Klasyczny rachunek zdań
Wstęp
Zajmiemy się obecnie klasycznym rachunkiem zdań (w skrócie KRZ), który jest bazowym rachunkiem logicznym. Rachunki zdań to formalne systemy dedukcyjne, w których analizuje się zależność wynikania jedynie od znaczenia spójników łączących zdania, natomiast nie wnika się zupełnie w strukturę wewnętrzną zdań. Dlatego, z punktu widzenia zastosowań, są to systemy dość słabe, np. poprawność prostych rozumowań analizowanych w module 1 nie daje się na ich gruncie uzasadnić. Są to jednak systemy istotne, gdyż zasady poprawności ustalone na ich gruncie zachowują swoją ważność również w systemach mocniejszych.
Wśród wielu znanych rachunków zdaniowych najprostszą logiką jest właśnie KRZ, a jego znajomość to dziś podstawa wszelkiej edukacji logicznej. Jest to również najstarszy system logiczny tego rodzaju, gdyż reguły, którymi będziemy się dalej zajmowali, były już znane logikom stoickim w III w. p.n.e.
Kolejno omówimy język KRZ i sposoby jego wykorzystania do formalizowania zdań złożonych w języku polskim. W temacie 2 poznamy szereg schematów reguł, które pozwalają na niezawodne wnioskowanie (tj. od zdań prawdziwych do prawdziwych). Następnie omówimy znaczenie spójników KRZ oraz ich stosunek do odpowiednich zwrotów z języka polskiego. Temat 4 wprowadza formalnie definicję wynikania w KRZ oraz pojęcie prawa logicznego, czyli tzw. tautologii. Na koniec podamy przykłady analizy rozumowań przy użyciu metod KRZ.
1. Język KRZ
1.1. Słownik
Język KRZ jest bardzo prosty, gdyż jako jedyne stałe występują tutaj wybrane spójniki, czyli funktory kategorii z/z lub z/z, z. Ponadto w grę wchodzą tylko funktory ekstensjonalne i to te najbardziej popularne. Zestaw wybranych funktorów może się zmieniać, my wyróżnimy tutaj pięć spójników, oznaczanych następującymi symbolami:
— jednoargumentowy funktor negacji: ¬,
— dwuargumentowe funktory:
• koniunkcji: ∧,
• alternatywy: ∨,
• implikacji: →,
• równoważności: ↔.
Intuicyjnie negacja ma odpowiadać zaprzeczeniu zdania, wyrażanemu w języku polskim np. przez zwrot „nieprawda, że”, koniunkcja odpowiada polskiemu „i”, alternatywa — „lub”, implikacja — „jeżeli..., to”, a równoważność — „wtedy i tylko wtedy, gdy”.
1.2. Zdania
Argumentami tych spójników są dowolne zdania w sensie logicznym, w języku KRZ reprezentowane przez zmienne zdaniowe. Zwyczajowo będziemy używać liter p, q, r, s, t... jako zmiennych zdaniowych. W przypadku negacji stawiamy symbol spójnika z lewej strony zdania, uzyskując, np. „¬p”, co czytamy „nieprawda, że p” (lub „negacja p”). W pozostałych przypadkach łączymy dwa zdania, wstawiając symbol spójnika pomiędzy jego argumenty, uzyskując: „p ∧ q”, „p ∨ q”, „p → q”, „p ↔ q”. Uzyskane w rezultacie wzory odczytujemy: „p i q”, „p lub q”, „jeżeli p, to q” i „p wtedy i tylko wtedy, gdy q” (lub „koniunkcja p i q” itd.). Zdania zbudowane z symboli tego języka sztucznego będziemy określać jako formuły klasycznego rachunku zdań.
Nazw: „negacja”, „koniunkcja” itd. będziemy używać nie tylko jako określeń wybranych przez nas spójników, ale również jako określenia formuł, których dany spójnik jest główną stałą logiczną. Zdania łączone spójnikiem będziemy nadal określać — w ogólnym przypadku — jako argumenty tego spójnika, jednak w przypadku implikacji lewy argument będziemy nazywali poprzednikiem, a prawy — następnikiem implikacji, natomiast w przypadku równoważności będziemy mówić o lewej i prawej stronie równoważności.
Oczywiście argumentami danego spójnika mogą być nie tylko zdania proste reprezentowane przez zmienne, ale również formuły złożone, które zawierają już stałe logiczne. Jeżeli w zdaniu mamy więcej spójników, to musimy za pomocą nawiasów zaznaczyć, jaka jest ich hierarchia, tzn. który jest funktorem głównym całego wyrażenia, a które są funktorami jego argumentów. Przykładowo formuła:
[p ∧ ¬(q ↔ r)] → ¬(s ∨ ¬q)
jest implikacją, której poprzednik to koniunkcja p i negacji równoważności
(q wtw r). Następnikiem jest negacja alternatywy złożonej z s i negacji q.
1.3. Poprawna formalizacja
Chcąc zastosować formalny aparat logiki do analizy rozumowań w języku naturalnym, musimy dokonać stosownego przekładu, czyli dokonać operacji formalizacji tekstu w języku naturalnym. Niestety, nie jesteśmy w stanie podać precyzyjnych reguł, które można stosować w sposób mechaniczny. Jest to niemożliwe z racji złożoności języków naturalnych i ich wieloznaczności. Możemy podać jedynie szereg wskazówek, które w zadowalającej (statystycznie) liczbie przypadków pozwalają na poprawną formalizację.
Przez poprawną formalizację rozumiemy tutaj przekład, w którym zdanie wyjściowe i otrzymana formuła mają takie same warunki prawdziwości. Należy jednak pamiętać, że nie dysponujemy tu precyzyjnymi kryteriami oceny efektu formalizacji — umiejętność formalizowania to duża sztuka i tylko trening czyni mistrza.
Dysponując tekstem, np. rozumowania, musimy jedynie wyróżnić te wyrażenia, które sygnalizują przesłanki i wnioski, oraz te, które odpowiadają wyróżnionym przez nas w KRZ spójnikom. Pozostałe ciągi wyrażeń traktujemy jako zdania proste, czyli przypisujemy im zmienne zdaniowe. Obowiązują tu dwie zasady poprawności:
— należy pamiętać, żeby różne wystąpienia tych samych zdań (lub różnych zdań, ale wyrażających ten sam sąd logiczny), zastąpić taką samą zmienną zdaniową,
— do zdań wyrażających różne sądy logiczne bezwzględnie przypisujemy różne zmienne.
Te pozornie proste wymogi w praktyce mogą przysporzyć wielu trudności, zwłaszcza wtedy, gdy analizujemy cudze rozumowania. Różne zdania wyrażające ten sam sąd logiczny mogą mieć bardzo odmienną strukturę, co przy nie dość dokładnej analizie może prowadzić do błędnego przypisania im różnych zmiennych. Natomiast nawet identycznie wyglądające zdania mogą czasem wyrażać inne sądy. Co więcej, często mogą w tekście występować nie tylko zdania, ale ich skróty, które należy prawidłowo rozwinąć do postaci zdań. Dlatego proces formalizacji musi być poprzedzony dokładną analizą znaczenia zdań w tekście.
Jeżeli w jakimś przypadku nie jesteśmy w stanie definitywnie rozstrzygnąć, w jakim znaczeniu są użyte pewne wyrażenia albo jaka jest struktura zdania złożonego, to powinniśmy osobno rozważyć różne możliwe do otrzymania schematy. Wybierając pomiędzy możliwymi wariantami, powinniśmy się kierować zasadą życzliwej interpretacji, czyli wybierać takie rozumienie, które zagwarantuje poprawność rozumowania (o ile jest to możliwe).
Dokonując formalizacji środkami KRZ, musimy też pamiętać, że zmienne zdaniowe mogą odpowiadać nie tylko zdaniom prostym. Jest przecież wiele spójników intensjonalnych, których nie jesteśmy w stanie wyróżnić, zatem zdania złożone zbudowane z ich pomocą musimy potraktować jako zdania proste na gruncie KRZ, czyli przydzielić im zmienną zdaniową. Rozważymy tu kolejno kilka problemów związanych z negacją, koniunkcją, alternatywą i implikacją.
1.4. Negacja
Negacja jest w języku polskim reprezentowana na wiele różnych sposobów. Zwrot „nieprawda, że”, który wybraliśmy jako formalny odpowiednik negacji, stosunkowo rzadko pojawia się w mowie potocznej. Znacznie częściej spotykamy się ze słówkiem „nie” zastosowanym w orzeczniku jako zaprzeczenie czasownika, czyli jako funktor funktorotwórczy kategorii (z/n)/(z/n) (np. „Antek nie śpi”) lub (z/n, n)/(z/n, n) (np. „Antek nie kocha Beaty”). Zazwyczaj zdania takie można potraktować jako równoważne zdaniom zbudowanym z użyciem „nieprawda, że” („Nieprawda, że Antek śpi”, „Nieprawda, że Antek kocha Beatę”).
Symbolu negacji można też użyć dla formalizacji wielu zdań, w których występują rzeczowniki, przymiotniki lub przysłówki z prefiksem„nie” (np. „niesolidny”, „niezręczny”, „niewinny”, „niepoprawnie”), ale znów trzeba zwracać uwagę na szereg przypadków, w których możemy uzyskać efekt niepożądany. Przykładowo, zdanie „Antek jest nieporadny” nie jest równoważne wyrażeniu „Nieprawda, że Antek jest poradny”, gdyż to drugie w ogóle nie jest zdaniem języka polskiego. Inne wyrażenia tego typu to: „niewola”, „nieboszczyk”, „nietakt”, „nieletni” itd. Zdania z wyrażeniami tego typu mogą zresztą wcale nie wymagać wprowadzania negacji przy formalizacji, np. „Pogoda jest niezmiennie dobra” zastąpimy po prostu zmienną zdaniową.
Język polski ma jeszcze jedną własność specyficzną, która wymaga uwagi przy przekładzie. Występowanie dwóch zwrotów przeczących w jednym zdaniu czasem wymaga użycia dwóch symboli negacji, a czasem tylko jednego. Dotyczy to zwłaszcza sytuacji, kiedy występują zwroty typu „niekiedy”, „nie zawsze”, „nigdy”, „nigdzie”, „nie wszędzie” itd., gdzie występuje mniej lub bardziej ukryta kwantyfikacja. Zdanie „Antek nigdzie nie znajdzie roboty” należy w związku z tym potraktować jako równoważne zdaniu „Nieprawda, że Antek znajdzie gdzieś robotę”. „Antek nie zawsze jest niesolidny” z pewnością nie oznacza „Antek zawsze jest solidny” (co otrzymalibyśmy po mechanicznym zastosowaniu zasady eliminacji podwójnej negacji), ale raczej „Antek czasem jest solidny”.
1.5. Koniunkcja
Symbol koniunkcji może w wielu przypadkach zastąpić takie wyrażenia, jak „i”, „oraz”, „a”, „ale”, „lecz”. Trzeba jednak pamiętać, że powyższe wyrażenia nie są w pełni synonimiczne, np. „a”, „ale” i „lecz” posiadają pewien sens służący konfrontacji bądź przeciwstawieniu znaczenia swoich argumentów, którego „i” nie posiada. Przykładowo, powiemy raczej: „Kowalski jest przystojny, ale bystry to nie jest” niż „Kowalski jest przystojny i nie jest bystry”. Pomijając jednak ten naddatek znaczeniowy słowa „ale” nad „i”, możemy uznać, że od strony ekstensjonalnej zachowują się one tak samo.
Prawie każde z wyrażeń podanych wyżej może w języku naturalnym wystąpić również jako funktor nazwotwórczy kategorii n/n, n, np.:
1. Tadek jest zdolny, ale leniwy.
2. Ania i Beata są zdolnymi studentkami.
W obu wypadkach można te zdania potraktować przy formalizacji jako zdania złożone koniunkcyjnie o postaci:
3. Tadek jest zdolny i Tadek jest leniwy.
4. Ania jest zdolną studentką i Beata jest zdolną studentką.
Należy jednak uważać i nie stosować takiego zabiegu mechanicznie. Rozważmy następujący przykład:
5. Ania i Beata są dobrymi koleżankami.
Zdanie to wydaje się mieć taką samą strukturę jak zdanie 2., ale nie możemy go potraktować jako koniunkcji o postaci „Ania jest dobrą koleżanką i Beata jest dobrą koleżanką”, a najwyżej jako koniunkcję „Ania jest dobrą koleżanką Beaty i Beata jest dobrą koleżanką Ani” W wielu analogicznych przypadkach wystarcza zresztą pozostawienie takiego zdania jako zdania prostego, np. tak zrobimy ze zdaniem „Ania i Marek są dobrym małżeństwem”.
1.6. Alternatywa 7
Symbol alternatywy odpowiada zasadniczo wyrażeniom „lub”, „albo”, „bądź”. Trzeba jednak pamiętać, że w języku polskim używamy tych zwrotów w co najmniej dwóch znaczeniach. Nasza alternatywa ∨ to tzw. alternatywa słaba (łączna), natomiast w języku naturalnym często mamy do czynienia z tzw. alternatywą mocną (rozłączną). Jest to również spójnik ekstensjonalny.
Pamiętajmy, że wyżej podane spójniki wyrażające alternatywę mogą też (podobnie jak koniunkcja) występować jako funktory nazwotwórcze kategorii n/n, n, np. w zdaniu „Wojtek zostanie policjantem lub strażakiem”. Zdanie tego rodzaju także można przekształcić na zdania złożone z użyciem spójnika alternatywy, co da w efekcie „Wojtek zostanie policjantem lub Wojtek zostanie strażakiem”.
1.7. Implikacja
Należy pamiętać, że „jeżeli..., to...” jest spójnikiem o wielu różnych znaczeniach i w wielu przypadkach formalizacja tego zwrotu z pomocą → jest wręcz niewskazana, bo może prowadzić do paradoksalnych efektów. Problem ten wyjaśnimy dokładniej po zdefiniowaniu znaczenia implikacji. Odnośnie synonimicznych form wyrażania implikacji warto zapamiętać, że (często) w tym samym znaczeniu używane są m.in. następujące sformułowania:
— jeżeli p, to q,
— gdy p, to i q,
— p, tylko jeżeli q,
— q, jeżeli p,
— q, chyba że nie p,
— o ile p, to q,
— q, o ile p.
2. Niezawodne reguły
2.1. Reguły
KRZ jako precyzyjnie zdefiniowany system logiczny został utworzony stosunkowo niedawno, bo dopiero na początku XX wieku. W szczególności sformułowano wtedy jego semantykę. Jednak wybrane zasady rachunku zdań zostały odkryte już w starożytności przez logików stoickich, a ich zasób znacznie poszerzono w średniowieczu. Intuicyjnie wyodrębniono (i stosowano) szereg reguł dedukcji, mimo braku semantyki, która pozwalałaby precyzyjnie sprawdzić ich poprawność.
Znajomość takich reguł jest przydatna również dzisiaj, pozwala bowiem na poziomie niemal intuicyjnym dokonywać poprawnych wnioskowań. Pomaga również w szybkiej ocenie poprawności rozumowań prezentowanych w argumentacji. Poniżej przedstawimy wybrane schematy podstawowych reguł dedukcji, których poprawność zależy od występowania odpowiednich spójników.
2.2. Modus ponendo ponens
Często określany krótko jako modus ponens lub reguła odrywania. Jest to schemat rozumowania o postaci:
p → q, p / q
Pozwala on na wydedukowanie z dwóch przesłanek — z których jedna ma postać implikacji, a druga jest jej poprzednikiem — następnika tej implikacji jako wniosku. Przykładowo ze zdań: „Jeżeli Jurek odebrał wypłatę, to poszedł do pubu” i „Jurek odebrał wypłatę” możemy wydedukować, że Jurek istotnie poszedł do pubu.
Warto zauważyć, że zarówno reguła modus ponens, jak i inne podane dalej, mogą być stosowane również do zdań o bardziej złożonej strukturze. Weźmy pod uwagę poniższe rozumowanie:
Jeżeli Romek nie chodził na wykłady, ale przeczytał podręcznik lub notatki od Kazika, to pójdzie na egzamin lub poprosi o przedłużenie sesji. Romek wprawdzie nie chodził na wykłady, ale przeczytał podręcznik lub notatki od Kazika. Zatem pójdzie na egzamin lub poprosi o przedłużenie sesji.
Ma ono następujący schemat:
[¬p ∧ (q ∨ r)] → (s ∨ t), ¬p ∧ (q ∨ r) / s ∨ t
Jednak łatwo zauważyć, że bez względu na stopień złożoności, przebiega ono również zgodnie ze schematem modus ponens.
2.3. Modus tolendo tollens
Często określany krótko jako modus tollens ma następujący schemat:
p → q, ¬q / ¬p
Według tego schematu przebiega na przykład rozumowanie:
Jeżeli Beata jest pilną studentką, to oddała już indeks do dziekanatu. Nie oddała. Zatem nie jest pilną studentką.
2.4. Modus tolendo ponens
Rozumowanie to ma schemat następujący:
p ∨ q, ¬p / q lub p ∨ q, ¬q / p
W rozumowaniu takim — mając alternatywę i zaprzeczenie jej dowolnego argumentu jako przesłanki — możemy wydedukować drugi człon tej alternatywy jako wniosek. Rozumowanie to określane jest czasem jako tzw. psi sylogizm, gdyż stoicki logik Chryzyp odwoływał się do niego jako przykładu na uzasadnienie przekonania, że psy również przeprowadzają rozumowania. Podobno pies Chryzypa, zatrzymawszy się na rozstajach w pościgu za lisem, powąchał przy jednej ścieżce, a kiedy nie poczuł tam śladu, to bez wahania ruszył w pościg drugą ścieżką. Miałoby to stanowić przykład bezwiednego zastosowania rozważanego tu schematu.
2.5. Sylogizm hipotetyczny
W najprostszej postaci wygląda następująco:
p → q, q → r / p → r
Może jednak składać się ze znacznie większej liczby przesłanek, np.:
p → q, q → r , r → s, s → t, t → w / p → w
Istotne dla sylogizmu hipotetycznego jest to, że we wniosku otrzymujemy implikację, która łączy poprzednik pierwszej przesłanki z następnikiem ostatniej, natomiast przesłanki tworzą łańcuch implikacji dowolnej długości.
Przykład:
Jeżeli Bolek spotka Kazika, to pójdą razem na piwo. Jeżeli pójdą na piwo, to Bolek znów przepuści wszystkie pieniądze. Zatem Bolek znów przepuści wszystkie pieniądze, jeśli spotka Kazika.
2.6. Dylematy konstrukcyjne
Są to rozumowania, w których jedna z przesłanek ma postać alternatywy, a ponadto występują przesłanki implikacyjne, których poprzedniki są argumentami tej alternatywy. Dwa najpopularniejsze warianty to dylemat konstrukcyjny prosty i złożony o schematach:
p ∨ q, p → r, q → r / r i p ∨ q, p → r, q → s / r ∨ s
Jeżeli przyjmiemy, że alternatywa może mieć więcej członów, to możemy otrzymać uogólnione warianty dylematów, np. dylemat prosty z alternatywą czteroczłonową ma postać:
p ∨ q ∨ r ∨ s, p → t, q → t, r → t, s → t / t
Zauważmy, że omówione tu schematy rozumowań są często wykorzystywane np. w dowodach matematycznych jako tzw. rozumowania przez rozważenie przypadków. Historycznie interesującego przykładu zastosowania obu dylematów dostarczają dwa rozumowania przypisywane kalifowi Omarowi:
Książki w Bibliotece Aleksandryjskiej są zgodne z Koranem lub nie. Jeżeli są zgodne z Koranem, to są zbędne. Jeżeli są niezgodne z Koranem, to są szkodliwe. Zatem są zbędne lub szkodliwe.
Książki w Bibliotece Aleksandryjskiej są zbędne lub sz...
marysia290a