notatki.pdf
(
247 KB
)
Pobierz
Wst¦p
Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ¢wicze« z matematyki prowadzonych na kierunkach: Bu-
downictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, In»ynieria Odnawialnych ródeł Energii. Znajduj¡ si¦ tu
najwa»niejsze rzeczy z teorii, zrobione przykładowe typowe zadania oraz zestaw zada« do samodziel-
nych ¢wicze«.
Dobre opanowanie materiału zawartego w tym opracowaniu powinno wystarczy¢ do zaliczenia ¢wicze«,
warto jednak pami¦ta¢, »e nie jest to kompletne opracowanie zagadnie« omawianych na wykładzie i
¢wiczeniach, w zwi¡zku z czym zdecydowanie warto zajrze¢ te» do innych ¹ródeł. W szczególno±ci
warto robi¢ zadania z ksi¡»ek M. Lassaka czy te» Krysickiego, Włodarskiego.
W razie zauwa»enia jakich± bł¦dów w tym tek±cie prosz¦ o sygnał, na przykład mailowy:
michal.musielak@utp.edu.pl
Michał Musielak
1
1Funkcjerzeczywiste
Dziedzinafunkcji
Dziedzinanaturalna
funkcji rzeczywistej, to maksymalny zbiór liczb rzeczywistych dla którego funkcja
jest dobrze okre±lona.
W praktyce pewne liczby mog¡ nam ”wypa±¢” z dziedziny w nast¦puj¡cych wypadkach:
ˆ
Aby wyra»enie
1
t
miało sens, musi by¢
t
x
0
º
ˆ
Aby wyra»enie
t
miało sens, musi by¢
t
C
0
ˆ
Aby wyra»enie
1
º
t
miało sens, musi by¢
t
>
0
ˆ
Aby wyra»enie log
a
t
miało sens, musi by¢
t
>
0
ˆ
Aby wyra»enie log
t
a
miało sens, musi by¢
t
>
0 i
t
x
1
ˆ
Aby wyra»enie arcsin
t
lub arccos
t
miało sens, musi by¢
−
1
B
t
B
1
Przykładowe zadanie:
Znale¹¢ dziedzin¦ naturaln¡ funkcji:
arcsin
x
2
f
(
x
) =
»
1
−
log
2
(
x
+
2
)
Rozwi¡zanie:
Musz¡ by¢ spełnione nast¦puj¡ce warunki:
−
1
B
x
2
B
1
x
+
2
>
0
1
−
log
2
(
x
+
2
) >
0
Pierwszy warunek oznacza, »e
x
> [−
2
,
2
]
. Drugi, »e
x
> (−
2
,
+ª)
. W przypadku trzeciego mamy:
1
>
log
2
(
x
+
2
)
log
2
2
>
log
2
(
x
+
2
)
2
>
x
+
2
0
>
x
czyli
x
> (−ª
,
0
)
. Poniewa» musz¡ by¢ spełnione wszystkie trzy warunki jednocze±nie, wi¦c odpowie-
dzi¡ jest cz¦±¢ wspólna tych przedziałów, czyli
(−
2
,
0
)
l
2
Funkcjeró»nowarto±ciowe
Funkcj¦ rzeczywist¡ nazywamy
ró»nowarto±ciow¡
je±li dla dowolnych
x
1
,x
2
z dziedziny funkcji zacho-
dzi wynikanie:
x
1
x
x
2
f
(
x
1
) x
f
(
x
2
)
Inaczej mówi¡c: funkcja ró»nowarto±ciowa ró»nym argumentom przypisuje ró»ne warto±ci (jak sama
nazwa wskazuje).
W praktyce wykaza¢, »e funkcja jest ró»nowarto±ciowa mo»na kilkoma sposobami:
ˆ
Mo»na skorzysta¢ z równowa»nej definicji ró»nowarto±ciowo±ci:
f
(
x
1
) =
f
(
x
2
)
x
1
=
x
2
ˆ
Mo»na narysowa¢ wykres funkcji (o ile to mo»liwe) i sprawdzi¢ czy ka»da prosta pozioma przetnie
ten wykres co najwy»ej raz (wtedy funkcja b¦dzie ró»nowarto±ciowa) czy te» przeciwnie: istnieje
taka prosta pozioma, która przetnie wykres przynajmniej dwa razy (wtedy funkcja nie b¦dzie
ró»nowarto±ciowa)
ˆ
Je±li wiemy sk¡din¡d, »e funkcja jest monotoniczna, to mo»emy wywnioskowa¢, »e jest te» ró»-
nowarto±ciowa.
ˆ
Je±li badana funkcja jest zło»eniem funkcji ró»nowarto±ciowych, to sama te» jest ró»nowarto-
±ciowa.
Przykładowe zadanie:
Sprawdzi¢ czy funkcja
»
log
2
(
2
+
arcsin
x
)
f
(
x
) =
z dziedzin¡ naturaln¡ jest ró»nowarto±ciowa.
Rozwi¡zanie:
Nietrudno sprawdzi¢, »e dziedzina naturalna to
[−
1
,
1
]
. Je±li chcemy skorzysta¢ z definicji, to zakła-
damy, »e dla pewnych
x
1
,x
2
z dziedziny zachodzi równo±¢
f
(
x
1
) =
f
(
x
2
)
i sprawdzamy czy wynika
st¡d, »e
x
1
=
x
2
:
»
log
2
(
2
+
arcsin
x
1
) =
»
log
2
(
2
+
arcsin
x
2
)
Podnosimy stronami do kwadratu:
log
2
(
2
+
arcsin
x
1
) =
log
2
(
2
+
arcsin
x
2
)
Korzystamy z tego, »e funkcja log
2
t
jest ró»nowarto±ciowa:
2
+
arcsin
x
1
=
2
+
arcsin
x
2
Odejmujemy obustronnie dwójk¦:
arcsin
x
1
=
arcsin
x
2
Korzystamy z ró»nowarto±ciowo±ci funkcji arcsin
t
x
1
=
x
2
Voila!
º
Inn¡ metod¡ jest zauwa»enie, »e nasza funkcja to zło»enie funkcji
x
, log
2
x
, 2
+
x
i arcsin
x
, z których
ka»da jest ró»nowarto±ciowa, a zatem nasza funkcja te» jest ró»nowarto±ciowa.
l
3
Funkcjaodwrotna
Je±li funkcja
f
A
B
(gdzie
A
to dziedzina, a
B
- zbiór warto±ci) jest ró»nowarto±ciowa, to istnieje
wtedy
funkcjaodwrotna
do niej (oznaczana przez
f
−
1
), której dziedzin¡ jest
B
, a zbiorem warto±ci
A
oraz je±li
f
(
x
) =
y
, to
f
−
1
(
y
) =
x
.
Mo»na powiedzie¢, »e funkcja odwrotna zamienia miejscami warto±¢ z argumentem funkcji wyj±ciowej.
Rozwa»my na przykład funkcj¦
f
(
x
) =
log
2
(
2
x
+
4
)
. Łatwo sprawdzi¢ (rysuj¡c wykres), »e jej dziedzin¡
jest
(−
2
,
+ª)
, a zbiorem warto±ci
R
oraz, »e funkcja jest ró»nowarto±ciowa. Istnieje zatem funkcja do
niej odwrotna.
Funkcja wyj±ciowa przypisuje argumentowi
x
warto±¢
y
zgodnie z ”przepisem”
y
=
log
2
(
2
x
+
4
)
, czyli
”we¹ argument, pomnó» go przez dwa, do wyniku dodaj czwórk¦, a cało±¢ zlogarytmuj przy podstawie
dwa”. Je±li szukamy funkcji odwrotnej, to tym razem argumentem jest
y
, a warto±ci¡
x
, wi¦c chod¹
zale»no±¢ mi¦dzy nimi to równie»
y
=
log
2
(
2
x
+
4
)
, to tym razem podobnego ”przepisu” nie ma (bo
obliczenie
x
dla danej warto±ci
y
wymagałoby za ka»dym razem rozwi¡zania równania).
Skoro wi¦c ”przepisu” na to jak wylicza¢ warto±¢
x
w zale»no±ci od
y
nie ma, to nale»y go znale¹¢.
Mamy:
y
=
log
2
(
2
x
+
4
)
2
y
=
2
x
+
4
2
y
−
4
=
2
x
2
y
−
1
−
2
=
x
i st¡d mamy ”przepis” na
x
:
x
=
2
y
−
1
−
2
lub jak kto woli:
f
−
1
(
y
) =
2
y
−
1
−
2
Na koniec mo»na jeszcze z przyczyn estetycznych zmieni¢ nazw¦ zmiennej na
x
(alternatywnie mo»na
te» zamieni¢ miejscami
x
i
y
na samym pocz¡tku):
f
−
1
(
x
) =
2
x
−
1
−
2
4
wiczenia
1.1
Narysuj wykres funkcji:
a)
f
(
x
) = (
x
−
2
)
2
+
3
d)
f
(
x
) =
3
−
4
x
b)
f
(
x
) =
2
x
−
1
−
1
c)
f
(
x
) =
2
−
log
3
(
x
−
3
)
2
x
+
1
1.2
Sprawd¹ czy funkcja jest ró»nowarto±ciowa:
a)
f
(
x
) =
e
x
3
+
4
c)
f
(
x
) =
2
x
3
−
2
b)
f
(
x
) =
ln
(
x
2
+
4
)
d)
f
(
x
) =
e
x
+
e
−
x
1.3
Znajd¹ dziedzin¦ naturaln¡ oraz zbiór warto±ci. Sprawd¹ czy funkcja jest ró»nowarto±ciowa, a je±li
tak, to wyznacz funkcj¦ odwrotn¡. :
a)
f
(
x
) =
2
+
log
5
(
x
+
1
)
¼
»
1
−
x
c)
f
(
x
) =
5
x
7
4
d)
f
(
x
) =
log
2
2
x
−
4 log
2
x
x
−
2
b)
f
(
x
) =
1.4
Wyznacz funkcj¦ odwrotn¡ do podanej:
a)
f
(
x
) =
x
2
−
2
x
+
3 dla
x
> (
1
,
+ª)
b)
f
(
x
) =
2
x
−
5
+
5
z dziedzin¡ naturaln¡
d)
f
(
x
) =
º
c)
f
(
x
) =
x
+
1
x
dla
x
> (
1
,
ª)
2
x
−
8 z dziedzin¡ naturaln¡
e)*
f
(
x
) =
cos
x
dla
x
> [
,
2
]
5
Plik z chomika:
wesol1987
Inne pliki z tego folderu:
2012-10-27 09.38.37.jpg
(1475 KB)
2012-10-27 09.38.51.jpg
(1287 KB)
2012-10-27 09.38.23.jpg
(1163 KB)
3.Granice_funkcji.pdf
(65 KB)
notatki.pdf
(247 KB)
Inne foldery tego chomika:
Matematyka Notatki UTP
MATEMATYKA sem 1
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin