rozd5.pdf

(287 KB) Pobierz
QPrint
5. WIELOWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE
5.1. Podstawowe okreĻlenia
Niech
1 bħdĢ ZL okreĻlonymi na przestrzeni probabilistycznej P
,
...,
n
, S
,
.
KaŇdemu te ZL przyporzĢdkowujĢ n-wymiarowy wektor
( 1
(
),
...,
n
(
))
=
( .
)
Definicja 1. Odwzorowanie
, wyznaczone przez ZL
R
n
1 nazywamy
,
...,
n
wektorem losowym lub wielowymiarowĢ (n-wymiarowĢ) ZL.
W ciĢgu dalszym bħdziemy badaę przypadek szczeglny 2
n , tj. rozpatrywaę
=
dwuwymiarowĢ ZL )
=
(
,
.
Definicja 2. Funkcjħ
F
( ,
z
)
=
F
(
x
,
y
)
=
P
{
<
x
,
<
y
}
,
gdzie )
z
=
( y
x
,
, nazywamy dystrybuantĢ wektora losowego (ZL dwuwymiarowej)
=
(
,
)
.
Jest oczywiste, Ňe znajĢc dystrybuantħ zmiennej losowej dwuwymiarowej
moŇemy wyznaczyę dystrybuanty jednowymiarowych ZL
i :
F
(
x
)
=
P
{
<
x
}
=
lim
P
{
<
x
,
<
y
}
=
lim
F
(
x
,
y
)
=
F
(
x
,
)
,
y
y
F
(
y
)
=
P
{
<
y
}
=
lim
P
{
<
x
,
<
y
}
=
lim
F
(
x
,
y
)
=
F
(
,
y
)
.
x
x
W przypadku tym rozkþady ZL
i okreĻlone przez dystrybuanty )
F
(x
i
F odpowiednio wyznaczajĢ tzw. rozkþady brzegowe ZL dwuwymiarowej
)
. W
sposb oczywisty wynika stĢd, Ňe
li ,
F
(
x
,
y
)
=
F
(
,
)
=
1
oraz =
F
− )
,
x
y
= x
( =
.
Tak samo jak w przypadku jednowymiarowym rozkþad wektora losowego
)
,
−
)
0
zaliczamy do typu dyskretnego, jeŇeli ten wektor losowy przybiera nie wiħ-
cej niŇ przeliczalnĢ liczbħ wartoĻci.
Rozkþad wektora losowego )
(
,
jest typu absolutnie ciĢgþego, jeŇeli jego
dystrybuantħ moŇemy zapisaę w postaci
=
(
,
x y
F
(
x
,
y
)
=
f
(
u
,
v
)
du
dv
,
−
−
gdzie 0
f
(
x
,
y
)
dla dowolnych rzeczywistych y
x, ,
f
( =
x
,
y
)
dx
dy
1
.
−
−
38
(y
( y
F
=
169132191.007.png
Funkcja )
f nazywa siħ għstoĻciĢ ZL )
( y
x
,
=
(
,
. MoŇna jĢ wyznaczyę pra-
wie wszħdzie jako
= )
2
F
(
x
,
y
f
(
x
,
y
)
.
x
y
MoŇemy teraz okreĻlię għstoĻci brzegowe, tj. għstoĻci ZL
i odpowiednio:
f
= dy
(
x
)
f
(
x
,
y
)
,
f
= dx
(
y
)
f
(
x
,
y
)
. (1)
−
−
W przypadku dwuwymiarowej ZL )
(
,
typu dyskretnego o rozkþadzie okre-
Ļlonym liczbami
p
(
x
i
,
y
k
)
=
P
{
=
x
i
,
=
y
k
}
, oznaczamy
p
( P
x
i
)
=
{
=
x
i
}
=
p
(
x
i
,
y
k
)
,
p
( P
y
k
)
=
{
=
y
k
}
=
p
(
x
i
,
y
k
)
.
k
i
p Î rozkþad ZL . Zo-
staþy one wyznaczone jako odpowiednie sumy prawdopodobieıstw )
Liczby )
p
( x
wyznaczajĢ rozkþad ZL
, a liczby )
( k
y
p dwu-
( k
x
i y
,
wymiarowej ZL )
.
DzielĢc stronami pierwszĢ z tych rwnoĻci przez )
(
,
p
( x
, otrzymujemy
=
p
(
x
i
,
y
k
)
1
, czyli liczby
p
(
x
i
,
y
k
)
tworzĢ tzw. warunkowy rozkþad ZL przy
p
(
x
)
p
(
x
)
k
i
i
warunku, Ňe ZL
przyjmuje wartoĻę i
x ( x
=
).
PrzyjmujĢc oznaczenia
p
(
y
|
x
)
=
P
{
=
y
|
=
x
}
=
p
(
x
i
,
y
k
)
, =
p
( k
x
i y
|
)
k
i
k
i
p
(
x
)
i
=
P
=
x
|
=
y
}
=
p
(
x
i
,
y
k
)
, w ktrych )
p jest prawdopodobieıstwem, Ňe
( i
y
k x
|
i
k
p
(
y
)
k
ZL przyjmuje wartoĻę k
y przy warunku
=
x
, a )
p
(
x
i
|
y
k
jest prawdopodobieı-
stwem, Ňe ZL
przyjmuje wartoĻę i
x przy warunku k
.
=
y
WykorzystujĢc otrzymane wzory dostajemy
p =
(
x
i
,
y
k
)
= .
p
(
x
i
|
y
k
)
p
(
y
k
)
p
(
y
k
|
x
i
)
p
(
x
i
)
Przykþad. ZL )
(
,
ma dwuwymiarowy rozkþad normalny, gdy jej għstoĻę
f ma postaę
( y
,
)
1
1
−
(
x
−
)
2
f
(
x
,
y
)
=
exp
−
1
2
2
−
2
)
2
2
1
−
1
2
1
x
−
y
−
(
y
−
)
2
−
2
1
2
+
2
, (2)
2
1
2
2
gdzie 0
, 0
1 >
, 1
2 >
2
<
. Obliczmy għstoĻci brzegowe.
39
{
x
169132191.008.png 169132191.009.png
GħstoĻci brzegowe sĢ okreĻlone wzorami (1). Aby obliczyę wartoĻę caþki, za-
uwaŇmy, Ňe wykþadnik potħgi we wzorze (2) moŇna przeksztaþcię w sposb nastħpu-
jĢcy:
−
1
−
(
x
−
1
)
2
2
x
−
1
y
−
2
+
(
y
−
2
)
2
=
2
2
2
2
−
)
1
2
1
2
1
−
(
x
−
)
2
x
−
y
−
2
(
y
−
)
2
=
−
1
2
1
2
+
2
−
2
2
2
2
−
)
1
2
1
2
2
(
y
−
)
2
(
y
−
)
2
−
2
+
2
=
2
2
2
2
1
2
1
=
−
x
−
−
1
(
y
−
)
−
(
y
−
)
2
.
1
2
2
2
(
−
2
)
2
2
2
2
1
2
Jak wiemy,
e
−
x
2
dx
=
2
(caþka Poissona). Z tego wynika, Ňe
−
1
1
2
exp
−
x
−
−
1
(
y
−
)
dx
=
1
.
1
2
2
2
−
2
)
2
2
(
−
)
2
1
−
1
Mamy, wiħc,
f
(
y
)
=
f
(
x
,
y
)
dx
=
1
exp
−
1
(
y
−
)
2
.
2
2
2
2
−
2
2
I analogicznie
f
(
x
)
=
f
(
x
,
y
)
dy
=
1
exp
−
1
(
x
−
)
2
.
2
2
2
1
−
1
1
Rozkþady brzegowe sĢ, wiħc, rozkþadami normalnymi.
5.2. NiezaleŇnoĻę zmiennych losowych
Intuicyjnie jest jasne, Ňe dwie ZL sĢ niezaleŇne, jeŇeli wartoĻci jednej z nich nie
wpþywajĢ na wartoĻci drugiej. Sprecyzujemy to pojħcie. ZL
i sĢ niezaleŇne, je-
Ňeli dla dowolnego zbioru A wartoĻci ZL
i dowolnego zbioru B wartoĻci ZL za-
chodzi rwnoĻę
P
{ B
A
,
}
=
P
{
A
}
P
{
B
}
.
i sĢ niezaleŇne wtedy i tylko wtedy, gdy dystrybu-
antħ ZL dwuwymiarowej )
=
(
,
da siħ przedstawię w postaci iloczynu dystrybu-
ant jednowymiarowych ZL
i :
F
(
x
,
y
)
= .
F
(
x
)
F
(
y
)
40
MoŇna dowieĻę, Ňe ZL
169132191.010.png 169132191.001.png 169132191.002.png 169132191.003.png 169132191.004.png
W przypadku ZL dyskretnych
i o wartoĻciach odpowiednio i
x , ...
i , i
=
1
2
y , ...
k
k , ZL
=
1
2
i sĢ niezaleŇne wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych i
x i
y zachodzi rwnoĻę
k
P
{
=
x
i
,
=
y
k
}
=
P
{
=
x
i
}
P
{
=
y
k
}
, czyli =
p
( k
x
i y
,
)
=
p
.
ZL absolutnie ciĢgþe
x
i
)
p
(
y
k
)
i o għstoĻciach )
f
(x
i )
f odpowiednio sĢ nieza-
(y
leŇne wtedy i tylko wtedy, gdy għstoĻę )
f ZL dwuwymiarowej )
( y
x
,
=
(
,
ma
postaę
f
(
x
,
y
)
= .
f
(
x
)
f
(
y
)
5.3. WartoĻę oczekiwana iloczynu zmiennych losowych
Twierdzenie 1. JeŇeli ZL
i sĢ niezaleŇne i istniejĢ WO
E , E i )
E , to
(
E )
(
=
E
E
.
Dowd. Podamy dowd tego twierdzenia dla ZL
i typu absolutnie ciĢgþego
o għstoĻciach odpowiednio )
f
(x
i )
f . Na mocy niezaleŇnoĻci ZL
(y
i mamy
E
(
)
=
xy
f
(
x
,
y
)
dx
dy
=
xy
f
(
x
)
f
(
y
)
dx
dy
=
−
−
−
−
=
xf
(
x
)
dx
yf
(
y
)
dy
=
E
E
,
−
−
.
PrzejĻcie do iloczynu caþek jest poprawne, gdyŇ zgodnie z zaþoŇeniem wszystkie
wystħpujĢce tu caþki sĢ zbieŇne bezwzglħdnie.
Dla ZL
f
(
x
,
y
)
=
f
(
x
)
f
(
y
)
jest għstoĻciĢ wektora losowego )
(
,
i typu dyskretnego, przyjmujĢcych wartoĻci i
x , k
y z prawdopodo-
bieıstwami )
p i )
( x
p odpowiednio mamy na mocy niezaleŇnoĻci
( k
y
E
(
)
=
x
i
y
k
p
(
x
i
,
y
k
)
=
x
i
y
k
p
(
x
i
)
p
(
y
k
)
=
i k
i k
=
x
p
(
x
)
y
p
(
y
)
=
E
E
.
i
i
k
k
i
k
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. IstniejĢ zaleŇne ZL
i takie, Ňe
E )
(
=
E
E
. Niech np.
i
bħdĢ niezaleŇnymi ZL o zerowych WO:
i sĢ oczywiĻcie w oglnym
przypadku zaleŇne (z wyjĢtkiem pewnych przypadkw trywialnych, takich np., gdy
const
=
E
=
0
. Przyjmijmy
=
. Wwczas ZL
=
), ale
E
(
)
=
E
(
2
)
=
E
2
E
=
0
=
E
E
.
41
(
gdzie
E
( .
Powręmy teraz do przykþadu z rozdziaþu 5.1 dotyczĢcego dwuwymiarowego
rozkþadu normalnego. Niech ZL
i
zachodzi rwnoĻę
D )
±
=
D
+
D
i sĢ niezaleŇne. ZL
ma rozkþad o għstoĻci
(
x
−
)
2
(
y
−
)
2
−
1
−
2
1
2
1
1
2
2
2
2
f
(
x
)
=
e
, a ZL ma rozkþad o għstoĻci
f
(
y
)
=
e
.
2
2
1
2
Wwczas għstoĻę ZL dwuwymiarowej )
(
,
jest rwna
1
1
(
x
−
)
2
(
y
−
)
2
f
(
x
,
y
)
=
f
(
x
)
f
(
y
)
=
exp
−
1
+
2
,
2
2
2
1
2
2
1
2
czyli, jak wynika ze wzoru (2), w przypadku niezaleŇnych áskþadowychÑ wektora
normalnego mamy 0
= .
42
ZauwaŇmy, Ňe na mocy wþasnoĻci wariancji D3 (patrz p. 4.2) otrzymujemy, Ňe
dla ZL niezaleŇnych
169132191.005.png 169132191.006.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin