05. Dynamika punktu materialnego II.pdf
(
278 KB
)
Pobierz
Wyk³ad 5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 5
5. Dynamika punktu materialnego II
5.1 Siły kontaktowe i tarcie
5.1.1 Siły kontaktowe
Gdy dwa ciała są dociskane do siebie to występują między nimi
siły kontaktowe
.
Źródłem tych sił jest odpychanie pomiędzy atomami. Przy dostatecznie małej odległości
występuje przekrywanie chmur elektronowych i ich odpychanie rosnące wraz z maleją-
cą odległością. To jest siła elektromagnetyczna i może być bardzo duża w porównanie
z siłami grawitacyjnymi.
Jeżeli siła ciężkości pcha blok w dół siłą
F
g
to powstaje druga siła - siła kontaktowa
F
1
. Siła wypadkowa
F
wyp
= 0. We wszystkich przypadkach stosowania drugiej zasady
dynamiki Newtona jest bardzo istotne, żeby obliczyć
siłę wypadkową
.
Przykład 1
Rozważmy dwa klocki
m
1
i
m
2
na gładkiej powierzchni. Do klocka
m
1
przyłożo-
no siłę
F
. Czy siła
F
jest przenoszona poprzez klocek 1 na klocek 2? Gdyby tak było to
zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona klocek 2 działałby na klocek 1 siłą równą i
przeciwnie skierowaną. Wtedy
F
wyp
równałaby się zero!!!!, czyli, że nie można by było
poruszyć ciała 1 bez względu na to jak duża jest siła
F
.
F
m
1
m
2
-F
k
F
k
Zasada Newtona nie mówi, że siła
F
jest przenoszona przez klocek 1 na klocek 2;
po-
winno się przyjąć siłę kontaktową F
k
o dowolnej wartości
. Ogólnie: powinno się stoso-
wać drugą zasadę dynamiki
oddzielnie do każdego ciała
.
Dla klocka 1 otrzymujemy wtedy
F
-
F
k
=
m
1
a
Dla klocka 2
F
k
=
m
2
a
Stąd przyspieszenie
a
=
F
/(
m
1
+
m
2
)
Zauważmy, że ten wynik można otrzymać gdy traktujemy te dwa klocki jak jedną masę
m
=
m
1
+
m
2
.
5.1.2 Tarcie
Siły kontaktowe, o których mówiliśmy są normalne (prostopadłe) do powierzchni.
Istnieje jednak składowa siły kontaktowej leżąca w płaszczyźnie powierzchni. Jeżeli
ciało pchniemy wzdłuż stołu to po pewnym czasie ciało to zatrzyma się. Z drugiej zasa-
dy dynamiki wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem to musi działać siła.
Taką siłę nazywamy siłą
tarcia
.
5-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Rozważmy np. klocek, do którego przykładamy "małą" siłę
F
tak, że klocek nie po-
rusza się. Oznacza to, że sile
F
przeciwstawia się siła tarcia
T
. Mamy więc:
T
= -
F
.
Zwiększamy stopniowo siłę
F
aż klocek zaczyna się poruszać. Im gładsza powierzchnia
tym szybciej to nastąpi. Oznacza to, że siła tarcia zmienia się od wartości zero do pew-
nej wartości krytycznej w miarę wzrostu siły
F
. Oznaczmy tę krytyczną siłę
T
s
(s-statyczna). To jest
maksymalna
siła tarcia statycznego
.
T
s
(dla pary powierzchni suchych) spełnia dwa prawa empiryczne:
•
Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni zetknięcia
(w szerokim zakresie),
•
Jest proporcjonalna do siły normalnej
(prostopadłej)
z jaką jedna powierzchnia na-
ciska na drugą
.
Stosunek siły
T
s
do nacisku
F
N
nazywamy
współczynnikiem tarcia statycznego
µ
s
µ
=
T
s
(5.1)
s
F
N
Uwaga: Mówimy tylko o wartościach tych sił bo są one do siebie prostopadłe. Jeżeli
F
jest większe od
T
s
to klocek poruszy się, ale będzie istniała siła tarcia
T
k
(k - kinetycz-
na) przeciwstawiająca się ruchowi.
Siła
T
k
spełnia trzy prawa empiryczne:
•
Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni zetknięcia
(w szerokim zakresie),
•
Jest proporcjonalna do siły normalnej
(prostopadłej)
z jaką jedna powierzchnia na-
ciska na drugą
,
•
Nie zależy od prędkości względnej poruszania się powierzchni
.
Istnieje odpowiedni
współczynnik tarcia kinetycznego
µ
k
µ
=
T
k
(5.2)
k
F
N
Dla większości materiałów µ
k
jest nieco mniejszy od µ
s
. Np. µ
k
≈ 1 dla opon na jezdni
betonowej.
Tarcie jest bardzo złożonym zjawiskiem i wyjaśnienie go wymaga znajomości od-
działywań atomów na powierzchni. Nie będziemy się tym zajmować. Ograniczmy się
do zauważenia, że tarcie odgrywa bardzo istotną rolę w życiu codziennym. W samo-
chodzie np. na pokonanie siły tarcia zużywa się około 20% mocy silnika. Tarcie powo-
duje zużywanie poruszających się części maszyn. Staramy się je zwalczać. Z drugiej
strony bez tarcia nie moglibyśmy chodzić, jeździć samochodami, trzymać ołówka, kre-
dy, czy też nimi pisać.
5.2 Siły bezwładności
We wstępie wyszczególnione zostały cztery rodzaje sił występujących w przyrodzie.
Wszystkie te siły nazywamy
siłami rzeczywistymi
, ponieważ możemy je zawsze zwią-
zać z jakimś konkretnym ciałem, możemy podać ich pochodzenie. Czy to samo może-
my powiedzieć np. o takich siłach jakich działania "doznajemy" np. przy przyspiesza-
niu, hamowaniu czy zakręcaniu samochodu?
5-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Przykład 2
Dwaj obserwatorzy opisują ruch kulki w sytuacji pokazanej na rysunku poniżej.
Jeden z obserwatorów znajduje się w wózku a drugi stoi na Ziemi. Wózek początkowo
porusza się ze stałą prędkością po linii prostej (rys. 1), następnie hamuje ze stałym
opóźnieniem
a
(rys. 2). Między kulką a wózkiem nie ma tarcia.
(1)
v
k
=0, F=0
(2)
F
1
=-ma
v
- a
a
v
k
=const, F=0
v
k
=const, F=0
Gdy wózek jedzie ze stałą prędkością to obydwaj obserwatorzy stwierdzają zgodnie na
podstawie pierwszej zasady dynamiki, że na kulkę nie działa żadna siła. Zwróćmy uwa-
gę, że obserwatorzy znajdują się w inercjalnych układach odniesienia. Sytuacja zmienia
się gdy wózek zaczyna hamować (rys. 2). Obserwator związany z Ziemią dalej twierdzi,
że kulka porusza się ze stałą prędkością, a tylko podłoga wózka przesuwa się pod nim.
Natomiast obserwator w wózku stwierdza, że kulka zaczyna się poruszać się z przyspie-
szeniem –
a
w stronę przedniej ściany wózka. Dochodzi do wniosku, że na kulkę o ma-
sie
m
k
zaczęła działać siła
F
1
= -
m
k
a
ale nie może wskazać żadnego ciała, będącego źródłem tej siły. Mówiliśmy już, że dru-
ga zasada dynamiki jest słuszna tylko w inercjalnym układzie odniesienia. Zauważmy,
że obserwator w wózku znajduje się teraz w układzie nieinercjalnym. Widać, że jest w
błędzie; nie istnieje rzeczywista siła
F
1
. Jest to tak zwana
pozorna siła bezwładności
.
Powstaje więc pytanie jak postępować gdy musimy rozwiązać problem w układzie
nieinercjalnym. W tym celu rozpatrzmy dalszy ruch kulki. Gdy dotrze ona do przedniej
ścianki to wówczas według obserwatora na Ziemi (układ inercjalny) będzie poruszać się
z przyspieszeniem
a
(takim jak wózek) bo działa na nią siła
F
s
sprężystości przedniej
ściany wózka równa
F
s
= m
k
a
Natomiast obserwator w wózku stwierdza, że kulka przestała się poruszać; spoczywa
względem niego. Jego zdaniem siła sprężystości ściany
F
s
równoważy siłę
F
1
, tak że
siła wypadkowa jest równa zeru i kulka nie porusza się
F
s
+
F
1
= 0
co po podstawieniu za
F
1
= -
m
k
a
daje
5-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
F
s
=
m
k
a
Okazuje się, że wynik otrzymany przez obserwatora w układzie nieinercjalnym jest taki
sam jak dla obserwatora związanego z Ziemią ale pod warunkiem uwzględnienia
sił po-
zornych
. Siły te "znikają" jeśli rozpatrujemy ruch z punktu widzenia układu inercjalne-
go. Wprowadzenie ich pozwala po prostu na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu
zdarzeń w układach poruszających się z przyspieszeniem. W takim układzie uwzględ-
niamy, że na każde ciało działa siła wprost proporcjonalna do masy tego ciała, do przy-
spieszenia układu
a
i jest skierowana przeciwnie do
a
.
Przykład 3
Winda porusza się ruchem jednostajnie zmiennym. Czas spadania ciała puszczonego
swobodnie w tej windzie, na drodze od sufitu do podłogi, jest o 25% większy niż w
windzie stojącej. Obliczyć przyspieszenie windy. Dane jest przyspieszenie ziemskie
g
.
Rozwiązujemy zadanie w układzie inercjalnym i nieinercjalnym tzn. obserwator w jed-
nym przypadku znajduje się na zewnątrz windy, a w drugim jest pasażerem tej windy.
H
h
W przypadku pierwszym obserwator "widzi" (mierzy), że ciało przebywa dłuższą drogę
gdy winda jest w ruchu.
Dla windy stojącej
gt
H
=
2
1
2
Dla windy w ruchu
H
=
h
gt
2
2
2
oraz
at
h
=
2
2
2
przy czym
t =
5
t
2
4
1
Rozwiązanie tego układu równań daje wynik
a
=
9
g
25
5-4
+
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Drugi obserwator za każdym razem widzi, że ciało przebywa tę samą drogę
H
od sufitu
do podłogi ale w różnych czasach. Wniosek: w obu przypadkach jest różne przyspie-
szenie. Obserwator wprowadza do obliczeń dodatkową siłę nadającą przyspieszenie –
a
.
Odpowiednie równania wyglądają teraz:
Dla windy stojącej
gt
H
=
2
1
2
Dla windy w ruchu
H
=
(
g
−
a
)
t
2
2
2
Uwzględniając, że
t
=
2
5
t
1
9
= .
otrzymujemy
a
25
g
Tak więc
uwzględnienie sił bezwładności jest konieczne jeżeli chcemy stosować zasady
dynamiki w układach nieinercjalnych
.
W takim układzie uwzględniamy, że na każde ciało działa siła wprost proporcjonalna do
masy tego ciała, do przyspieszenia układu a i jest skierowana przeciwnie do
a
.
Inny przykład stanowią układy nieinercjalne poruszające się ruchem obrotowym.
Np. obserwator w satelicie krążącym wokół Ziemi obserwując ciało spoczywające w
tym satelicie stwierdza, że siła wypadkowa działająca na ten obiekt jest równa zeru.
Musi więc istnieć, według niego, siła która równoważy siłę grawitacji (dośrodkową).
Siłę tę nazywamy
siłą odśrodkową
i jest to
siła pozorna
.
Na zakończenie rozpatrzmy ruch postępowy ciała w obracającym się układzie od-
niesienia. Przykładem może być człowiek poruszający się po linii prostej (radialnie) od
środka do brzegu karuzeli obracającej się z prędkością kątową ω. Na rysunku poniżej
pokazana jest zmiana prędkości człowieka.
v
s
v
r
v
s
A'
v
r
∆
v
r
r+
∆
r
A
v
r
∆θ
r
v
r
∆θ
ω
Linia (promień) wzdłuż której porusza się człowiek zmienia swój kierunek (karuzela
obraca się) o kąt ∆θ w czasie ∆
t
, człowiek zmienia swoje położenie z punktu A do A'.
Obliczymy teraz zmianę jego prędkości radialnej
v
r
i stycznej
v
s
. Prędkość radialna
zmienia swój kierunek.
5-5
4
Plik z chomika:
EIT_PWR
Inne pliki z tego folderu:
11. Elementy szczegolnej teorii wzglednosci.pdf
(307 KB)
10. Zasada zachowania pedu.pdf
(254 KB)
09. Zasada zachowania pedu.pdf
(294 KB)
08. Zasada zachowania energii.pdf
(300 KB)
07. Praca i energia.pdf
(231 KB)
Inne foldery tego chomika:
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin