
∞
ππ
2
( ) ( )
∞
ππ
2
( ) ϕ
r
=
∫∫∫
3
p
r
3
p
r
2
sin
ϑ
drd
ϑ
d
ϕ
=
∫∫∫
R
(
r
)
2
Y
#
1
(
ϑ
,
)
2
r
3
sin
ϑ
drd
ϑ
d
ϕ
=
∫
R
2
31
(
r
)
r
3
dr
∫∫
Y
#
1
(
ϑ
,
)
2
sin
ϑ
d
ϑ
d
x
x
31
00
0
0
0
0
0
0
0
[3.6.12]
Ponieważ, z warunku unormowania, druga całka musi być równa jedności to:
∞
r
=
∫
R
2
31 )
(
r
r
3
dr
[3.6.13]
0
4
Aby utworzony orbital był unormowanym orbitalem rzeczywistym:
⋅
424134880.009.png 424134880.010.png 424134880.011.png 424134880.012.png 424134880.013.png
 
Wstawiając postać funkcji R 31 (r) mamy:
∞
∞
( )
−
r
2
( )
∞
−
2
r
( )
∫
2
31
3
∫
5
/
2
3
a
3
5
∫
2
3
a
5
5
6
0
4
1
r
8
1
r
8
1
r
=
R
(
r
)
r
dr
=
r
(
6
−
)
e
0
r
dr
=
(
6
−
)
e
0
r
dr
=
30754
,
6875
a
=
12
,
a
0
81
6
a
a
6561
⋅
3
a
a
6561
3
a
0
0
0
0
0
0
0
0
[3.6.14]
Radialną gęstość prawdopodobieństwa (wzór [W.3.96]) można w naszym przypadku zapisać jako:
2
(
r =
)
R
2
31
(
r
)
r
[3.6.15]
Po wstawieniu jawnej postaci funkcji R 31 (r) otrzymujemy
( )
−
r
2
( )
−
2
r
−
2
r
5
/
2
3
a
2
5
2
3
a
4
2
4
3
a
4
1
r
8
1
r
r
[3.6.15a]
ρ
(
r
)
=
r
(
6
−
)
e
0
r
=
(
6
−
)
e
0
r
=
C
(
6
−
)
r
e
0
a
a
6561
⋅
3
a
a
a
81
6
0
0
0
0
0
gdzie ( ) 5
=
Naszym celem jest znalezienie maksimum rozkładu gęstości danego wzorem [3.6.15a]:
C
8
1
6561
⋅
3
a
0
r
3
3
r
2
−
2
r
2
r
3
−
2
r
−
r
r
3
18
r
2
2
r
3
=
ρ
'
(
r
)
=
C
(
2
6
r
2
−
)(
12
r
−
)
e
3
a
0
−
(
6
r
2
−
)
2
e
3
a
0
)
=
Ce
3
a
(
6
r
2
−
)(
24
r
−
+
)
a
a
3
a
a
a
a
3
a
2
0
0
0
0
0
0
0
=
−
2
r
r
18
r
2
r
2
[3.6.16]
3
a
3
Ce
0
r
(
6
−
)(
24
−
+
)
a
a
2
0
3
a
0
0
Miejsca zerowe funkcji
' ρ to:
)
ρ
'
(
r
)
= r
0
=
0
lub
r =
6 a
lub
r
=
27
+
15
3
a
lub
r
=
27
−
15
3
a
[3.6.17]
0
2
0
2
0
a jej maksima globalne przypadają dla
r
=
27
−
15
3
a
i
r
=
27
+
15
3
a
[3.6.18]
2
0
2
0
5
⋅
ρ
2
0
424134880.014.png 424134880.015.png 424134880.016.png 424134880.017.png 424134880.018.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin