przebieg zmienności funkcji.docx

(737 KB) Pobierz

zbadać przebieg zmienności funkcji:

1. Wyznaczenie dziedziny:
$x\in\mathbb R$
2. Znalezienie punktów przecięcia z osiami:

- należy przyrównać funkcję do 0:
$f(x)=0\iff x^3-3x^2+x-3=0\iff x^2(x-3)+x-3=0\iff\left(x^2+1\right)(x-3)=0\Longrightarrow x=3$
stąd:

- należy obliczyć wartość funkcji dla

stąd:

3. Granice na krańcach przedziałów określoności
Funkcja jest określona na całym zbiorze liczb rzeczywistych, zatem krańcami przedziałów określoności są $+\infty$ oraz $-\infty$ ; należy obliczyć granice:

$\lim_{x\to+\infty}\left(x^3-3x^2+x-3\right)=\lim_{x\to+\infty}x^3\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}\right)=[+\infty\cdot1]=+\infty\\ \\ \lim_{x\to-\infty}\left(x^3-3x^2+x-3\right)=\lim_ {x\to-\infty}x^3\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}\right)=[-\infty\cdot1]=-\infty$
4. Asymptoty:

pionowe: ponieważ dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, asymptoty pionowe nie istnieją
ukośne (czyli również poziome - asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej, której współczynnik jest równy 0):

prawostronna:

$a_1=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\left(x^2-3x+1-\frac3x\right)=\lim_ {x\to\infty}x^2\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}\right)=[+\infty\cdot1]=+\infty$
ponieważ granica określająca współczynnik jest równa $+\infty$ , asymptota ukośna prawostronna nie istnieje.

lewostronna:

$a_2=\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to-\infty}\left(x^2-3x+1-\frac3x\right)=\lim_{x\to-\infty}x^2\left(1-\frac3x+\frac1{x^2}-\frac3{x^3}\right)=[+\infty\cdot1]=+\infty$
podobnie jak wyżej, asymptota ukośna lewostronna nie istnieje.

5. własności związane z pierwszą pochodną
$f^\prime(x)=3x^2-6x+1$
Monotoniczność oraz ekstrema funkcji mogą być w całości zbadane za pomocą pierwszej pochodnej. Istnieją również inne metody; zostaną one przedstawione w dalszej części artykułu. Ponieważ funkcja jest różniczkowalna, warunkiem wystarczającym aby funkcja była monotoniczna w danym przedziale jest stałość znaku pochodnej w tym przedziale. Funkcja jest rosnąca w przedziale, w którym pochodna jest dodatnia oraz malejąca w przedziale, w którym pochodna jest ujemna. Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie jest $f^\prime(x)=0$ . Warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum jest spełnianie przez pochodną określonych warunków w otoczeniu jej miejsca zerowego. Najpierw zostaną wyznaczone przedziały, w których pochodna ma stały znak lub wartość zerową:

$f^\prime(x)>0\iff 3x^2-6x+1>0\Longrightarrow x\in\left(-\infty,\ \frac{3-\sqrt6}{3}\right)\cup\left(\frac{3+\sqrt6}{3},\ +\infty\right)\\ \\ f^\prime(x)<0\iff 3x^2-6x+1<0\Longrightarrow x\in\left(\frac{3-\sqrt6}{3},\ \frac{3+\sqrt6}{3}\right)\\ \\ f^\prime(x)=0\iff 3x^2-6x+1=0\\ \\ x_1=\frac{3-\sqrt6}{3}, \ \ x_2=\frac{3+\sqrt6}{3}$

Oznacza to, że funkcja jest monotoniczna rosnąca w przedziale

$x\in\left(-\infty,\ \frac{3-\sqrt6}{3}\right)$ oraz $x\in\left(\frac{3+\sqrt6}{3},\ +\infty\right)$

monotoniczna malejąca w przedziale

$x\in\left(\frac{3-\sqrt6}{3},\ \frac{3+\sqrt6}{3}\right)$

natomiast punktami podejrzanymi o istnienie ekstremów są

$x_1=\frac{3-\sqrt6}{3}$ oraz $x_2=\frac{3+\sqrt6}{3}$

W celu stwierdzenia, czy w punkcie podejrzanym znajduje się ekstremum, można skorzystać z wniosków wyciągniętych z definicji:

Funkcja przyjmuje w punkcie maksimum lokalne (odpowiednio: minimum lokalne), jeśli w pewnym otwartym otoczeniu tego punktu (np. w pewnym przedziale otwartym) funkcja nigdzie nie ma wartości większych (odpowiednio: mniejszych).

Na tej podstawie można wyciągnąć oczywiste wnioski,

Stosując powyższe twierdzenia do punktu , można otrzymać wniosek:
na lewo od punktu podejrzanego pierwsza pochodna jest dodatnia, natomiast na prawo jest ujemna - zatem w punkcie znajduje się ekstremum lokalne funkcji i jest to maksimum;

analogicznie dla punktu :
na lewo od punktu podejrzanego pierwsza pochodna jest ujemna, natomiast na prawo jest dodatnia - zatem w punkcie znajduje się ekstremum lokalne funkcji i jest to minimum.

Istnieje możliwość zbadania istnienia ekstremum oraz jego rodzaju (maksimum lub minimum) za pomocą drugiej pochodnej, co zostanie opisane poniżej.

6. własności związane z drugą pochodną
$f^{\prime\prime}(x)=6x-6$

Warto najpierw powrócić do zagadnienia badania ekstremów za pomocą drugiej pochodnej. Taka możliwość istnieje w przypadku gdy funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna. Podany wcześniej odnośnik wspomina o kryterium istnienia ekstremum w zależności od drugiej pochodnej:
a) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość większą od 0, w punkcie jest minimum
b) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość mniejszą od 0, w punkcie jest maksimum
c) jeśli w punkcie podejrzanym o istnienie ekstremum przyjmuje ona wartość zerową, przypadek jest nierozstrzygnięty - może tam istnieć zarówno ekstremum dowolnego rodzaju, jak i punkt przegięcia.

Dowód powyższych własności można znaleźć w podręczniku (nie: zbiorze zadań) analizy matematycznej.

Stosując powyższe kryterium do punktów oraz , można otrzymać
$f^{\prime\prime}(x_1)=6\cdot\frac{3-\sqrt6}{3}-6=6-2\sqrt6-6=-2\sqrt6$
zatem w punkcie istnieje ekstremum i jest to maksimum, co jest zgodne z wynikiem uzyskanym za pomocą poprzedniej metody.
$f^{\prime\prime}(x_2)=6\cdot\frac{3+\sqrt6}{3}-6=6+2\sqrt6-6=2\sqrt6$
zatem w punkcie istnieje ekstremum i jest to minimum.

Wypukłość i punkty przegięcia funkcji mogą być w całości zbadane za pomocą drugiej pochodnej. Podobnie jak wcześniej, istnieją również inne metody, które zostaną przedstawione w dalszej części artykułu.

Funkcja jest wypukła w górę (wklęsła) gdy druga pochodna jest mniejsza od 0 oraz wypukła w dół (wypukła) gdy druga pochodna jest większa od 0. Warunkiem koniecznym istnienia punktu przegięcia jest $f^{\prime\prime}(x)=0$ , ale podobnie jak poprzednio nie jest to warunek wystarczający. Z definicji punktu przegięcia, istnieje on wtedy gdy funkcja zmienia w tym punkcie wypukłość, musi zatem znajdować się pomiędzy przedziałami o różnej wypukłości. Najpierw należy wyznaczyć odpowiednie przedziały:

$f^{\prime\prime}(x)>0\iff6x-6>0\Longrightarrow x\in(1,+\infty)\\ \\ f^{\prime\prime}(x)<0\iff6x-6<0\Longrightarrow x\in(-\infty,1)\\ \\ f^{\prime\prime}(x)=0\iff 6x-6=0\\ \\ x_1=1$

Oznacza to, że funkcja jest wypukła w dół dla $x\in(1,+\infty)$ oraz wypukła w górę dla $x\in(-\infty,1)$ . Ponieważ w punkcie następuje zmiana wypukłości, istnieje tam punkt przegięcia.

7. Na podstawie zgromadzonych danych należy wykonać tabelkę przebiegu zmienności funkcji.

$\tiny\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x& \left(-\infty,\ \frac{3-\sqrt6}{3}\right) & \frac{3-\sqrt6}{3}&\left(\frac{3-\sqrt6}{3},\ 1\right)&1&\left(1,\ \frac{3+\sqrt6}{3}\right)&\frac{3+\sqrt6}{3}&\left(\frac{3+\sqrt6}{3},\ +\infty\right) \\ \hline f^\prime(x)&+&0&-&-&-&0&+\\ \hline f^{\prime\prime}(x)&-&-&-&0&+&+&+\\ \hline f(x)& _{-\infty}\nearrow^{-4+4\sqrt{\frac2{27}}}&\text{max}&^{-4+4\sqrt{\frac2{27}}}\searrow_{-4}&-4&^{-4}\searrow_{-4-4\sqrt{\frac2{27}}}&\text{min}&_{-4-4\sqrt{\frac2{27}}}\nearrow^{+\infty}\\ &\text{wypukła}&\text{wypukła}&\text{punkt przegięcia}&\text{wklęsła}&\text{wklęsła}&\text{wklęsła}\\ \hline\end{array}$

a) zbadać przebieg zmienności funkcji: $f(x)=(x-1)^{2}(x+2)$

1) wyznaczmy dziedzinę funkcji $D_{f}: x \in R$

2) szuakamy asymptot pionowych – ponieważ $D_{f}: x \in R$ brak asymptot pionowych

3) szukamy asyptot ukośnych o równaniu

zatem funkcja nie posiada asymptot ukosnych ani poziomych

4) monotoniczność

$f(x)=(x-1)^{2}(x+2)$

$f^{'}(x)=2(x-1)(x+2)+(x-1)^{2}=(2x-2)(x+2)+(x^{2}-2x+1)=2x^{2}+4x-2x-4+x^{2}-2x+1=3x^{2}-3$

$f^{'}(x)\geqslant 0$

$3x^{2}-3=0$

$x^{2}=1$

oraz

funkcja rosnie na przedziale $x \in (-\infty;-1)(1;\infty)$

funkcja maleje na przedziale $x \in (1;-1)$

5) ekstrema funkcji

funkcja posiada maksimum lokalne w punkcie i wynosi $f(-1)=(-1-1)^{2}(-1+2)=4$

funkcja posiada minimum lokalne w punkcie i wynosi $f(1)=(1-1)^{2}(1+2)=0$

6) funkcja wypukła /wflęsła oraz punkt przegięcia

$f^{''}(x)\geqslant 6x$

funkcja jest wpukła na przedziale $x \in (0;\infty)$

funkcja jest wklęsła na przedziale $x \in (-\infty;0)$

$f(0)=(1-0)^{2}(0+2)=2$

jest punktem przegięcia funkcji

7) sprawdzimy granice na krancach dziedziny

$\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\lim\limits_{x \to \infty}{x}(x-1)^{2}(x+2)=\infty$

$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to \infty}{x}(x-1)^{2}(x+2)=-\infty$

8 ) sprawdizmy gdzie nasza funkcja przecina oś OX

$(x-1)^{2}(x+2)=0$

$(x^{2}-2x+1)(x+2)=0$

oraz

9) Sprawdzimy gdzie nasza funkcja przecina oś Oy

$f(0)=(0-1)^{2}(x+2)=2$

b) zbadać przebieg zmienności funkcji: $f(x)=x\cdot \ln|x|$

1) wyznaczamy dziedzinę funkcji $x\in (0;\infty)$

2) szukamy asymptoty pionowej prawostronnej w punkcie

zatem funkcja nie posiada asymptoty pionowej prawostronnej w punkcie

3) szukamy asymptot ukośnych o równaniu

zatem nie istnieje asymptota ukośna ani pozioma

4) monotoniczność

$f(x)=x\cdot \ln|x|$

$f^{'}(x)=\ln|x|+1$

$f^{'}(x)\geqslant 0$

$\ln|x|+1=0$

$\ln|x|=-1$

$x=\frac{1}{e}$

funkcja rosnie na przedziale $x \in (\frac{1}{e};\infty)$

funkcja maleje na przedziale $x \in (0;\frac{1}{e})$

5) ekstrema funkcji

funkcja posiada minimum lokalne w punkcie $x=\frac{1}{e}$ i wynosi $f(\frac{1}{e})=-\frac{1}{e}$

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkty przegięcia

$f^{''}(x)=\frac{1}{x}$

$f^{''}(x) \geqslant 0$

$x \geqslant 0$

zatem funkcja jest wypukła w całej swojej dziedzinie

7) sprawdzimy granice na krańcach przedziałów

$\lim\limits_{x \to \infty}f(x)=\lim\limits_{x \to \infty}x \cdot \ln|x|=\infty$

8 ) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie os OX

$x \cdot \ln|x|=0$

nie należy do dziedzinyfunkcji oraz

c) zbadać przebieg zmienności funkcji: $f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-1}$

1) wyznaczmy dziedzinę funkcji $x \in (0; 1)(1;\infty)$

2) szukamy asyptot pionowych w punktach nieciągłości dziedziny prawostronnej oraz obustronnej

$\lim\limits_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x}}{x-1}=\frac{0}{-1}=0$

zatem nie istnieje asymptota pionowa prawostronna w punkcie

$\lim\limits_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x}}{x-1}=\frac{1}{0^{+}}=\infty$

$\lim\limits_{x \to 1^{-}} \frac{\sqrt{x}}{x-1}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty$

zatem istnieje asymptota pionowa obustronna w punkcie

3) szukamy asymptot ukośnych o równaniu

funkcja nie posiada asymptoty ukośnej ani poziomej

4) monotoniczność

$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-1}$

$f^{'}(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x-1)-\sqrt{x}}{(x-1)^{2}}=\frac{-x-1}{2\sqrt{x}(x-1)^{2}}$

$f^{'}(x)\geqslant 0$

$\frac{-x-1}{2\sqrt{x}(x-1)^{2}}=0$

$(-x-1)(x-1)^{2}=0$

oraz

funkcja maleje na przedziale $x \in (0;1)\cup(1;\infty)$

5) ekstremum funkcji

funkcja nie posiada ekstremum

6) funkcja wypukła wklęsła oraz punkt przegięcia

$f^{''}(x)\geqslant 0$

$\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot \frac{3x^{2}+2x+1}{4x(x-1)^{3}}=0$

oraz

$3x^{2}+2x+1=0$

$\Delta=4-12$

funkcja jest wypukła na całej swojej dziedzinie oraz nie posiada pounktów przegięcia

7) sprawdzimy granice funkcji na krańcach przedziałów dziedziny

8 ) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie się z osią OX

$\frac{\sqrt{x}}{x-1}=0$

$\sqrt{x}=0$

9) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie się z osią OY

$f(0)=\frac{0}{-1}=0$

d) zbadać przebieg zmienności funkcji: $f(x)=\frac{x^{3}}{x-1}$

1) wyznaczmy dziedzinę funkcji $D_{f} x \in (-\infty,1)(1,\infty)$

2) szukamy asymptot pionowych obustronnych w punkcie

$\lim\limits_{x \to 1^{+}}\frac{x^{3}}{x-1}=\frac{1}{0^{+}}=\infty$

$\lim\limits_{x \to 1^{-}}\frac{x^{3}}{x-1}=\frac{1}{0^{-}}=-\infty$

zatem funkcja posiada asymptote pionową obustronną w punkcie

3) szukamy asymptot ukośnych

funkcja nie posiada asymptoty ukośnej ani poziomej

4) monotoniczność

$\frac{2x^{3}-3x^{2}}{(x-1)^{2}}\geqslant 0$

$x^{2}(2x-3)(x-1)=0$

oraz oraz $x=\frac{3}{2}$ funkcja rosnie na przedziale $x \in (\frac{3}{2};\infty)$

funkcja maleje na przedziale $x \in(-\infty ;\frac{3}{2})$

5) ekstremum funkcji

funkcja posiada minimum lokalne w punkcie $x=\frac{3}{2}$ i wynosi $f(\frac{3}{2})=\frac{27}{4}$

6) funkcja wypukła , wklęsła oraz punkt przegięcia

$f^{'}(x) \geqslant 0$

$\frac{2x(x^{2}-3x+3)}{(x-1)^{3}} \geqslant 0$

$2x(x^{2}-3x+3)(x-1)^{3}=0$

$x^{2}-3x+3=0$

$\Delta =9-12$ brak rozwiązań

oraz funkcja jest wklęsła dla $x \in (0;1)$

funkcja jest wypukła dla $x \in (-\infty;0)(1;\infty)$

7) sprawdzimy gdzie funkcja przetnie sie z osią oX

...

Plik z chomika:

riochin

Inne pliki z tego folderu:

mata wzory i przykłady dla laików.docx (6836 KB)
całki wzory i przykłady.doc (2624 KB)
pochodna wzory i przykłady.doc (13184 KB)
pochodna wzory.doc (970 KB)
przebieg zmienności funkcji.docx (737 KB)

przebieg zmienności funkcji.docx

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: