ANALIZA MATEMATYCZNA

Prof. Grande

20 godzin wykładów

Zaliczenie ćwiczeń

Literatura:

-        J. Piszczała – „Matematyka i jej zastosowania w naukach ekonomicznych”

-        Borsuk, Dawidowicz – „Wykłady z analizy matematycznej”

-        Zbiór zadań z analizy matematycznej

- dla każdego

Relacja porządkowa

A jest ograniczony z góry jeżeli istnieje liczba ograniczająca

Kres górny i dolny zbioru

Kres góry zbioru A – sup A najmniejsza liczba ograniczająca zbiór z góry

Kres dolny zbioru A – inf A największa liczba ograniczająca zbiór z dołu

zbiór ograniczony z góry – ma kres górny

Każdy zbiór ograniczony z dołu ma kres dolny

rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych

- nie istnieje

- nie istnieje

Zbiory zespolone – ciała liczbowe

- pary liczb rzeczywistych

liczba urojona

y

kula – otoczenie punktu X

funkcja – przyporządkowanie elementów ze zbioru A elementowi ze zbioru B tak,
że każdemu elementów ze zbiory A przyporządkowany jest element ze zbioru B

Ciągi – funkcje określone na zbiorze liczb naturalnych

Ciąg An jest ograniczony, gdy jest ograniczony zbiór jego elementów

Prawie wszystkie wyrazy ciągu – wszystkie elementy poza zamkniętym zbiorem

Ciąg mający granicę jest zbieżny

Ciąg zbieżny musi być ograniczony

Punkt skupienia ciągu – w każdym otoczeniu ciągu znajduje się nieskończenie wiele punktów A

Ciąg rozbieżny – nie ma granicy

Ciąg z granicą – ciąg zbieżny

Szeregi liczbowe

Szereg jest zbieżny jeśli ciąg wyrazów dąży do zera

jest zbieżny

- szereg harmoniczny o wykładniku

              - szereg zbieżny

              - szereg rozbieżny

Prawo L’Amberta

Prawo Cauchy’ego

Szeregi przemienne

szereg bezwzględnie zbieżny

Kryterium Dirichlet’a

Prawo Leibniz’a

               - an dąży do zera

                            - szereg warunkowo zbieżny

1.1

Zdaniem – nazywamy każde i tylko takie wyrażenie, któremu można przyporządkować jedną z dwóch wartości logicznych ( PRAWDA lub FAŁSZ  - 0,1 )

Zmiennymi zdaniowymi – nazywa się zmienne zamiast których, jeśli podstawimy zdania otrzymamy całość będącą również zdaniem

Formuły rachunku zdań – nazywamy dowolny zapis utworzony ze zmiennych zdaniowych i symboli spójników zdaniowych który przy każdym podstawieniu zdań
w miejsce wszystkich zmiennych zdaniowych staje się zdaniem

Formułę - ( schemat zdania ) nazywamy prawem rachunku zdań albo tautologią, gdy przy każdym wartościowaniu przyjmuje wartość logiczną 1

Ważniejsze tautologie to:

- reguła odrywania

- prawo przechodniości implikacji

1.2

- zbiór A zawiera się w B

Jeżeli rozwijane zbiory są podzbiorami pewnego zbioru X, to zbiór X nazywamy przestrzenią tych zbiorów

Ograniczoność zbiorów

Niech P oznacza ograniczony zbiór R kresem górnym ( supremum ) zbioru P nazywamy najmniejszą liczbę M taką, że

sup P = M

Kresem dolnym ( infinium ) zbioru P nazywamy największą liczbę M tak, że

inf P = M

Mówimy, że zbiór E jest rozszerzonym zbiorem liczb rzeczywistych jeżeli składa się
z liczb rzeczywistych i oraz

-          oraz

-         

-         

Jeżeli E nie jest zbiorem ograniczonym z góry ( z dołu ) to

A – dopełnienie zbioru A’= x – A

- suma zbiorów

...