Teoria_i_analiza_kinematyczna_płaskich_układów_prętowych.pdf

(5485 KB) Pobierz
104653469 UNPDF
MO
1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
1
1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
1.1. Płaskie układy tarcz sztywnych
Analiza kinematyczna służy nam do określenia czy dany układ spełnia wszystkie warunki aby być
konstrukcją budowlaną.
Podstawowym pojęciem stosowanym w analizie kinematycznej belek i ram płaskich jest tarcza
sztywna . Jest to uogólnienie znanej z kursu fizyki bryły sztywnej czyli ciała, którego odkształcanie w
warunkach danego zagadnienia jest zaniedbywalnie małe a odległość pomiędzy dwoma dowolnymi
punktami bryły sztywnej jest stała niezależnie od wielkości działających sił. Tarczę sztywną możemy sobie
wyobrazić jako bardzo cienką, płaską bryłę sztywną w kształcie plastra. Tarcza sztywna wraz z obciążeniem
na nią działającym znajdują się na jednej płaszczyźnie.
Przyjęcie tarczy sztywnej jako modelu rzeczywistej konstrukcji jest uzasadnione tym, że deformacje
mierzone w rzeczywistych konstrukcjach są bardzo małe w porównaniu z jej wymiarami. Można więc
przyjąć, że analizujemy konstrukcję niezdeformowaną czyli tak zwaną konfigurację pierwotną
konstrukcji . Inaczej powyższą zasadę nazywa się zasadą zesztywnienia .
Następnym bardzo ważnym pojęciem przy analizie kinematycznej jest stopień swobody . Jest to
niezależny parametr, za pomocą którego opisujemy położenie tarczy sztywnej na płaszczyźnie. Ich liczba
określa nam liczbę stopni swobody tarczy sztywnej. Aby znać dokładne położenie tarczy sztywnej na
płaszczyźnie wystarczy znać położenie dowolnego odcinka AB. Położenie tego odcinka może być opisane za
pomocą dwóch współrzędnych punktu A (x A i y A ) i kąta a, który jest kątem nachylenia odcinka AB.
Przedstawia to rysunek 1.1. Można więc stwierdzić, że pojedyncza tarcza sztywna posiada na
płaszczyźnie trzy stopnie swobody .
Y
B
x A
A
a
y A
X
Rys. 1.1. Stopnie swobody tarczy sztywnej na płaszczyźnie
Od konstrukcji budowlanej wymagamy aby nie była ona mechanizmem i pozostała nieruchoma
pod wpływem obciążenia . Aby tak było należy odebrać jej wszystkie stopnie swobody. Robi się to
przymocowując tarcze sztywne do nieruchomej tarczy podporowej za pomocą więzów . Tarczą podporową
w przypadku rzeczywistych konstrukcji jest na przykład podłoże gruntowe.
Pierwszym rodzajem więzu jest pręt podporowy . Został on przedstawiony na rysunku 1.2 a i b.
Schemat pręta podporowego przedstawia rysunek 1.2 c.
Jak widać na rysunku 1.2 pręt podporowy ma możliwość obrotu względem sworznia (a w zasadzie
punktu) A. Tarczę sztywną podpartą prętem podporowym przedstawia rysunek 1.3. Do opisu położenia
tarczy sztywnej połączonej z podłożem jednym prętem podporowym potrzebne są dwa niezależne parametry
(kąty a oraz b). Czyli tarcza sztywna utraciła jeden stopień swobody. Można więc ostatecznie stwierdzić, że
pręt podporowy odbiera tarczy sztywnej jeden stopień swobody .
Drugim rodzajem więzu jest przegub . Przedstawia go rysunek 1.4. Tarcza sztywna ma możliwość
obrotu względem takiego przegubu.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
104653469.050.png 104653469.061.png 104653469.070.png
MO
1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
2
Przegub przedstawiony na rysunku 1.4 nazywa się przegubem rzeczywistym . Do opisu położenia
tarczy sztywnej połączonej z podłożem przegubem rzeczywistym potrzebny jest jeden niezależny parametr
(kąt nachylenia tarczy sztywnej do poziomu). Przedstawia to rysunek 1.5. Tarcza sztywna utraciła więc dwa
stopnie swobody. Można więc ostatecznie stwierdzić, że przegub rzeczywisty odbiera tarczy sztywnej
dwa stopnie swobody .
a)
b)
c)
A
A
A
Rys. 1.2. Pręt podporowy
b
A
a
Rys. 1.3. Stopnie swobody tarczy sztywnej popartej prętem podporowym
a)
b)
c)
A
A
A
Rys. 1.4. Przegub
A a
Rys. 1.5. Stopnień swobody tarczy sztywnej podpartej przegubem rzeczywistym
Przegub może być także utworzony z dwóch prętów podporowych. Mówimy wtedy o przegubie
fikcyjnym . Punkt przegubu znajduje się na przecięciu kierunków obu prętów podporowych. Przedstawia to
rysunek 1.6. Może się zdarzyć taka sytuacja, że oba pręty podporowe tworzące przegub fikcyjny będą do
siebie równoległe. Wtedy przegub fikcyjny znajduje się w nieskończoności i taki przegub nazywa się
przegubem niewłaściwym . Tarczę sztywną podpartą dwoma równoległymi prętami podporowymi
przedstawia rysunek 1.7 a. Rysunek 1.7 b przedstawia ruch tarczy sztywnej, która przesunęła się w kierunku
prostopadłym do kierunku obu prętów podporowych.
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
104653469.071.png 104653469.001.png 104653469.002.png 104653469.003.png 104653469.004.png 104653469.005.png 104653469.006.png 104653469.007.png 104653469.008.png 104653469.009.png 104653469.010.png 104653469.011.png 104653469.012.png 104653469.013.png 104653469.014.png 104653469.015.png 104653469.016.png 104653469.017.png 104653469.018.png 104653469.019.png 104653469.020.png 104653469.021.png
MO
1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
3
A
A
Rys. 1.6. Przegub fikcyjny
a)
b)
∞
A
Rys. 1.7. Tarcza sztywna podparta przegubem niewłaściwym w nieskończoności
Możliwe jest także połączenie więcej niż dwóch tarcz sztywnych przegubem. Przegub taki nazywa się
przegubem wielokrotnym . Rysunek 1.8 a przedstawia trzy tarcze sztywne połączone przegubem
wielokrotnym.
a)
b)
II
II
A
A
I
I
III
III
Rys. 1.8. Przegub wielokrotny
Jak widać przegub wielokrotny A łączący trzy tarcze sztywne odpowiada czterem prętom
podporowym. Ogólnie jeżeli przegub wielokrotny łączy t tarcz sztywnych to odpowiada on
2⋅ t −1
(1.1)
prętom podporowym.
Pojedyncza tarcza sztywna posiada na płaszczyźnie trzy stopnie swobody. Jeżeli tych tarcz będzie t to
będą one posiadały
3⋅ t
(1.2)
stopni swobody. Warunkiem koniecznym geometrycznej niezmienności układu tarcz sztywnych jest
zależność
3⋅ t p ,
(1.3)
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
104653469.022.png 104653469.023.png 104653469.024.png 104653469.025.png 104653469.026.png 104653469.027.png 104653469.028.png 104653469.029.png 104653469.030.png
 
MO
1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
4
w której t oznacza liczbę tarcz natomiast p oznacza liczbę stopni swobody odbieranych przez więzy.
Nierówność (1.3) oznacza, że liczba stopni swobody odbieranych przez więzy jest większa lub równa liczbie
stopni swobody wszystkich tarcz sztywnych stanowiących układ tarcz sztywnych. Układy, w których
zastosowano większą niż minimalna liczba więzów nazywa się układami geometrycznie niezmiennymi
statycznie niewyznaczalnymi . Układy tego typu nie będą tutaj rozpatrywane ze względu na to, że do
rozwiązania ich konieczne będą dodatkowe równania niż tylko rozpatrywane w dalszej części równania
równowagi.
Układy, w których zastosowano minimalną liczbę więzów nazywa się układami geometrycznie
niezmiennymi statycznie wyznaczalnymi . Spełniają one warunek
3⋅ t = p .
(1.4)
Układy tarcz sztywnych, które nie spełniają warunku (1.3) nazywa się układami geometrycznie
zmiennymi .
Równanie (1.4) jest warunkiem koniecznym ale niewystarczającym geometrycznej niezmienności.
Możliwe są układy, które spełniają równanie (1.4) jednak będące układami geometrycznie zmiennymi.
Układ tarcz sztywnych musi spełniać także warunki dostateczne geometrycznej niezmienności . Dopiero
spełnienie warunku koniecznego oraz warunków dostatecznych geometrycznej niezmienności stanowi o
tym, że układ tarcz sztywnych jest geometrycznie niezmienny.
Dla pojedynczej tarczy sztywnej podpartej trzema prętami podporowymi warunkiem dostatecznym
geometrycznej niezmienności jest to, że kierunki wszystkich trzech prętów podporowych nie mogą
przecinać się w jednym punkcie . Rysunek 1.9 a przedstawia tarczę sztywną geometrycznie niezmienną
natomiast rysunek 1.9 b przedstawia tarczę sztywną geometrycznie zmienną.
a)
b)
Rys. 1.9. Tarcza sztywna: a)geometrycznie niezmienna, b) geometrycznie zmienna
Dla pojedynczej tarczy sztywnej podpartej przegubem rzeczywistym i prętem podporowym
warunkiem dostatecznym geometrycznej niezmienności jest to, aby przegub rzeczywisty nie znajdował się
na kierunku pręta podporowego . Rysunek 1.10 a przedstawia tarczę sztywną geometrycznie niezmienną
natomiast rysunek 1.10 b przedstawia tarczę sztywną geometrycznie zmienną.
Często wykorzystywanym układem tarcz sztywnych jest układ trzech tarcz (z których jedna może być
tarczą podporową) połączonych między sobą przegubami (rzeczywistym, fikcyjnym lub niewłaściwym).
Układ taki nazywamy układem trójprzegubowym . Dla takiego układu tarcz sztywnych warunkiem
dostatecznym geometrycznej niezmienności jest fakt, że trzy przeguby nie znajdują się na jednej prostej .
Rysunek 1.11 przedstawia układy trójprzegubowe geometrycznie niezmienne natomiast rysunek 1.12
przedstawia układy trójprzegubowe geometrycznie zmienne.
Korzystając z trzech powyższych warunków dostatecznych geometrycznej niezmienności można
udowodnić, geometryczną niezmienność większości przypadków układów tarcz sztywnych. Analizę
kinematyczną zaczyna się od tej tarczy sztywnej lub układu trójprzegubowego, które spełniają jeden z
powyższych warunków dostatecznych. Taką tarczę lub układ trójprzegubowy można więc teraz uznać jako
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
104653469.031.png 104653469.032.png 104653469.033.png 104653469.034.png 104653469.035.png 104653469.036.png 104653469.037.png 104653469.038.png 104653469.039.png
MO
1. ANALIZA KINAMATYCZNA PŁASKICH UKŁADÓW PRĘTOWYCH
5
tarczę podporową dla pozostałych tarcz sztywnych. Analizę pozostałych tarcz sztywnych przeprowadza się
podobnie jak na początku analizy kinematycznej. Istnieją układy tarcz sztywnych, dla których nie da się
udowodnić geometrycznej niezmienności w sposób opisany powyżej. Dla takich układów analizę
kinematyczną przeprowadza się metodą nazywaną planem biegunów (metoda ta nie będzie tutaj
rozpatrywana) lub przy wykorzystaniu równań równowagi, co zostanie opisane w dalszej części.
a)
b)
Rys. 1.10. Tarcza sztywna: a)geometrycznie niezmienna, b) geometrycznie zmienna
B
B
C
A
C
A
A
B
∞
C
Rys. 1.11. Geometrycznie niezmienne układy trójprzegubowe
C
B
∞
C
A
B
A
A
B
C
Rys. 1.12. Geometrycznie zmienne układy trójprzegubowe
Dr inż. Janusz Dębiński
Zaoczni
104653469.040.png 104653469.041.png 104653469.042.png 104653469.043.png 104653469.044.png 104653469.045.png 104653469.046.png 104653469.047.png 104653469.048.png 104653469.049.png 104653469.051.png 104653469.052.png 104653469.053.png 104653469.054.png 104653469.055.png 104653469.056.png 104653469.057.png 104653469.058.png 104653469.059.png 104653469.060.png 104653469.062.png 104653469.063.png 104653469.064.png 104653469.065.png 104653469.066.png 104653469.067.png 104653469.068.png 104653469.069.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin