15 Fale w ośrodkach sprężystych.pdf

(128 KB) Pobierz
15 Fale w oœrodkach sprê¿ystych
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 15
15. Fale w o ś rodkach spr ęŜ ystych
15.1 Fale mechaniczne
Fale powstaj ą ce w o ś rodkach spr ęŜ ystych (np. fale d ź wi ę kowe) nazywamy falami me-
chanicznymi . Powstaj ą w wyniku wychylenia jakiego ś fragmentu o ś rodka z poło Ŝ enia
równowagi co w nast ę pstwie powoduje drgania fragmentu wokół tego poło Ŝ enia. Drga-
nia te (dzi ę ki wła ś ciwo ś ciom spr ęŜ ystym o ś rodka) s ą przekazywane na kolejne cz ęś ci
o ś rodka. Sam o ś rodek nie przesuwa si ę a jedynie jego elementy wykonuj ą drgania w
ograniczonych obszarach przestrzeni. Np. fale na powierzchni wody: przedmioty pły-
waj ą ce wykonuj ą ruch drgaj ą cy natomiast same fale poruszaj ą si ę ruchem jednostaj-
nym. Fala dobiegaj ą ce do danego przedmiotu wprawiaj ą go w ruch drgaj ą cy przekazu-
j ą c mu energi ę . Mo Ŝ na za pomoc ą fal przekazywa ć wi ę c energi ę na du Ŝ e odległo ś ci.
Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cz ą stek o ś rodka.
Cech ą charakterystyczn ą fal jest to, Ŝ e przenosz ą energi ę poprzez materi ę dzi ę ki prze-
suwaniu si ę zaburzenia w materii a nie dzi ę ki ruchowi post ę powemu samej materii .
Do rozchodzenia si ę fal mechanicznych potrzebny jest o ś rodek . To wła ś ciwo ś ci spr ęŜ y-
ste o ś rodka decyduj ą o pr ę dko ś ci rozchodzenia si ę fali.
Ze wzgl ę du na kierunek drga ń cz ą stek wzgl ę dem kierunku rozchodzenia si ę fali
·
fale podłu Ŝ ne (np. spr ęŜ yna, głos)
Ze wzgl ę du na czoło fali (powierzchnia ł ą cz ą ca punkty o jednakowych zaburzeniach w
danej chwili) wyró Ŝ niamy
·
fale płaskie (w jednym kierunku)
·
fale kuliste
15.2 Fale rozchodz ą ce si ę w przestrzeni
Rozwa Ŝ my długi sznur naci ą gni ę ty w kierunku x , wzdłu Ŝ którego biegnie fala po-
przeczna. W dowolnej chwili np. t = 0 kształt sznura mo Ŝ na opisa ć funkcj ą
y = f( x ),
t = 0
y – przemieszczenie cz ą steczek sznura sznura.
W miar ę upływu czasu fala biegnie wzdłu Ŝ sznura bez zmiany kształtu. Po czasie t fala
przesuwa si ę o v t w prawo ( v - pr ę dko ść fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma
posta ć
y = f( x - v t ),
t
Oznacza to, Ŝ e w chwili t w punkcie x = v t , kształt jest taki sam jak w chwili t = 0
w punkcie x = 0. Mamy wi ę c równanie fali tylko trzeba okre ś li ć funkcj ę f.
Je Ŝ eli ś ledzimy wybran ą cz ęść fali (czyli okre ś lon ą faz ę ) to musimy zbada ć jak zmienia
si ę w czasie okre ś lona warto ść y (np. maksimum - amplituda). Chcemy Ŝ eby y było cały
15-1
fale poprzeczne (np. lina)
·
19146806.018.png 19146806.019.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
czas takie samo, wi ę c argument x - v t musi by ć taki sam, a to oznacza, Ŝ e gdy czas ro-
ś nie to musi te Ŝ rosn ąć x (czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma wi ę c równanie
y = f( x+ v t ).
Podsumowuj ą c, dla wybranej fazy mamy
x - v t = const.
Ró Ŝ niczkuj ą c wzgl ę dem czasu otrzymujemy
d
x
- v
=
0
d
t
czyli
d
x
=
v
d
t
To jest pr ę dko ść fazowa . Zauwa Ŝ my, Ŝ e dla danego t mamy równanie f( x ), a dla danego
miejsca sznura x mamy równanie f( t ).
Rozwa Ŝ my teraz fale o szczególnym kształcie. Załó Ŝ my, Ŝ e w chwili t = 0 kształt sznura
jest opisany funkcj ą
y
=
A
sin
2
p
x
l
gdzie A jest maksymalnym wychyleniem. Zauwa Ŝ my, Ŝ e wychylenie jest takie samo
w punktach x , x +
l
, x + 2
l
, x + 3
l
itd. Wielko ść
l
y
=
A
sin
2
p
(
x
-
v
t
)
l
To jest równanie fali biegn ą cej.
Okres T jest czasem, w którym fala przebiega odległo ść równ ą
wi ę c:
l
= v T
st ą d
y
=
A
sin
2
p
x
-
t
(15.1)
l
T
Wida ć , Ŝ e w danej chwili taka sama faza jest w punktach x , x +
l
, x + 2
l
, x + 3
l
itd.,
oraz, Ŝ e w danym miejscu faza powtarza si ę w chwilach t , t + T , t +2 T , itd.
Cz ę sto wprowadza si ę dwie nowe wielko ś ci: liczb ę falow ą k = 2
p
/
l
i cz ę sto ść
w
= 2
p
/ T .
t ) dla fal biegn ą cych w prawo i lewo.
Wida ć , Ŝ e pr ę dko ść fazowa fali v jest dana wzorem
w
t ) lub y = Asin( kx +
w
v = l / T = w / k
(15.2)
oraz, Ŝ e dla danego x otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.
15-2
nazywamy długo ś ci ą fali (odległo ść
mi ę dzy punktami o tej samej fazie). Je Ŝ eli fala biegnie w prawo to po czasie t
l
Wówczas y = A sin( kx -
19146806.020.png 19146806.021.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
15.3 Rozchodzenie si ę fal, pr ę dko ść fal
Je Ŝ eli chcemy zmierzy ć pr ę dko ść fali v to ś ledzimy jak przemieszcza si ę w czasie
wybrana cz ęść fali czyli okre ś lona faza .
Wiemy, Ŝ e pr ę dko ść fali zale Ŝ y od spr ęŜ ysto ś ci o ś rodka i jego bezwładno ś ci. Spr ę -
Ŝ ysto ść dla sznura jest okre ś lona poprzez napinaj ą c ą go sił ę F (np. im wi ę ksza siła tym
szybciej wychylone elementy sznura wracaj ą do poło Ŝ enia równowagi). Natomiast
bezwładno ść jest zwi ą zana z mas ą sznura m oraz jego długo ś ci ą l . Spróbujemy teraz
wyprowadzi ć wzór na zale Ŝ no ść pr ę dko ś ci v fali od siły F i od
m
Ko ń ce wycinka sznura tworz ą z osi ą x małe k ą ty q 1 i q 2 . Dla małych k ą tów
q @ sinq @ dy / dx . Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylaj ą ca sznur w kierunku y wy-
nosi
F wyp
=
F
sin
q
2
-
F
sin
q
1
=
F
q
2
-
F
q
1
Zgodnie z zasad ą dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka
dm = m× dx i jego przyspieszenia. St ą d
v
2
y
F
=
F
q
-
F
q
=
(
m
dx
)
y
=
(
m
dx
)
wyp
2
1
t
t
2
lub
q
m
2
y
=
x
F
t
2
(Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cz ą stkowe oznaczane symbolem ¶ y bo wy-
chylenie y jest funkcj ą dwóch zmiennych y = f ( x , t ) i liczymy pochodne zarówno
wzgl ę dem zmiennej x jak i zmiennej t ).
Uwzgl ę dniaj ą , Ŝ e q = ¶ y /¶ x otrzymujemy
15-3
= m / l tj. masy przypa-
daj ą cej na jednostk ę długo ś ci sznura. W tym celu rozpatrzmy mały wycinek sznura
o długo ś ci dx pokazany na rysunku.
19146806.001.png 19146806.002.png 19146806.003.png 19146806.004.png 19146806.005.png 19146806.006.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
2
y
m
2
y
=
(15.3)
x
2
F
t
2
Jest to równanie falowe dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpo-
wiednie pochodne funkcji
y
=
f(
x
,
t
)
=
A
sin(
k
x
-
w
t
)
2
y
=
-
A
w
2
sin(
k
x
-
w
t
)
t
2
oraz
2
y
=
-
Ak
2
sin(
k
x
-
w
t
)
x
2
W wyniku podstawienia otrzymujemy
k
2
=
F
w
2
sk ą d mo Ŝ emy obliczy ć pr ę dko ść fali
v
=
k =
F
(15.4)
m
Zwró ć my uwag ę , Ŝ e sinusoidalna fala mo Ŝ e by ć przenoszona wzdłu Ŝ struny z pr ę dko-
ś ci ą niezale Ŝ n ą od amplitudy i cz ę stotliwo ś ci.
Je Ŝ eli teraz przepiszemy równanie struny w postaci
2
y
1
2
y
=
(15.5)
x
2
v
2
t
2
to otrzymamy równanie falowe , które stosuje si ę do wszystkich rodzajów rozchodz ą -
cych si ę fal, takich jak fale d ź wi ę kowe czy elektromagnetyczne.
15.4 Przenoszenie energii przez fale
Szybko ść przenoszenia energii wyznaczymy obliczaj ą c sił ę F jaka działa na koniec
struny (porusza strun ą w gór ę i w dół w kierunku y ).
W tym celu posłu Ŝ ymy si ę zale Ŝ no ś ci ą
P = F y v y
Jak wida ć z rysunku pr ę dko ść poprzeczna równa jest
v y =
y /
t , a składowa siły F w kierunku y wynosi
F sin
q
. Podstawiaj ą c do wzoru na moc otrzymujemy
15-4
w
19146806.007.png 19146806.008.png 19146806.009.png 19146806.010.png 19146806.011.png 19146806.012.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
P
=
F
y
sin
q
t
Dla małych k ą tów
q
mo Ŝ emy przyj ąć sin
q
@
–
y /
x (znak minus wynika z ujemnego
nachylenia struny). St ą d
P
=
-
F
y
y
t
x
Obliczamy teraz pochodne funkcji
y
=
f(
x
,
t
)
=
A
sin(
k
x
-
w
t
)
y
=
-
A
w
cos(
kx
-
w
t
)
t
y
=
A
k
cos(
kx
-
w
t
)
x
i podstawiamy do wyra Ŝ enia na moc
P
=
FA
2
k
w
cos
2
(
k
x
-
w
t
)
(15.6)
Zauwa Ŝ my, Ŝ e moc czyli szybko ść prze pływu energii oscyluje w czasie. Korzystaj ą c
z tego, Ŝ e k =
/ v ,
w
= 2
p
f oraz, Ŝ e
v
=
F
/
m
otrzymujemy
P
=
4
p
2
A
2
f
2
m
v
cos
2
(
kx
-
w
t
)
(15.7)
Widzimy, Ŝ e szybko ść przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy
i kwadratu cz ę stotliwo ś ci. Ta zale Ŝ no ść jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.
15.5 Interferencja fal
Rozwa Ŝ my dwie fale o równych cz ę stotliwo ś ciach i amplitudach ale o fazach ró Ŝ -
ni ą cych si ę o
. Równania tych fal s ą nast ę puj ą ce
y 1 = A sin( kx –
w
t –
j
)
y 2 = A sin( kx –
w
t )
Znajd ź my teraz fal ę wypadkow ą ( zasada superpozycji ) jako sum ę y = y 1 + y 2 .
Korzystaj ą c ze wzoru na sum ę sinusów otrzymujemy
y = 2 A cos(
j
/2)sin( kx –
w
t –
j
/2)
(15.8)
co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie 2 A cos(
j
/2). Dla
j
= 0 fale spotykaj ą
si ę zgodnie w fazie (wzmacniaj ą ), a dla
j
= 180 wygaszaj ą .
15-5
w
j
19146806.013.png 19146806.014.png 19146806.015.png 19146806.016.png 19146806.017.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin