Henri Poincaré
Profesor Sorbony
Członek Akademii
Redakcja Piotr Amsterdamski
Wstęp 2
Część pierwsza 4
Liczba i wielkość 4
Rozdział pierwszy 4
O istocie rozumowania matematycznego 4
III 6
Rozdział drugi 13
Wielkość matematyczna a doświadczenie 13
Część druga 21
Przestrzeń 21
Rozdział trzeci 21
Geometrie nieeuklidesowe 21
Rozdział czwarty 29
Przestrzeń a geometria 29
Rozdział piąty 39
Doświadczenie a geometria 39
Część trzecia 47
Siła 47
Rozdział szósty 47
Mechanika klasyczna 47
Rozdział siódmy 57
Ruch względny a ruch bezwzględny 57
Rozdział ósmy 62
Energia a termodynamika 62
Część czwarta 69
Przyroda 69
Rozdział dziewiąty 69
Hipotezy w fizyce 69
Rozdział dziesiąty 77
Teorie fizyki współczesnej 77
Rozdział jedenasty 87
Rachunek prawdopodobieństwa 87
Rozdział dwunasty 98
Optyka i elektryczność 98
Rozdział trzynasty 104
Elektrodynamika 104
Dla powierzchownego obserwatora prawda naukowa nie podlega żadnej wątpliwości; logika nauki jest nieomylna, a jeżeli uczonym zdarza się błądzić, to tylko wtedy, gdy sprzeniewierzają się jej regułom.
Prawdy matematyczne wywodzimy z niewielkiej ilości twierdzeń oczywistych za pomocą łańcucha rozumowań, których nie podobna podważyć; prawdy te narzucają się nie tylko nam, ale i samej przyrodzie. Krępują one, że tak powiem, Stwórcę i pozostawiają mu wybór między stosunkowo nielicznymi możliwymi rozwiązaniami. Wobec tego wystarczy kilka doświadczeń, abyśmy poznali, jakiego dokonał wyboru. Z każdego doświadczenia można wyprowadzić mnóstwo wyników drogą wnioskowania matematycznego i w ten sposób każde doświadczenie mówi nam coś o pewnym zakątku Wszechświata.
Dla wielu ludzi, a zwłaszcza licealistów, którym wykłada się podstawy fizyki, jest to źródło naukowej pewności. Tak rozumieją oni rolę doświadczenia i matematyki. Tak również rozumiało ją przed stu laty wielu uczonych, którzy marzyli o zbudowaniu świata, biorąc z doświadczenia jak najmniej danych.
Wystarczy jednak chwila zastanowienia, by dostrzec, jakie miejsce zajmuje w nauce hipoteza; okazało się, że nie może się bez niej obejść ani matematyk, ani eksperymentator. Nasuwa się zatem pytanie, czy wszystkie takie konstrukcje są trwałe, a wraz z nim obawa, że wystarczy byle podmuch, aby je obalić. Sceptycyzm taki również jest powierzchowny. Wątpić we wszystko lub we wszystko wierzyć - są to dwa rozwiązanie jednako dogodne, obydwa bowiem oszczędzają trudu myślenia.
Zamiast wygłaszać sumaryczne wyroki, powinniśmy, zatem zbadać rolę hipotezy; przekonamy się wówczas, że nie tylko jest niezbędna, ale najczęściej również jest uprawniona. Istnieje kilka rodzajów hipotez; niektóre są sprawdzalne, a gdy już zostaną potwierdzone doświadczalnie, stają się płodnymi prawdami; inne nie mogą wprowadzić nas w błąd, a bywają pożyteczne, gdyż dostarczają oparcia naszym myślom; inne wreszcie tylko pozornie są hipotezami, a w rzeczywistości sprowadzają się do niejawnych definicji lub konwencji.
Hipotezy ostatniego rodzaju spotyka się szczególnie często w matematyce i naukach pokrewnych. Stąd właśnie nauki te czerpią ścisłość; konwencje są wytworem swobodnej działalności naszego umysłu, który w tej dziedzinie nie zna przeszkód. Tutaj umysł nasz może twierdzić, gdyż dekretuje; musimy to jasno zrozumieć: dekrety obowiązują w naszej nauce, która bez nich byłaby niemożliwa, ale nie obowiązują w przyrodzie. Czy wszakże dekrety te są dowolne? Nie, gdyż w takim razie byłyby jałowe. Doświadczenie pozostawia nam wprawdzie wolny wybór, ale służy nam za przewodnika, pozwala znaleźć najdogodniejszą drogę. Dekrety te są, zatem podobne do dekretów władcy absolutnego, lecz rozumnego, zasięgającego opinii swej Rady Państwa.
Niektórych autorów uderzył ten charakter swobodnej konwencji, jakiego dopatrzyli się w pewnych podstawowych zasadach nauki. Uogólnili oni to stwierdzenie ponad miarę, zapominając, że wolność to nie to samo, co dowolność. Doszli w ten sposób do tak zwanego nominalizmu i zadali sobie pytanie, czy badacz nie pada ofiarą własnych definicji, i czy świat, który w swym mniemaniu odkrywa, nie jest po prostu tworem jego kaprysu[1]. W takim razie nauka byłaby wprawdzie pewna, ale nie miałaby żadnego znaczenia.[2]
Gdyby tak było, nauka byłaby bezsilna, a przecież patrzymy co dzień na jej działalność. Byłoby to niemożliwe, gdyby nie mówiła nam czegoś o rzeczywistości. Wszelako to, do czego nauka dociera, to nie rzeczy same w sobie, jak twierdzą dogmatycy, lecz tylko stosunku między rzeczami; poza tymi stosunkami nie ma poznawalnej rzeczywistości.
Do takiego to wniosku dojdziemy po przejściu całego szeregu nauk, od arytmetyki i geometrii do mechaniki i fizyki doświadczalnej.
Na czym polega istota rozumowania matematycznego? Czy jest ono rzeczywiście czysto dedukcyjne, jak się powszechnie uważa? Głębsze rozważenie tej kwestii prowadzi do wniosku, że tak bynajmniej nie jest; posiada ono w pewnej mierze charakter indukcyjny i temu właśnie zawdzięcza swą płodność, a mimo to zachowuje bezwzględną ścisłość. Wykazanie tego będzie naszym pierwszym zadaniem.
Po bliższym poznaniu jednego z narzędzi, które matematyka daje badaczom, poddamy z kolei analizie inne pojęcie podstawowe, pojęcie wielkości matematycznej. Czy znajdujemy je w przyrodzie, czy też sami je do niej wprowadzamy? Jeżeli sami je wprowadzamy, to czyż nie narażamy wszystkiego na wypaczenie? Porównanie surowych danych naszych zmysłów z owym niezmiernie złożonym i subtelnym pojęciem, które matematycy nazywają wielkością, zmusza nas do uznania, że zachodzi między nimi rozbieżność. Rama ta, w którą wszystko chcemy wtłoczyć, jest naszej roboty, ale nie zrobiliśmy jej na chybił - trafił, zrobiliśmy ją, że tak powiem, na miarę, i dlatego możemy umieszczać w niej fakty nie kalecząc ich cech istotnych.
Inną ramą, jaką narzucamy światu, jest przestrzeń. Jakie jest źródło pierwszych zasad geometrii? Czy narzuca je nam logika? Łobaczewski udowodnił, że tak nie jest, gdy stworzył geometrię nieeuklidesową. Czy zatem poznajemy przestrzeń zmysłowo? Bynajmniej, albowiem przestrzeń, którą mogłyby nam pokazać nasze zmysły, różni się najzupełniej od przestrzeni geometry. Czy geometria wywodzi się może z doświadczenia? Głębsze rozważenie tego zagadnienia pozwoli nam stwierdzić, że tak nie jest. Dojdziemy tedy do wniosku, że zasady te są tylko konwencjami, ale konwencje te nie są dowolne, i gdyby nas przeniesiono do innego świata, (który nazwę światem nieeuklidesowym, usiłując wyobrazić go sobie), zniewoliłoby nas to do przyjęcia innych umów.
Do podobnych wniosków dojdziemy w mechanice i zobaczymy, że zasady tej nauki, jakkolwiek bezpośrednio oparte na doświadczeniu, mają również charakter konwencjonalny, właściwy postulatom geometrycznym. Dotychczas tryumfuje konwencjonalizm, lecz oto dochodzimy do nauk fizycznych we właściwym znaczeniu. Tutaj scena się zmienia; napotykamy hipotezy innego rodzaju i widzimy całą ich płodność. Wprawdzie początkowo teorie wydają się nam kruche, a dzieje nauki dowodzą,, że są one przemijające, ale nie giną one zupełnie, lecz z każdej z nich coś pozostaje. Należy, zatem dołożyć starań, aby wyodrębnić to "coś", albowiem to właśnie i tylko to stanowi prawdziwą rzeczywistość.
Metoda nauk fizycznych opiera się na indukcji, która każe na oczekiwać powtórzenia się pewnego zjawiska, gdy powracają okoliczności, w których zjawisko to zaszło po raz pierwszy. Gdyby wszystkie te okoliczności mogły się powtórzyć, zasadę tę moglibyśmy stosować bez obawy, lecz to nigdy się nie zdarza; pewne okoliczności nigdy się nie powtarzają. Czy jesteśmy zupełnie pewni, że są one pozbawione znaczenia? Oczywiście, że nie. Stąd doniosła rola, jaką odgrywa w naukach fizycznych pojęcie prawdopodobieństwa. Rachunek prawdopodobieństwa nie jest więc tylko rozrywką lub instrukcją dla graczy w bakarata - wypadnie nam postarać się o poznanie jego zasad. Wyniki, do których tu dojdziemy, będą niekompletne, albowiem mglista intuicja, która pozwala nam orientować się w kwestiach prawdopodobieństwa, nie poddaje się łatwo analizie.
Po zbadaniu warunków, w jakich pracuje fizyk, sądziłem, że należy pokazać go przy pracy. W tym celu zaczerpnąłem kilka przykładów z historii optyki i elektryczności. Zobaczymy, skąd wzięły się idee Fresnela i pomysły Maxwella i jakie hipotezy nieświadomie wprowadzili Ampére i inni twórcy elektrodynamiki.
I
Możliwość istnienia nauki matematycznej wydaje się nierozwiązywalną sprzecznością. Jeżeli matematyka tylko z pozoru jest nauką dedukcyjną, to skąd bierze się jej doskonała ścisłość, której nikt nie poddaje w wątpliwość? Jeżeli natomiast wszystkie twierdzenia matematyczne mogą być wyprowadzone jedne z drugich zgodnie z regułami logiki formalnej, to czemu matematyka nie sprowadza się do jednej wielkiej tautologii? Sylogizm nie mówi nam niczego istotnie nowego, i jeżeli wszystko miałoby wynikać z zasady tożsamości, wszystko też dałoby się do niej znów sprowadzić. Czyż zgodzimy się z tym, że wszystkie twierdzenia, wypełniające tyle tomów, są jedynie okrężnymi sposobami powiedzenia, że A jest A!?
Prawdą jest niewątpliwą, że można wrócić do pewników, leżących u źródła wszystkich tych rozumowań. Jeżeli się sądzi, że niepodobna ich sprowadzić do zasady sprzeczności, jeżeli z drugiej strony nie chcę się w nich upatrywać faktów doświadczalnych, którym nie można byłoby przypisać matematycznej konieczności, pozostaje jeszcze trzecie wyjście: uznać je za sądy syntetyczne a priori. Zabieg ten nie stanowi jednak rozwiązania trudności, lecz tylko jej ochrzczenie; nawet gdyby istota sądów syntetycznych była dla nas całkowicie przejrzysta, sprzeczność nie znikłaby, lecz tylko pojawiła się w innym miejscu; rozumowanie sylogistyczne nie może niczego dodać do danych, od których wychodzi; dane te sprowadzają się do kilku pewników, a więc i we wnioskach nie powinniśmy znajdować nic ponad to.
Żadne twierdzenie nie powinno być czymś nowym, jeżeli do jego dowodu nie wprowadziliśmy nowego pewnika; rozumowanie mogłoby nam przywrócić prawdy oczywiste, zapożyczone od bezpośredniej intuicji. Rozumowanie prowadzące od pewników do twierdzeń byłoby tylko pasożytniczym pośrednikiem, a wobec tego czyż nie wypadałoby zadać sobie pytania, czy cały aparat sylogistyczny nie służy po prostu do zamaskowania tej pożyczki?
Sprzeczność ta staje się jeszcze lepiej widoczna, gdy otwieramy dowolną książkę matematyczną; na każdej stronicy autor zapowiada zamiar uogólnienia twierdzenia poprzednio znanego. Czy znaczy to, że metoda matematyczna prowadzi od stwierdzeń szczególnych do ogólnych, a w takim razie, jak można nazywać ją metodą dedukcyjną?
Gdyby wreszcie nauka o liczbach była czysto analityczna lub też można ją było wyprowadzić czysto analitycznie z nielicznych sądów syntetycznych, umysł dostatecznie potężny mógłby jednym rzutem oka dojrzeć wszystkie jej prawdy; co mówię! można byłoby mieć nadzieję, że pewnego dnia zostanie wynaleziony tak prosty sposób ich sformułowania, że będą one bezpośrednio dostępne nawet umysłom pospolitym.
Jeśli wzdragamy się przyjąć te konsekwencje, to dlatego, że musimy uznać, iż rozumowanie matematyczne posiada samo przez się pewną zdolność twórczą, a zatem różni się od sylogizmu.
Różnica ta musi być bardzo głęboka. Nie znajdziemy, na przykład, wyjaśnienia tej tajemnicy w częstym stosowaniu reguły, zgodnie, z którą jedno i to samo jednoznaczne działanie, zastosowane do dwóch równych liczb, daje identyczne wyniki.
Wszystkie te sposoby rozumowania, niezależnie od tego, czy dają się sprowadzić do właściwego sylogizmu, czy też nie, zachowują charakter analityczny i już przez to są bezsilne.
Stary to spór; już Leibniz usiłował dowieść, że 2 + 2 = 4; przyjrzyjmy się nieco dokładniej jego dowodowi.
Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy liczbę 1 i działanie x + 1, które polega na dodaniu jedności do danej liczby x. Definicje te, niezależnie od ich sformułowania, nie będą potrzebne w dalszym rozumowaniu.
Definiuję następnie liczby 2, 3 i 4 za pomocą równości:
(1) 1 + 1 = 2; (2) 2 + 1 = 3; (3) 3 + 1 = 4.
Podobnie, działanie x + 2 definiuję za pomocą równości:
(4) x + 2 = (x + 1) + 1.
Po przyjęciu tych definicji mamy:
2 + 2 = (2 + 1) + 1 (definicja 4)
(2 + 1) + 1 = 3 + 1 (definicja 2)
3 + 1 = 4 (definicja 3).
Z czego wynika, że 2 + 2 = 4 c.b.d.d.
Niepodobna zaprzeczyć, że rozumowanie to jest czysto analityczne. Gdy jednak zapytamy o nie dowolnego matematyka, odpowie nam: "Nie jest to dowód we właściwym znaczeniu tego słowa, a tylko sprawdzenie". Rozumowanie to polega wyłącznie na porównaniu dwóch konwencjonalnych definicji i stwierdzeniu ich tożsamości; nie doprowadziło ono do stwierdzenia czegoś nowego. Sprawdzenie różni się od prawdziwego dowodu tym właśnie, że jest czysto analityczne i jałowe. Jest jałowe, gdyż wniosek stanowi tylko przekład na inny język treści zawartej już w przesłankach. Prawdziwy dowód jest natomiast płodny, ponieważ wniosek, do jakiego prowadzi, jest poniekąd ogólniejszy niż przesłanki.
Równość 2 + 2 = 4 można sprawdzić tylko dlatego, że jest to stwierdzenie szczególne. W taki sposób można sprawdzić każde matematyczne twierdzenie szczególne. Gdyby wszakże matematyka miała się sprowadzać do zbioru takich sprawdzeń, nie byłaby nauką. Podobnie, szachista wygrywając partię nie tworzy nauki. Nauka może dotyczyć wyłącznie rzeczy ogólnych.
Można nawet rzec, że zadanie nauk ścisłych polega na zaoszczędzeniu nam konieczności bezpośredniego sprawdzania stwierdzeń szczegółowych.
Przypatrzmy się zatem matematykowi przy pracy i spróbujmy uchwycić, na czym polega jego postępowanie.
Zadanie to nie jest wolne od trudności; nie wystarcza otworzyć jakąś książkę na chybił-trafił i zbadać pierwszy lepszy dowód.
Musimy przede wszystkim wykluczyć geometrię, w której kwestię komplikują trudne zagadnienia dotyczące roli postulatów oraz istoty i pochodzenia pojęcia przestrzeni. Z podobnych powodów nie możemy zwrócić się do analizy nieskończonościowej (rachunku różniczkowego). Musimy zbadać myśl matematyczną tam, gdzie występuje ona w stanie czystym, to jest w arytmetyce.
I tutaj jeszcze musimy wybierać; w najbardziej zaawansowanych działach teorii liczb pierwotne pojęcia matematyczne uległy tak głębokiemu przetworzeniu, że analiza ich nastręcza poważne trudności.
Wyjaśnień, o które nam chodzi, powinniśmy zatem szukać w działach początkowych arytmetyki - jakkolwiek właśnie w dowodach twierdzeń najbardziej elementarnych autorzy traktatów klasycznych ujawnili najmniej ścisłości i precyzji. Nie należy im tego poczytywać za zbrodnię; ulegli oni tylko konieczności, początkujący nie są bowiem przygotowani do prawdziwej ścisłości matematycznej; nie widzieliby w niej nic prócz próżnych i nużących subtelności; stratą czasu byłoby, gdyby usiłowano zbyt wcześnie zwiększyć ich wymagania; powinni oni przebiec szybko, ale nie przeskakując żadnych etapów, drogę, którą przebyli powoli założyciele nauki.
Czemu potrzebne jest tak długie przygotowanie, aby przyzwyczaić się do doskonałej ścisłości, która - zdawałoby się - powinna narzucać się w sposób naturalny wszystkim zdrowym umysłom? Jest to zagadnienie z dziedziny logiki i psychologii, jak najbardziej godne przemyślenia.
Mimo to nie zatrzymamy się by je rozważyć; jest ono obce przedmiotowi, który nas tutaj zaprząta; stwierdzimy tylko, że, pod grozą chybienia naszego celu musimy przerobić dowody twierdzeń najbardziej elementarnych i nadać im zamiast postaci nieociosanej, którą im się pozostawia gwoli nie trudzenia początkujących, postać ścisłą, która zadowoliłaby wytrawnego matematyka.
Definicja dodawania. Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już działanie x + 1, polegające na dodaniu liczby 1 do danej liczby x. Definicja ta, niezależnie od jej sformułowania, nie będzie grała żadnej roli w dalszym rozumowaniu.
Chcemy teraz zdefiniować działanie x + a, polegające na dodaniu liczby a do danej liczby x.
Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już działanie
x + (a - 1);
działanie x + a definiujemy wówczas równaniem:
(1) x + a = [x + (a - 1)] + 1.
Wiemy zatem, co to jest x + a, jeśli tylko wiemy, co to jest x + (a - 1); ponieważ przyjęliśmy założenie, że wiemy, co to jest ...
stansad