TSiP_Wyklad_06a.pdf
(
195 KB
)
Pobierz
Wykład 6a
Związki między składowymi stanu naprężeń w układzie prostokątnym i biegunowym – c.d.
Zagadnienie:
Tarcza sprężysta w postaci klina nieograniczonego.
Obliczyć składowe stanu naprężenia w układzie biegunowym.
x
r
x
r
– współrzędne
biegunowe
P
2
–kąt wierzchołkowy
Przewidujemy funkcję naprężeń w postaci:
,
gdzie:
C
(prosta postać funkcji, podobnie jak wielomiany niższych stopni w przypadku układu ortokartezjańskiego)
Fr
,
Cr
sin
Sprawdzamy równanie biharmoniczne:
4
2
2
Fr
,
Fr
,
0
2
2
2
2
Fr
,
Fr
,
Fr
,
1
1
1
1
0
2
2
2
2
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
Obliczamy:
2
Fr
(, )
2
Cr
sin
0
r
2
r
2
1( ,
Fr
)
1
1
Cr
sin
C
sin
r
r
r
r
r
2
2
1
Fr
( ,
)
1
1
Cr
sin
Cr
sin
Cr
cos
2
2
2
2
2
r
r
r
1
C
Cr
cos
Cr
cos
Cr
sin
2 cos
sin
2
r
r
Operator Laplace’a we współrzędnych biegunowych:
2
2
Fr
,
Fr
,
Fr
,
1
1
1
C
2
C
r
2
cos
Fr
,
0
C
sin
2 cos
sin
r
2
r
r
r
2
2
r
r
Równanie biharmoniczne:
2
2
2
Fr
,
Fr
,
2
Fr
,
1
1
1
1
r
2
r
r
r
2
2
r
2
r
r
r
2
2
2
2
2
2
1
1
2
C
2
C
1
2
C
1
2
C
cos
cos
cos
cos
2
2
2
2
2
2
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
4
C
2
C
2
C
cos
cos
cos
→
równanie jest spełnione!
0
3
3
3
r
r
r
Składowe stanu naprężeń:
2
2
C
r
1
F
1
F
1
C
C
sin
2 cos
sin
cos
rr
2
2
rrr
r
r
2
F
r
0
2
1
F
1
1
Cr
sin
Cr
sin
Cr
cos
C
sin
cos
0
r
rr
rr
rr
r
1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
Teoria sprężystości i plastyczności
– Ćwicz. 6 KMBiM WILiŚ PG
x
Zatem:
d
x
P
r
rd
Stałą
C
wyznaczamy z warunku równowagi względem osi
x
„wyciętego” fragmentu klina:
P
0
1
, gdzie:
g r d
element powierzchni
2
cos
grd
P
rr
1
0
2
C
2
zatem:
2
cos
cos
grd
P
4
Cg
cos
d
P
1
1
r
0
0
Pomocnicze obliczenie całki:
2
2
cos
sin
d
1
2
2
cos
sin
d
sin 2
2
11
2
dodając stronami:
cos
d
sin 2
24
C
1
11
2
odejmując stronami:
sin
d
sin 2
24
C
1
Podstawiając wynik obliczeń pomocniczych:
2
4
Cg
cos
d
P
1
0
11
4
Cg
sin 2
24
P
1
0
11
4
Cg
sin 2
24
P
1
P
Cg
2 i
2
P
C
1
2 i
1
g
2
Stąd:
2
1
F
1
F
2
C
r
2
P
cos
cos
1
rr
2
2
rrr
rg
2 i
2
2
P
cos
1
rr
g
2si
2
r
Analogia:
Podobnie postępujemy dla obciążenia tarcza sprężystej
siłą pionową
:
x
r
P
r
– współrzędne
biegunowe
x
2 –kąt wierzchołkowy
2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
Teoria sprężystości i plastyczności
– Ćwicz. 6 KMBiM WILiŚ PG
Przewidujemy funkcję naprężeń w postaci:
,
gdzie:
C
(prosta postać funkcji, podobnie jak wielomiany niższych stopni w przypadku układu ortokartezjańskiego)
Fr
,
Cr
cos
Równanie biharmoniczne:
4
Fr
,
2
2
Fr
,
0
→
równanie jest spełnione!
Składowe stanu naprężeń:
2
1
F
1
F
2
C
r
sin
rr
rrr
2
2
2
F
r
0
2
1
F
1
1
Cr
cos
0
Cr
cos
Cr
sin
C
cos
sin
r
rr
rr
rr
r
x
Zatem:
P
d
x
r
rd
Stałą
C
wyznaczamy z warunku równowagi:
2
sin
grd
P
, gdzie:
g r d
element powierzchni
rr
2
0
2
C
2
zatem:
2
sin
sin
grd
P
2
Cg
sin
d
P
2
2
r
0
0
Podstawiając wynik obliczeń pomocniczych:
11
11
4
Cg
sin 2
24
P
4
Cg
sin 2
24
P
2
2
0
P
Cg
2 i
2
P
C
2
2 i
2
g
2
2
P
Stąd:
r
2
sin
rg
2 i
2
2
P
sin
2
rr
g
2 i
2
r
Przypadek szczególny:
tarcza półnieskończona, obciążona siłą skup. na brzegu (tzw.
zagadnienie Flamanta
):
P
2c s
P
x
rr
g
r
g
r
r
0
r
0
x
3
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
Teoria sprężystości i plastyczności
– Ćwicz. 6 KMBiM WILiŚ PG
Punkt osobliwy rozwiązania teorii sprężystości
:
r
0
rr
Uwaga:
Przez zmianę modelu ciała na model sprężysto – plastyczny
unikamy tej osobliwości
!
Interpretacja rozkładu naprężeń:
P
x
r
2
R
r
x
Konstruujemy rodzinę okręgów stycznych do krawędzi tarczy, wszystkie o promieniach
R
.
r
R
stąd:
cos
2
Wzór na naprężenia normalne:
2c s
P
P
gR
rr
g
r
P
gR
Mamy zatem:
rr
Wniosek:
Naprężenie radialne jest stałe
na każdym okręgu o promieniu
R
!
Ponieważ
0
oraz
są
naprężeniami głównymi
(gdyż:
r
), to
największą wartość
0
(1)
(2)
rr
naprężenia stycznego w punkcie otrzym
amy ze wzoru:
P
(1)
( 2 )
max
const
na okręgu o promieniu
R
2
2
gR
(do porównania z Wytrzymałością Materiałów)
Linie te
można wyznaczyć eksperymentalnie,
za pomocą
elastooptyki (fotosprężystości)
!
Naprężenia w układzie ortokartezjańskim:
Na podstawie wzorów
odwrotnych
otrzymamy:
3
2c s
P
2c s
P
2
2
cos
cos
11
rr
g
r
g
r
3
1
2
P
g
r
x
2
2
2
4
2
2
zatem:
, gdzie:
r
x
x
r
x
x
11
4
1
2
1
2
x
!
0
przy czym:
1
Analogicznie:
2
2
P
x x
sin
2
12
22
4
g
r
2
12
2
P
x x
oraz:
sin
cos
12
21
r
4
g
r
4
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
Teoria sprężystości i plastyczności
– Ćwicz. 6 KMBiM WILiŚ PG
Wykresy
1
oraz
1
dla
x
const
:
P
2
R
2
R
R
x
R
1
1
0, 208
0, 637
R
0,159
P
g
R
0, 080
0, 318
x
Praktycznie:
wykresy te opisują zagadnienie „rozchodzenia się”
siły skupionej
w ośrodku izotropowym,
jednorodnym.
Poza trójkątem równoramiennym, zakreślanym przez proste nachylone pod kątem 45°,
dla celów inżynierskich
można przyjąć
naprężenia
jako
równe zeru
!
Dyskusja!
1) Przybliżenia rozkładów naprężeń
a) rozkład trójkątny:
P
2
R
R
2
R
R
x
R
2
R
P
gR
R
4
R
1, 0
0, 5
x
(przybliżenie po stronie bezpiecznej)
b) rozkład równomierny:
P
2
R
R
2
R
R
x
R
2
R
R
0, 5
4
R
P
g
R
0, 25
(przybliżenie po stronie niebezpiecznej,
ale z użytecznym wynikiem)
x
5
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
Teoria sprężystości i plastyczności
– Ćwicz. 6 KMBiM WILiŚ PG
Plik z chomika:
budownictwopg
Inne pliki z tego folderu:
TSiP_Cw_02-notatki.pdf
(133 KB)
TSiP_Cw_03-notatki.pdf
(133 KB)
TSiP_Cw_13-notatki.pdf
(163 KB)
TSiP_Wyklad_01.pdf
(306 KB)
TSiP_wyklad_01B.pdf
(227 KB)
Inne foldery tego chomika:
Drogi i Autostrady
Matematyka
Złożone Konstrukcje Betonowe
Złożone Konstrukcje Metalowe
ZPB
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin