Lista03.pdf
(
139 KB
)
Pobierz
262660075 UNPDF
Listazadanianr3
Metodyprobabilistyczneistatystyka
studiaIstopnia–informatyka(rok2)
WydziałuEkonomiczno-Informatycznego
FiliaUwBwWilnie
JarosławKotowicz
InstytutMatematykiUniwersytetwBiałymstoku
4grudnia2008
Listazadanianr3–schematyrachunkuprawdopodobie«stwa
c
J.Kotowicz2008
1
1. Niech zdarzenia
A,B
s¡ niezale»ne. Udowodni¢, »e s¡ niezale»ne nast¦puj¡ce zdarzenia
A,B
0
;
A
0
,B
;
A,
;
;
A,
;
A,B
[
C
je±li
B
\
C
=
;
;
A
0
,B
0
.
2. Niech
P
(
A/B
) =
P
(
A/B
0
) oraz
P
(
B
)
>
0
,P
(
B
0
)
>
0. Udowodni¢, »e zdarzenia
A,B
s¡ niezale»ne.
3. Niech
A
B,A
i
C
oraz
B
i
C
s¡ zdarzeniami niezale»nymi. Udowodni¢, »e zdarzenia
B
\
A
i
C
s¡ równie» niezale»ne.
4. Rzucamy dwiema kostkami, okre±laj¡c trzy zdarzenia:
A
- nieparzysta ilo±¢ oczek na pierwszej kostce,
B
- nieparzy-
sta ilo±¢ oczek na drugiej kostce,
C
- nieparzysta suma oczek. Czy zdarzenia
A,B,C
s¡ niezale»ne parami? Czy s¡
niezale»ne?
5. Niech
A
jest zdarzeniem losowym. Sprawdzi¢, »e
A
1
:=
A
×
,A
2
:=
×
A
s¡ zdarzeniami niezale»nymi w
produkcie przestrzeni probabilistycznej
6. Zdarzenia
A
1
,...,A
n
s¡ niezale»ne, a ich prawdopodobie«stwo wynosi odpowiednio
p
k
=
P
(
A
k
)
>
0. Zdarzenie
B
polega na zaobserwowaniu w pojedynczym do±wiadczeniu chocia» jednego spo±ród zdarze«
A
k
,k
= 1
,...,n
. Wyznaczy¢
prawdopodobie«stwo zdarzenia
B
.
7. Udowodni¢, »e dla dowolnego ci¡gu
p
1
,p
2
,...,p
n
liczb takich, »e 0
¬
p
i
<
1
,
istnieje przestrze« probabilistyczna i
zdarzenia niezale»ne
A
1
,A
2
,...,A
3
w tej przestrzeni takie, »e
P
(
A
i
) =
p
i
.
8. Niech =
{
!
1
,!
2
,...,!
6
}
,S
= 2
,P
(
!
i
) =
6
.
Okre±li¢ w (
,S,P
) dwa zdarzenia
A,B
niezale»ne takie, »e 0
<
P
(
A
)
<
1 i 0
<P
(
B
)
<
1
.
9. Niech =
{
!
1
,!
2
,...,!
7
}
,S
= 2
,P
(
!
i
) =
7
.
Czy mo»na okre±li¢ w (
,S,P
) dwa zdarzenia A, B niezale»ne takie,
»e 0
<P
(
A
)
<
1 i 0
<P
(
B
)
<
1?
10.
Wtrzechnast¦pnychzadaniachmamy
= [0
,
1]
,Pjestmiar¡Lebesque‘ana[0,1].
Poda¢ przykład zdarze« niezale»nych
A
1
,A
2
takich, »e
P
(
A
1
) =
P
(
A
2
) =
3
.
11. Poda¢ przykład zdarze« niezale»nych
A
1
,A
2
,A
3
takich, »e
P
(
A
1
) =
P
(
A
2
) =
P
(
A
3
) =
2
.
12. Poda¢ przykład zdarze« niezale»nych
A
1
,A
2
,...,A
n
takich, »e
P
(
A
1
) =
P
(
A
2
) =
...
=
P
(
A
3
) =
2
.
13. Niech zdarzenia
A,B
s¡ niezale»ne oraz
P
(
A
[
B
) = 1
.
Wtedy
P
(
A
) = 1 lub
P
(
B
) = 1
.
14. Niech zdarzenia
A,B
s¡ niezale»ne oraz
P
(
A
[
B
) = 1
.
Wtedy
P
(
A
) = 0 lub
P
(
B
) = 0
.
15. Wykaza¢, »e je±li
E
1
,
E
2
,
E
3
s¡ parami niezale»ne i
E
1
nie zale»y od iloczynu
E
1
\
E
2
to
E
1
nie zale»y od sumy
E
1
[
E
2
.
16. Z tali zawieraj¡cej 52 karty wybrano 5 kart. Czy zdarzenie ’w±ród wybranych kart jest as pik’ i ’w±ród wybranych kart
jest dwójka trefl’ s¡ niezale»ne ?
17. Wyka», »e zdarzenia
A
i
A
[
B
s¡ niezale»ne wtedy i tylko wtedy, gdy
P
(
A
) = 0 lub
P
(
A
[
B
) = 1.
18. Wyka», »e zdarzenia
A
i
A
\
B
s¡ niezale»ne wtedy i tylko wtedy, gdy
P
(
A
) = 1 lub
P
(
A
\
B
) = 0.
19. Niech zdarzenia
A,B
oraz
A
[
B
i
A
\
B
s¡ niezale»ne. Wtedy
P
(
A
) = 1
_
P
(
B
) = 1
_
P
(
A
) = 0
_
P
(
B
) = 0
.
20. Niech
A
1
,A
2
,A
3
,A
4
b¦d¡ zdarzeniami niezale»nymi o prawdopodobie«stwach równych odpowiednio
p
1
,p
2
,p
3
,p
4
. Wy-
znaczy¢ prawdopodobie«stwo nast¦puj¡cego zdarzenia (
A
1
[
A
2
)
\
(
A
3
[
A
4
).
1
1
2
1
1
2
Listazadanianr3–schematyrachunkuprawdopodobie«stwa
c
J.Kotowicz2008
21. Rzucamy 3 razy monet¡. Niech
A
- co najmniej raz wypadł¡ reszka;
B
- wypadły trzy orły lub trzy reszki.
Czy zdarzenia
A,B
0
A,B
s¡ niezale»ne?
22. W hurtowni znajduj¡ si¦ lodówki trzech fabryk
A,B,C
. Lodówki fabryki
A
stanowi¡ 45% wszystkich lodówek w
hurtowni,
B
40%, reszta
C
. Wadliwo±¢ lodówek z ka»dej fabryk wynosi odpowiedni 0,1% 0,05% 0,02%. Wybieramy
losowo jedn¡ lodówk¦. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e b¦dzie ona dobra.
23. Dane z poprzedniego zadania. Wylosowano lodówk¦, która okazała si¦ wadliwa. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e
pochodzi ona z fabryki
A
.
24. Na pewnym kierunku studiów skład grupy studenckiej przedstawiał si¦ nast¦puj¡co: I grupa 14 studentek i 11 studentów,
II 12 studentek i 12 studentów, II 17 studentek i 5 studentów. Z listy zawieraj¡cej spis wszystkich osób studiuj¡cych na
tym kierunku wylosowano osob¦, która okazała si¦ studentk¡. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e nale»y ona do grupy
III.
25. Wiadomo, »e 1 osoba na 38 spo±ród przekraczaj¡cych (pewn¡) granic¦ przemyca narkotyki. Specjalnie wytresowany
pies zatrzymuje co 27 osob¦ spo±ród nie przemycaj¡cych narkotyków i przepuszcza (nie zatrzymuje) co 9 osob¦ spo±ród
przemycaj¡cych narkotyki. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e osoba, która przeszła przez granic¦ nie zatrzymana przez
psa jest przemytnikiem narkotyków?
26. Z trzech klubów zaproponowano odpowiednio: 4, 6, 5 kandydatów do reprezentowania kraju w zawodach. Prawdopo-
dobie«stwa wygranej w zawodach dla zawodników kolejnych klubów wynosz¡ odpowiednio: 0,9 , 0,7 , 0,8 . Wylosowany
z grona kandydatów zawodnik wygrał. Z którego klubu najprawdopodobniej on pochodzi?
27. Mamy 5 urn: w 2 s¡ po 2 kule białe i po 1 czarnej, w 1 jest 10 czarnych kul, w 2 s¡ po 3 kule białe i po 1 czarnej.
Losujemy urn¦, a nast¦pnie wyci¡gamy 1 kul¦ z wylosowanej urny. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e jest to kula
biała?
28. W pierwszej urnie znajduje si¦
a
białych i
b
czarnych kul. W drugiej
b
białych i
a
czarnych kul. Przenosimy jedn¡ kul¦
z pierwszej urny do drugiej, a nast¦pnie wyci¡gamy kul¦ z drugiej urny. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e jest to biała
kula.
29. Dane s¡ dwie urny. I zawiera 5 kul białych i 3 czarne, a II 6 białych i 2 czarne. Z losowo wybranej urny wzi¦to kul¦.
Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e b¦dzie to kula czarna.
30. Mamy 5 urn typu A i 7 urn typu B. W ka»dej z urn typu A jest po 7 kul białych, 3 czarnych i 5 niebieskich, a w ka»dej
z urn typu B: 4 białe, 4 czarne i 7 niebieskich. Z losowo wybranej urny wzi¦to dwie kule. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo
wylosowania kul ró»nokolorowych.
31. Dane s¡ dwie urny. Jedna zawiera 17 kul białych i 2 czarne, druga 5 białych i 23 czarne. Rzucamy kostk¡ do gry. Je±li
otrzymali±my co najwy»ej dwa oczka to losujemy z urny pierwszej, je±li 3,4,5 to z drugiej, a je±li 6 to rzucamy kostk¡
jeszcze raz. Je±li w drugim losowaniu otrzymamy 1 lub dwójk¦ losujemy z urny I, w przeciwnym wypadku z urny II.
Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e losuj¡c dwie kul z urny otrzymamy dwie kule jednakowych kolorów;
Wylosowano dwie jednokolorowe kul. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e pochodz¡ one z urny pierwszej.
32. W pewnej fabryce maszyny typu A,B,C daj¡ odpowiednia 25 %, 35 % i 40 % produkcji danego wyrobu. Maszyny te
produkuj¡ odpowiednio 5 %, 4 % i 2 % braków.
Listazadanianr3–schematyrachunkuprawdopodobie«stwa
c
J.Kotowicz2008
3
Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e wylosowani towaru dobrego
Wylosowano towar dobry. Jakie jest prawdopodobie«stwo Wylosowano dwie jednokolorowe kul. Obliczy¢ prawdo-
podobie«stwo, »e pochodzi on z maszyny B?
33. W magazynie hurtowni znajduj¡ si¦ suszarki produkowane w trzech ró»nych zakładach
A
1
,A
2
,A
3
. Zapasy hurtowni sta-
nowi¡ odpowiednio 40%
,
35%
,
25% produkcji zakładów
A
1
,A
2
,A
3
. Wiadomo, »e zakłady produkuj¡ ±rednio 1%
,
2%
,
3%
braków. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e losowo sprawdzona suszarka oka»e si¦
dobra;
wybrakowana;
Wylosowana suszarka okazała si¦ dobra. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e została wyprodukowana w zakładzie
A
2
?
34. Tre±¢ zadania 33 z tym, »e suszarki z ka»dego zakładu s¡ składowane w oddzielnych pomieszczeniach. Rozwi¡za¢ zadanie
przy takich zało»eniach.
35. W pudełku znajduj¦ si¦ 120 oporników
A
i 80 serii
B
. Losujemy jeden opornik. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
b¦dzie to opornik wadliwy, je»eli w serii
A
jest 4% wadliwych, a w
B
5%.
36. W magazynach hurtowni znajduj¡ si¦ sanki produkowane przez fabryki
A,B,C
Zapasy stanowi¡ odpowiednio 40%,
35% i 25%. Wiadomo, »e zakładu produkuj¡ odpowiednio 1%, 2% oraz 3% braków. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo
wylosowania sanek dobrych.
37. Niech
k
\
8
1
¬
k
¬
n
−
1
,P
(
A
l
)
>
0
.
l
=1
Udowodni¢, »e
n
\
n
−
1
\
n
−
2
\
P
(
A
l
) =
P
(
A
n
/
A
l
)
·
P
(
A
n
−
1
/
A
l
)
·
...
·
P
(
A
2
/A
1
)
·
P
(
A
1
)
.
l
=1
l
=1
l
=1
38. W ka»dej z wyprodukowanej przez warsztat partii kłódek ±rednio 98 % jest dobra, a na ka»de 100 kłódek dobrych
przypada ±rednio 75 kłódek I gatunku. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrana kłódka jest I gatunku.
39. Strzelec trafia w tarcz¦ z prawdopodobie«stwem 0,9. Na ka»de 10 strzałów w sam ±rodek trafia 2. Obliczy¢ prawdopo-
dobie«stwo, »e strzelaj¡c do tarczy strzelec trafi w sam ±rodek.
P
n
i
=1
P
(
A
i
)
P
(
B
|
A
i
)
41. Do dyspozycji s¡ armaty: I z 1 pociskiem oraz II z 2 pociskami. Do zniszczenia s¡ dwa cele:
A
i
B
. Prawdopodobie«stwo
trafienia w cel
A
z armaty I wynosi
p
I
(
A
) = 0
,
8
.
Analogicznie
p
I
(
B
) = 0
,
75
,p
II
(
A
) = 0
,
5
,p
II
(
B
) = 0
,
35. W przypadku
trafienia w cel prawdopodobie«stwa jego zniszczenia s¡ równe odpowiednio:
P
I
(
A
) = 0
,
4
,P
I
(
B
) = 0
,
5
,P
II
(
A
) =
0
,
5
,P
II
(
B
) = 0
,
6
.
Jak wykorzysta¢ armaty, aby prawdopodobie«stwo zniszczenia obu celów było najwi¦ksze? Obliczy¢
je.
42. Wiadomo, »e w trakcie
n
rzutów monet¡ przynajmniej raz wypadł orzeł. Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia,
»e liczba orłów jest wi¦ksza lub równa 2.
43. Mamy dwie urny typu
A
1
zawieraj¡ce 3 białe i 7 czarnych kul, trzy urny typu
A
2
zawieraj¡ce 2 białe, 3 czarne i
5 zielonych kul oraz pi¦¢ urn typu
A
3
zawieraj¡cych 1 biał¡ i 9 czarnych kul. Wyci¡gni¦to kul¦, która okazała si¦
by¢ biała. Jakiemu typowi urny odpowiada najwi¦ksze prawdopodobie«stwo pochodzenia kuli i jaka jest jego warto±¢
liczbowa?
44. Z partii przedmiotów, z których
m
jest dobrych i
n
wadliwych wybrano
r
sztuk. Przy kontroli okazało si¦, »e pierwszych
k
spo±ród
r
wybranych jest dobrych. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e nast¦pny przedmiot b¦dzie dobry.
40. Udowodni¢ nast¦puj¡ce twierdzenie: Je±li
A
1
[
A
2
[
...
[
A
n
=
,
dla
i
6
=
j
zachodzi
A
i
\
A
j
=
;
,P
(
A
)
>
0
,P
(
B
)
>
0
,
to dla dowolnego
k
zachodzi wzór:
P
(
A
k
|
B
) =
P
(
A
k
)
P
(
B
|
A
k
)
4
Listazadanianr3–schematyrachunkuprawdopodobie«stwa
c
J.Kotowicz2008
45. Wylosowany kamie« domina okazał si¦ nie by¢ podwójnym (tzn. na jego połowach s¡ ró»ne ilo±ci oczek). Jakie jest
prawdopodobie«stwo, »e nast¦pny dobrany losowo spo±ród pozostałych b¦dzie mo»na do niego przystawi¢?
46. Partia towaru liczy
N
sztuk. Weryfikacja jako±ci odbywa si¦ w ten sposób, »e po wykryciu wadliwych
k
sztuk w próbie
n
elementów partia taka b¦dzie odrzucona,
(1
<k<n<N
). Wyznaczy¢ prawdopodobie«stwo, »e partia zawieraj¡ca
n
wadliwych sztuk b¦dzie przyj¦ta.
47. Wyka», »e je±li
P
(
A
) =
a,P
(
B
) =
b
, gdzie
b
6
= 0, to
P
(
A
|
B
)
1
−
1
−
a
b
.
48. Zbadaj, dla jakich zdarze«
A,B
spełniony jest warunek
P
(
A
) =
P
(
A
|
B
) +
P
(
A
|
B
0
).
49. Danych jest
k
1
urn zawieraj¡cych po
m
1
kul białych i
n
1
kul czarnych oraz
k
2
urn zawieraj¡cych po
m
2
kul białych i
n
2
kul czarnych. Z losowo wybranej urny wylosowano kul¦ która okazała si¦ biała. Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e
kula ta pochodzi z jednej z urn typu pierwszego.
50. Rzucamy dwoma jednorodnymi kostkami. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo otrzymania sumy oczek równej 3, je±li wiado-
mo, »e na jednej kostce było jedno oczko.
51. W urnie znajduje si¦ 6 kul białych i 6 czarnych. Losujemy bez zwracania 2 kule. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e
wylosowano za drugim razem kul¦ czarn¡, je±li wiadomo, »e za pierwszym razem wylosowano kul¦ biał¡.
52. W szkole licz¡cej 800 uczniów przeprowadzono ankiet¦ z której wynikało, »e 300 uczniów ma problemy z matema-
tyk¡. Na 100 uczniów maj¡cych kłopoty z matematyk¡ było 10 z ocena niedostateczna z tego przedmiotu. Obliczy¢
prawdopodobie«stwo, »e wybieraj¡c jednego ucznia b¦dzie on miał ocen¦ niedostateczn¡ z matematyki.
53. W±ród bli¹ni¡t 64% to bli¹ni¦ta tej samej płci. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e drugie z bli¹ni¡t jest dziewczynk¡
pod warunkiem, »e
pierwsze jest dziewczynk¡;
pierwsze jest chłopcem,
je±li wiadomo, »e prawdopodobie«stwo urodzenia chłopca wynosi 51%.
54. Trzy fabryki
A,B,C
dostarczaj¡ uszczelki do magazynu w stosunku ilo±ciowym 3:2:4. Fabryka
A
produkuje ±rednio 5%
braków,
B
2%, za±
C
3%. Losujemy z magazynu jedn¡ uszczelk¦. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo wylosowania dobrej.
55. Dane s¡ dwie urny. I zawiera 4 kule białe, 5 kul czarnych i 3 niebieskie, a II 2 białe, 4 czarne i 2 kule niebieskie.
Rzucamy symetryczn¡ monet¡. Je±li wypadł orzeł to losujemy z urny I, w przeciwnym wypadku z urny II. Obliczy¢
prawdopodobie«stwo, »e wylosujemy kule czarn¡.
56. Dane s¡ dwie urny. I zawiera 6 kul białych i 4 czarne, a II 5 białych i 5 kul czarnych. Rzucamy raz jednorodn¡ kostk¡
do gry, Je±li wypadły co najmniej 4 oczka losujemy 2 kule z urny I, w przeciwnym wypadku z urny II. Obliczy¢
prawdopodobie«stwo, »e otrzymamy dwie kule białe.
57. Strzelec
A
trafia do tarczy 8 razy na 10, za±
B
9 razy na 10. S¦dzia rzuca dwoma symetrycznymi monetami. Je±li
wypadnie co najmniej jeden orzeł, to strzela
A
, w przeciwnym wypadku
B
. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo trafienia w
tarcz¦.
58. W grupie uczniów, którzy maj¡ przyst¡pi¢ doustnego egzaminu maturalnego z matematyki znajduj¡ si¦ uczniowie
z trzech klas czwartych
a,,b,c
. Wiadomo i» uczniowie klasy
a
stanowi¡cy 10% całej grypy umiej¡ odpowiedzie¢ na
wszystkie pytania. Uczniowie klasy
b
stanowi¡cy 30% grupy umiej¡ odpowiedzie¢ na 50% pyta«, za± uczniowie klasy
c
tylko na 25% wszystkich pyta«. Obliczy¢ prawdopodobie«stwo, »e losowo wybrany ucze« odpowie na zadane pytanie.
59. Do sklepu dostarczono »arówki w 12 pudłach maj¡cych norm¦ minimum 2000 godzin ±wiecenia. 4 pudła z fabryki I
produkuj¡cej ±rednio 60% »arówek zgodnych z norm¡, 5 pudeł z fabryki II produkuj¡cej ±rednio 72% »arówek zgodnych
z norm¡, reszta z fabryki III, w której produkuj¦ si¦ 80% »arówek zgodnych z norm¡.
Obliczy¢ prawdopodobie«stwo zdarzenia, »e losuj¡c trzy »arówki z pudeł fabryk II lub III otrzymamy dokładnie
dwie zgodne z norm¡;
Plik z chomika:
Minnie_
Inne pliki z tego folderu:
7 wykładów ze statystyki.pdf
(703 KB)
Podręcznik.pdf
(1317 KB)
Rachunek Prawdopodobienstwa I i II-03--Kotowicz.pdf
(531 KB)
Przewodnik Po Statystyce [2002] [J. Górniak].pdf
(39393 KB)
Probabilistyka.A.Plucinska.E.Plucinski[gsa].pdf
(91312 KB)
Inne foldery tego chomika:
Algebra
Algebra liniowa
Analiza Funkcjonalna
Analiza matematyczna
Analiza Regresji
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin