00 Pochodna Kierunkowa.pdf

Wydział:WILi,Budownictwo,sem.3

drJolantaDymkowska

Pochodnakierunkowa

2 )oraz

P 0 ( x 0 ,y 0 ,z 0 )( P 0 ( x 0 ,y 0 ))jestpunktemnale»¡cymdown¦trzaobszaru D :Int D .Załó»my,te»»e

~a =[ a 1 ,a 2 ,a 3 ]( ~a =[ a 1 ,a 2 ])jestdowolnym,niezerowymwektoremwprzestrzeni R

3 ( R

2 ).

Deﬁnicja Pochodn¡funkcjifwpunkcieP 0 wkierunkuwektora~a nazywamygranic¦(oileta

granicaistnieje)

f ( P ) − f ( P 0 )

| ~ P 0 P | ,

lim

P ! P 0

gdziepunkt P = P 0 + t~a i t 2 R .

Pochodn¡tak¡nazywamykrótko pochodn¡kierunkow¡ ioznaczamy @f

@~a ( P 0 )lub f 0 ~a ( P 0 ).

Mamyzatem:

f ( P 0 + t~a ) − f ( P 0 )

t | ~a |

f 0 ~a ( P 0 )=lim

t ! 0

oraz

• dla f = f ( x,y,z )

f 0 ~a ( P 0 )= 1

a 2 1 + a 2 2 + a 2 3

lim

t ! 0

f ( x 0 + ta 1 ,y 0 + ta 2 ,z 0 + ta 3 ) − f ( x 0 ,y 0 ,z 0 )

• dla f = f ( x,y )

f 0 ~a ( P 0 )= 1

a 2 1 + a 2 2

lim

t ! 0

f ( x 0 + ta 1 ,y 0 + ta 2 ) − f ( x 0 ,y 0 )

Przykład Obliczy¢pochodn¡kierunkow¡funkcji f ( x,y,z )= x + y + z 2 wpunkcie P 0 (1 , − 1 , 3)

wkierunkuwektora ~a = ~ P 0 P ,gdzie P (0 , 1 , 1).

Rozwi¡zanie :Poniewa» ~a =[ − 1 , 2 , − 2],wi¦c

f 0 ~a ( P 0 )= 1

3 lim

t ! 0

f (1 − t, − 1+2 t, 3 − 2 t ) − f (1 , − 1 , 3)

t =

3 lim

(1 − t )+( − 1+2 t )+(3 − 2 t ) 2 − 9

t = 1

3 lim

4 t 2 − 11 t

t = − 11

t ! 0

Uwaga Pochodnecz¡stkowefunkcjitrzechzmiennychs¡pochodnymikierunkowymi,obliczonymi

wkierunkuosiukładuwspółrz¦dnych,tj.:

f 0 x ( P 0 )= f 0 ~ i ( P 0 ) , f 0 y ( P 0 )= f 0 ~ j ( P 0 ) , f 0 z ( P 0 )= f 0 ~ k ( P 0 ) .

Załó»my,»efunkcjaskalarna f ( x,y,z )( f ( x,y ))jestokre±lonawobszarze D R

= 1

FaktJe»elifunkcja f ( x,y,z )okre±lonawzbiorzeotwarym D mawka»dympunkcietegozbioru

pochodnecz¡stkowepierwaszegodz¦du,todladowolnegopunktu P 0 2D idowolnegowektora ~a

zachodzi

f 0 ~a ( P 0 )= ~e a grad f,

gdzie ~e a = ~a | ~a | .

Mamyzatem:

| ~a | , a 2

| ~a | , a 3

h f 0 x ( P 0 ) ,f 0 y ( P 0 ) ,f 0 z ( P 0 ) i =

f 0 ~a ( P 0 )= ~e a grad f =

| ~a |

| ~a | f 0 z ( P 0 ) .

Przykład Obliczy¢pochodn¡kierunkow¡zpoprzedniegoprzykładu,korzystaj¡czpowy»szego

faktu.

Rozwi¡zanie :Obliczamypochodnecz¡stkowefunkcji f ( x,y,z )= x + y + z 2 wpunkcie

P 0 (1 , − 1 , 3):

| ~a | f 0 x ( P 0 )+ a 2

| ~a | f 0 y ( P 0 )+ a 3

f 0 x =1 f 0 x ( P 0 )=1

f 0 y =1 f 0 y ( P 0 )=1

f 0 z =2 z f 0 x ( P 0 )=6

Wówczas,zgodniezpowy»szymfaktem,mamy:

f 0 ~a ( P 0 )= − 1

3 f 0 x ( P 0 )+ 2

3 f 0 y ( P 0 ) − 2

3 f 0 z ( P 0 )= − 1

3 + 2

3 − 12

3 = − 11

Zadaniadosamodzielnegorozwi¡zania

Zad.1 Obliczy¢pochodn¡kierunkow¡funkcji f wpunkcie P 0 wkierunkuwektora ~a :

a ) f ( x,y )= x 2 − 2 xy,P 0 (2 , 1) ,~a =[3 , 4]

b ) f ( x,y )= x 3 +2 xy 2 ,P 0 (0 , 1) ,~a =[1 , 1]

c ) f ( x,y )= x 2 − xy + y 2 ,P 0 (1 , 1) ,~a =[ − 1 , − 1]

d ) f ( x,y )=sin( x + y ) ,P 0

0 , 2

x ,P 0 (2 , 1 , 1) ,~a =[1 , 0 , 2]

h ) f ( x,y,z )=sin x +cos y − sin z,P 0 ( , 0 , − ) ,~a =[0 , − 2 , 2]

Zad.2 Wyznaczy¢pochodn¡funkcji f ( x,y,z )= xyz wpunkcie P 0 (5 , 1 , 2)wkierunkuodtego

punktudopunktu P (9 , 4 , 14).

Zad.3 Wyznaczy¢pochodn¡funkcji f ( x,y )= x 3 − y wpunkcie P 0 (1 , 2)wkierunkuwektora

równoległegodoprostej

(

x =1+

p 2

2 t

l :

p 2

y =2+

2 t

" a 1

= a 1

,~a =[ − 1 , 1]

e ) f ( x,y,z )= x 2 + y 2 − z 2 ,P 0 (1 , 1 , 1) ,~a =[4 , 4 , 0]

f ) f ( x,y,z )= x 2 + xyz − y 2 ,P 0 (2 , − 1 , 3) ,~a =[3 , 4 , − 2]

g ) f ( x,y,z )= y + z

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: