14 Statyka i dynamika płynów.pdf

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 14

14.Statyka i dynamika płynów

Z makroskopowego punktu widzenia powszechnie przyj ę ty jest podział materii na

ciała stałe i płyny. Pod poj ę ciem substancji, która mo Ŝ e płyn ąć rozumiemy ciecze i gazy.

Dla ciał sztywnych, maj ą cych okre ś lony rozmiar i kształt, sformułowali ś my mechanik ę

ciał sztywnych. Do rozwi ą zywania zagadnie ń z mechaniki płynów musimy wprowadzi ć

nowy formalizm poniewa Ŝ płyny łatwo zmieniaj ą kształt, a w przypadku gazów przyj-

muj ą obj ę to ść równ ą obj ę to ś ci naczynia. Wygodnym jest w zwi ą zku z tym sformułowa-

nie zasad dynamiki Newtona wraz z prawami opisuj ą cymi siły w szczególny sposób.

14.1 Ci ś nienie i g ę sto ść

Ró Ŝ nica w działaniu siły powierzchniowej na płyn i na ciało stałe polega na tym,

Ŝ e dla cieczy siła powierzchniowa musi by ć zawsze prostopadła do powierzchni płynu

podczas gdy w ciele stałym mo Ŝ e mie ć dowolny kierunek. Spoczywaj ą cy płyn nie mo Ŝ e

równowa Ŝ y ć sił stycznych (warstwy płynu ś lizgałyby si ę po sobie) i dlatego mo Ŝ e zmie-

nia ć kształt i płyn ąć . Wygodnie jest wi ę c opisywa ć sił ę działaj ą c ą na płyn za pomoc ą

ci ś nienia p zdefiniowanego jako warto ść siły prostopadłej działaj ą cej na jednostk ę po-

wierzchni . Ci ś nienie jest przekazywane na sztywne ś cianki naczynia, a tak Ŝ e na dowol-

ne przekroje płynów prostopadle do tych ś cianek i przekrojów w ka Ŝ dym punkcie. Ci-

ś nienie jest wielko ś ci ą skalarn ą .

W układzie SI jednostk ą jest ( pascal ), 1 Pa = 1 N/m 2 . Innymi jednostkami s ą bar (1 bar

= 10 5 Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), mm Hg (760 mm Hg = 1 atm).

Płyn znajduj ą cy si ę pod ci ś nieniem wywiera sił ę

na ka Ŝ d ą powierzchni ę b ę d ą c ą z nim w kontakcie.

Rozwa Ŝ my zamkni ę t ą powierzchni ę zawieraj ą c ą

płyn (rysunek). Dowolny element powierzchni jest

reprezentowany przez wektor S (długo ść równa po-

wierzchni, kierunek prostopadły, zwrot na ze-

wn ą trz). Wtedy siła F wywierana przez płyn na ten

element powierzchni wynosi

F = p S

Poniewa Ŝ F i S maj ą ten sam kierunek wi ę c ci ś nienie p mo Ŝ na zapisa ć

p = F / S

(14.1b)

Do opisu płynów stosujemy poj ę cie g ę sto ś ci

= m / V

(14.2)

G ę sto ść zale Ŝ y od wielu czynników takich jak temperatura, ci ś nienie. W tabeli przed-

stawiony jest zakres warto ś ci g ę sto ś ci spotykanych w przyrodzie.

14-1

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Materiał

(kg/m 3 )

przestrze ń mi ę dzygwiezdna

najlepsza pró Ŝ nia laboratoryjna

powietrze (1 atm 0 °C)

powietrze (50 atm 0 °C)

Ziemia:

warto ść ś rednia

10 -18 - 10 -21

10 -17

1.3

6.5

5.52·10 3

9.5·10 3

2.8·10 3

10 8 - 10 15

10 17

rdze ń

skorupa

Białe karły

j ą dro uranu

14.2 Zmiany ci ś nienia wewn ą trz nieruchomego płynu

gS d y . Przypominam, Ŝ e siły działa-

j ą ce na element s ą w ka Ŝ dym punkcie prostopadłe do powierzchni (rysunek).

Siły poziome wywołane jedynie przez

ci ś nienie płynu równowa Ŝą si ę . Siły

pionowe s ą wywoływane nie tylko

przez ci ś nienie płynu ale te Ŝ przez je-

go ci ęŜ ar. Element płynu nie jest przy-

spieszany wi ę c wypadkowa siła dzia-

łaj ą ca na ń musi by ć zerem. Dla za-

chowania równowagi w pionie trzeba

wi ę c by:

S d y , a jego ci ęŜ ar

(p+dp)S

pS = ( p +d p ) S +

gS d y

poziom odniesienia y=0

a st ą d

Równanie to pokazuje, Ŝ e ci ś nienie zmienia si ę ze zmian ą wysoko ś ci ponad pewien po-

ziom odniesienia. Gdy wysoko ść ro ś nie tzn. d y > 0 wtedy d p < 0 tzn. ci ś nienie maleje.

Powodem jest ci ęŜ ar warstwy płynu le Ŝą cej pomi ę dzy punktami, dla których mierzymy

ró Ŝ nic ę ci ś nie ń . Dla cieczy zazwyczaj

14-2

Gdy płyn znajduje si ę w równowadze to jego ka Ŝ da cz ęść jest w równowadze.

Rozpatrzmy element w kształcie cienkiego dysku znajduj ą cego si ę w odległo ś ci y od

poziomu odniesienia. Grubo ść dysku wynosi d y , a powierzchnia ka Ŝ dej strony wynosi S .

Masa takiego elementu wynosi

jest stałe (ciecze s ą praktycznie nie ś ci ś liwe),

ró Ŝ nice w wysoko ś ci nie s ą na tyle du Ŝ e Ŝ eby uwzgl ę dnia ć zmiany g wi ę c mo Ŝ emy dla

jednorodnej cieczy zapisa ć powy Ŝ sze równanie w postaci:

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

st ą d

( p 2 - p 1 ) = -

g ( y 2 - y 1 )

Je Ŝ eli powierzchnia cieczy jest swobodna to stanowi naturalny poziom odniesienia. Aby

przenie ść poziom odniesienia na powierzchni ę przyjmujemy y 2 równe wzniesieniu tej

powierzchni. Wtedy ci ś nienie p 2 (na powierzchni) jest równe ci ś nieniu atmosferyczne-

mu p 0 . Teraz y 1 opisuje poło Ŝ enie (wysoko ść ) pewnego poziomu w cieczy. Ci ś nienie na

tym poziomie oznaczmy p. Wtedy

p 0 - p = -

g ( y 2 - y 1 )

Poniewa Ŝ y 2 - y 1 jest gł ę boko ś ci ą h poni Ŝ ej poziomu cieczy wi ę c

p = p 0 +r gh

(14.3)

jest małe i ró Ŝ nica ci ś nie ń w dwóch punktach jest zazwyczaj do pomini ę -

cia i dlatego mo Ŝ na przyjmowa ć , Ŝ e ci ś nienie gazu w naczyniu jest wsz ę dzie jednako-

we. Nie jest to jednak prawdziwe, gdy mamy do czynienia ze znaczn ą ró Ŝ nic ą wysoko-

ś ci (gdy wznosimy si ę w atmosferze). Ci ś nienie zmienia si ę wtedy znacznie, zmienia si ę

te Ŝ

. Np. na wysoko ś ci około 6 km ci ś nienie wynosi 0.5 atm. Dla porównania 6 km w

gł ą b morza wynosi 600 atm.

14.3 Prawo Pascala i prawo Archimedesa

Na rysunku widzimy ciecz w naczyniu zamkni ę tym tłokiem, na który mo Ŝ emy

działa ć ci ś nieniem zewn ę trznym p 0 . W ka Ŝ dym punkcie A znajduj ą cym si ę na

ś ci h od górnej powierzchni cieczy, ci ś nienie jest dane wyra Ŝ eniem

p 0

p = p 0 +

p 0 . Po-

niewa Ŝ ciecze s ą nie ś ci ś liwe wi ę c g ę sto ść pozostaje praktycznie

bez zmian i dlatego ci ś nienie teraz wynosi

p = p 0 +

p 0 +

Wynik ten został sformułowany przez Blaise Pascala i nazywa

si ę prawem Pascala . Prawo to formułuje si ę nast ę puj ą co:

nie wywierane na zamkni ę ty płyn jest przekazywane niezmienio-

ne na ka Ŝ d ą cz ęść płynu oraz na ś cianki naczynia .

Prawo to jest konsekwencj ą praw mechaniki płynów podobnie jak prawo Archimedesa .

Kiedy ciało jest zanurzone w cało ś ci lub cz ęś ciowo w spoczywaj ą cym płynie (cieczy lub

gazie) to płyn ten wywiera ci ś nienie na ka Ŝ d ą , b ę d ą c ą z nim w kontakcie, cz ęść po-

wierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i zwie si ę sił ą wyporu .

14-3

Zwi ą zek ten nie tylko pokazuje, Ŝ e ci ś nienie ro ś nie wraz z gł ę boko ś ci ą ale te Ŝ , Ŝ e jest

jednakowe dla punktów o tej samej gł ę boko ś ci.

Dla gazów

Mo Ŝ emy powi ę kszy ć ci ś nienie zewn ę trzne o warto ść

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Poniewa Ŝ ci ś nienie wywierane na ciało nie zale Ŝ y od

materiału, z którego zrobiono ciało wi ę c zast ą pmy

w naszym rozumowaniu rozpatrywane ciało przez ten

sam płyn co płyn otoczenia. Na ten płyn b ę dzie działa-

ło to samo ci ś nienie co na ciało, które zast ą pił. Poza

tym płyn b ę dzie nieruchomy. St ą d działaj ą ca na ń siła

b ę dzie równa ci ęŜ arowi płynu i skierowana ku górze

tak, Ŝ eby ten ci ęŜ ar zrównowa Ŝ y ć . Otrzymujemy pra-

wo Archimedesa: ciało w cało ś ci lub cz ęś ciowo zanu-

rzone w płynie jest wypierane ku górze sił ą równ ą ci ę -

Ŝ arowi wypartego przez to ciało płynu . Tak wi ę c

F wyporu = m wypartego płynu g = r Vg

(14.4)

gdzie

jest g ę sto ś ci ą płynu, a V obj ę to ś ci ą cz ęś ci zanurzonej ciała.

14.4 Pomiar ci ś nienia (barometr)

= 13.6*10 3 kg/m 3 ), któr ą odwracamy nad naczyniem z rt ę ci ą tak jak na

rysunku. Ci ś nienia w punktach A i B musz ą by ć jednakowe bo punkty te s ą na jednako-

wej wysoko ś ci. Zgodnie z naszymi uprzednimi rozwa Ŝ aniami

próŜnia, p=0

p A =

podczas gdy

p B = p atm

Poniewa Ŝ p A = p B wi ę c

gh = p atm

atm

= 0.76 m

Mierz ą c wysoko ść słupa rt ę ci mierzymy wielko ść ci ś nienia atmosferycznego.

Przejdziemy teraz do opisu ruchu płynu (dynamika płynów).

14.5 Ogólny opis przepływu płynów

Znane s ą dwa podej ś cia do opisu ruchu płynu. Pierwsze wymaga "podzielenia" pły-

nu na niesko ń czenie małe cz ą stki (elementy obj ę to ś ci) i ś ledzenie tych elementów.

Oznacza to, Ŝ e dla ka Ŝ dej cz ą stki mamy współrz ę dne x , y , z i ich zale Ŝ no ść od czasu. W

ten sposób skonstruowa ć mo Ŝ na opis ruchu płynu (Joseph Louis Lagrange koniec XVIII

w).

Drugie podej ś cie zaproponowane przez Leonharda Eulera jest bardziej wygodne.

Zamiast opisywa ć histori ę ka Ŝ dej z cz ą stek okre ś lamy g ę sto ść płynu i jego pr ę dko ść

14-4

Evangelista Torricelli wynalazł w 1643 r barometr rt ę ciowy i tym samym podał spo-

sób pomiaru ci ś nienia atmosferycznego. Barometr Torricellego składa si ę z rurki wypeł-

nionej rt ę ci ą (

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

( x , y , z , t ) oraz

v ( x , y , z , t ). Oznacza to, Ŝ e koncentrujemy si ę na wybranym punkcie przestrzeni w pew-

nym czasie.

Na wst ę pie rozpatrzmy pewne ogólne wła ś ciwo ś ci charakteryzuj ą ce przepływ.

Przepływ mo Ŝ e by ć ustalony (laminarny) lub nieustalony . Ruch płynu jest ustalony,

kiedy pr ę dko ść płynu v jest w dowolnie wybranym punkcie stała w czasie tzn. ka Ŝ da

cz ą stka przechodz ą ca przez dany punkt zachowuje si ę tak samo. Warunki takie osi ą ga

si ę przy niskich pr ę dko ś ciach.

Przepływ mo Ŝ e by ć wirowy lub bezwirowy . Przepływ jest bezwirowy, gdy w Ŝ adnym

punkcie cz ą stka nie ma wypadkowej pr ę dko ś ci k ą towej wzgl ę dem tego punktu. Mo Ŝ na

sobie wyobrazi ć małe kółko z łopatkami zanurzone w przepływaj ą cym płynie. Je Ŝ eli

kółko nie obraca si ę to przepływ jest bezwirowy, w przeciwnym razie ruch jest wirowy.

Przepływ mo Ŝ e by ć ś ci ś liwy lub nie ś ci ś liwy . Zazwyczaj przepływ cieczy jest nie ś ci-

ś liwy (stała

). Przepływ gazu te Ŝ mo Ŝ e by ć nie ś ci ś liwy tzn. zmiany g ę sto ś ci s ą nie-

znaczne. Np. ruch powietrza wzgl ę dem skrzydeł samolotu podczas lotu z pr ę dko ś ci ą

mniejsz ą od pr ę dko ś ci głosu.

Przepływ mo Ŝ e by ć lepki lub nielepki . Lepko ść w ruchu płynów jest odpowiednikiem

tarcia w ruchu ciał stałych (lepko ść smarów).

W naszych rozwa Ŝ aniach ograniczymy si ę do przepływów ustalonych , bezwirowych ,

nie ś ci ś liwych i nielepkich . To znacznie upraszcza matematyk ę .

Nasze rozwa Ŝ ania rozpoczniemy od wprowa-

dzenia poj ę cia linii pr ą du .

W przepływie ustalonym v jest stała w

czasie w danym punkcie. Rozwa Ŝ my punkt P

wewn ą trz płynu. Ka Ŝ da cz ą stka ma tam tak ą

sam ą pr ę dko ść . To samo dla punktów Q i R.

Je Ŝ eli prze ś ledzimy tor jednej cz ą stki to prze-

ś ledzili ś my zarazem tor ka Ŝ dej cz ą stki prze-

chodz ą cej przez P. Tor tej cz ą stki nazywamy

lini ą pr ą du. Linia pr ą du jest równoległa do pr ę dko ś ci płynu. ś adne linie pr ą du nie mog ą

si ę przecina ć bo istniała by niejednoznaczno ść w wyborze drogi przez cz ą stk ę (a prze-

pływ jest ustalony).

Je Ŝ eli wybierzemy pewn ą sko ń czon ą liczb ę linii pr ą du to tak ą wi ą zk ę nazywamy strug ą

pr ą du . Brzegi składaj ą si ę z linii

pr ą du wi ę c płyn nie mo Ŝ e przepły-

wa ć przez brzegi strugi . Płyn wcho-

dz ą cy jednym ko ń cem strugi musi

opu ś ci ć j ą drugim.

Na rysunku obok pr ę dko ść cz ą stek

w punkcie P wynosi v 1 a pole prze-

kroju strugi A 1 . W punkcie Q odpo-

wiednio v 2 i A 2 . W czasie

v R

v P

V Q

A 2

Q, v 2

t ele-

ment płynu prze-bywa odległo ść

v D

A 1

t . Masa płynu przechodz ą cego

przez A 1 w czasie

P, v 1

t wynosi

14-5

w ka Ŝ dym punkcie przestrzeni i w ka Ŝ dej chwili czasu. Czyli podajemy

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: