16 Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I.pdf

(84 KB) Pobierz
16 Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 16
16. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I
16.1 Prawo gazów doskonałych
obj ę to ść cz ą steczek gazu jest o wiele mniejsza ni Ŝ obj ę to ść zajmowana przez gaz,
·
zasi ę g sił działaj ą cych mi ę dzy dwoma cz ą stkami jest o wiele mniejszy ni Ŝ ś rednia
odległo ść mi ę dzycz ą steczkowa.
W wyprowadzeniu prawa gazów doskonałych b ę dziemy traktowa ć cz ą steczki gazu jako
N małych, twardych kulek zamkni ę tych w pudełku o obj ę to ś ci V . Kulki s ą twarde tzn.
b ę d ą zderzały si ę spr ęŜ y ś cie ze ś ciankami naczynia. Rozwa Ŝ my jedn ą cz ą steczk ę , która
zderza si ę z lew ą ś ciank ą naczynia (rysunek). Ś rednia siła jak ą cz ą steczka wywiera na
ś ciank ę w czasie
D
t wynosi
F
=
d
p
x
d
t
y
Zmiana p ę du spowodowana zderzeniem ze
ś ciank ą wynosi
v x
D
p x = m v x - ( - m v x ) = 2 m v x
-v x
Poniewa Ŝ czas pomi ę dzy kolejnymi zderze-
niami z t ą ś ciank ą wynosi
x
D
t = 2 l / v x
gdzie l jest odległo ś ci ą mi ę dzy ś ciankami, to
(
2
m
v
)
m
v
2
F
=
x
=
x
2
l
l
v
x
jest ś redni ą sił ą działaj ą c ą na ś ciank ę (na jedn ą cz ą stk ę ).
Dla N cz ą stek całkowita siła wynosi
m
v
2
F
=
N
x
l
v u ś rednione po wszystkich cz ą steczkach ( ś rednia kwadratu). Dziel ą c
obie strony równania przez pole powierzchni ś cianki S otrzymujemy ci ś nienie
v jest to
2
x
16-1
Gaz doskonały:
·
gdzie
2
x
19146815.017.png 19146815.018.png 19146815.019.png 19146815.020.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
m
v
2
m
v
2
P
=
N
x
=
N
x
Sl
V
czyli
pV v
=
Nm
2
x
(16.1)
Jak wida ć iloczyn pV jest stały tak długo jak długo jest stała energia kinetyczna cz ą stek
(prawo Boyle'a - Mariotta).
Zauwa Ŝ my, Ŝ e
v
2
=
v
x v
+
v
2
+
2
y
z
Ponadto, poniewa Ŝ cz ą stki zderzaj ą si ę w taki sam sposób ze wszystkimi sze ś cioma
ś ciankami naczynia wi ę c
v
x v
=
v
2
=
2
y
z
wi ę c
v
2
v
2
=
3
v
x czyli
,
v
2
=
x
3
Teraz otrzymujemy równanie wyra Ŝ one przez v a nie przez v x
v
2
pV
=
Nm
(16.2)
3
Poniewa Ŝ Nm = M (masa gazu), oraz M / V = r wi ę c równanie powy Ŝ sze mo Ŝ na przepi-
sa ć w postaci
v
2
3
p
p
=
r
,
czyli
v
=
v
2
=
(16.3)
3
sr
.
kw
.
r
16.2 Temperatura
Zdefiniujmy temperatur ę bezwzgl ę dn ą jako wielko ść wprost proporcjonaln ą do
ś redniej energii kinetycznej cz ą stek
2
m
2
T
=
(16.4)
3
k
2
gdzie k jest sta ł ą Boltzmana k = 1.38·10 -23 J/K.
Eliminuj ą c
v z równa ń (16.2) i (16.4) otrzymujemy
pV = NkT
16-2
2
2
2
2
19146815.001.png 19146815.002.png 19146815.003.png 19146815.004.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
lub
pV = nRT
(16.5)
gdzie n jest liczb ą moli ( R = kN AV ). Przypomnijmy, Ŝ e stała Avogadra N A v = 6.023·10 23
1/mol, okre ś la liczb ę cz ą steczek w jednym molu.
Wyra Ŝ enie (16.5) przedstawia równanie stanu gazu doskonałego .
Równanie stanu gazu doskonałego zostało sformułowane w XIX w. przez Clapeyro-
na na podstawie trzech praw empirycznych odkrytych wcze ś niej przez innych badaczy:
·
Prawo Charlesa mówi, Ŝ e przy stałej obj ę to ś ci gazu stosunek ci ś nienia i temperatury
danej masy gazu jest stały p / T = const.
Prawo Gay-Lussaca stwierdza, Ŝ e dla stałego ci ś nienia stosunek obj ę to ś ci do tempe-
ratury danej masy gazu jest stały V / T = const.
16.2.1 Termometry
Aby zmierzy ć temperatur ę trzeba wyznaczy ć energi ę kinetyczn ą cz ą steczek gazu co jest
bardzo trudne. Ale mo Ŝ emy si ę posłu Ŝ y ć równaniem stanu gazu doskonałego. Łatwo
jest zmierzy ć iloczyn pV np. dla układu o stałym ci ś nieniu.
16.3 Ekwipartycja energii
16.3.1 Zerowa zasada termodynamiki
Je Ŝ eli dwa ciała o ró Ŝ nych temperaturach zetkniemy ze sob ą (i odizolujemy od in-
nych) to po dostatecznie długim czasie ich temperatury wyrównaj ą si ę . Powiemy, Ŝ e te
ciała s ą w równowadze termicznej ze sob ą .
Je Ŝ eli ciała 1 i 2 s ą w równowadze termicznej i ciała 2 i 3 s ą w równowadze termicznej
to ciała 1 i 3 s ą w tej samej równowadze termicznej .
To jest zerowa zasada termodynamiki . Z zasad dynamiki Newtona mo Ŝ na pokaza ć , Ŝ e
ś rednie energie kinetyczne ruchu post ę powego (na cz ą steczk ę ) dla dwu kontaktuj ą cych
si ę gazów s ą równe.
16.3.2 Ekwipartycja energii
Wiemy ju Ŝ , Ŝ e w równowadze termodynamicznej energie kinetyczne ruchu post ę -
powego wszystkich cz ą steczek s ą równe. Ale co z ruchem obrotowym i drganiami? Czy
cz ą steczka mo Ŝ e gromadzi ć energi ę w innej postaci ni Ŝ energia ruchu post ę powego?
Je Ŝ eli tylko cz ą stka nie ma kształtu kuli (1 atomowa) a ma pewn ą struktur ę wewn ę trzn ą
to mo Ŝ e wirowa ć i drga ć . Np. dwuatomowa w kształcie hantli zacznie si ę obraca ć po
zderzeniu. Na podstawie mechaniki statystycznej mo Ŝ na pokaza ć , Ŝ e gdy liczba punk-
tów materialnych jest bardzo du Ŝ a i obowi ą zuje mechanika Newtonowska to dost ę pna
energia rozkłada si ę w równych porcjach na wszystkie niezale Ŝ ne sposoby, w jakie cz ą -
steczka mo Ŝ e j ą absorbowa ć . Ka Ŝ dy z tych sposobów absorpcji energii nazywa si ę stop-
niem swobody i jest równy liczbie niezale Ŝ nych współrz ę dnych potrzebnych do okre ś le-
nie poło Ŝ enia ciała w przestrzeni.
16-3
Prawo Boyle'a-Mariotte'a stwierdza, Ŝ e w stałej temperaturze iloczyn ci ś nienia i ob-
j ę to ś ci danej masy gazu jest stały pV = const.
·
·
19146815.005.png 19146815.006.png 19146815.007.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Innymi słowy: ś rednia energia kinetyczna na ka Ŝ dy stopie ń swobody jest taka sama dla
wszystkich cz ą steczek . Ten wynik nazywamy zasad ą ekwipartycji energii .
Ś rednia energia kinetyczna ruchu post ę powego (z równania definiuj ą cego T ) wynosi
1
m
2
=
3
kT
2
2
Odpowiada to trzem stopniom swobody (współrz ę dne x , y , z ). St ą d ś rednia energia na
stopie ń swobody wynosi (1/2) kT na cz ą steczk ę ( zale Ŝ y tylko od T ).
Dla cz ą stek obracaj ą cych si ę potrzeba 3 dodatkowych współrz ę dnych do opisania ruchu
(obrót wzgl ę dem trzech osi) wi ę c mamy dodatkowe 3 stopnie swobody.
O ile dla N cz ą steczek nie obracaj ą cych si ę całkowita energia (wewn ę trzna) U b ę dzie
energi ą kinetyczn ą ruchu post ę powego U = 3/2( NkT ) to dla cz ą stek, które mog ą obraca ć
si ę swobodnie we wszystkich kierunkach (wieloatomowe)
U = (3/2)( NkT ) + (3/2)( NkT ) = 3 NkT
Natomiast dla cz ą stki dwuatomowej (gładkiej)
U = 3/2( NkT ) + (2/2)( NkT ) = (5/2)( NkT )
bo nie ma obrotu wokół osi hantli.
Zwró ć my uwag ę , Ŝ e mówimy tu o energii "ukrytej" (wewn ę trznej) cz ą stek a nie o ener-
gii makroskopowej (zwi ą zanej z ruchem masy). O tej energii mówili ś my przy zasadzie
zachowania energii (energia indywidualnych cz ą stek nie zawarta w energii kinetycznej
czy potencjalnej ciała jako cało ś ci). Energi ę wewn ę trzn ą oznacza si ę zazwyczaj przez U
i takie oznaczenie b ę dziemy dalej stosowa ć .
16.4 Pierwsza zasada termodynamiki
To jest po prostu inna wersja zasady zachowania energii, w której mamy rozdzielon ą
energi ę ciała na cz ęść makroskopow ą i mikroskopow ą . Makroskopowa to energia ruchu
masy (energia mechaniczna). Mikroskopowa to "ukryta" energia cz ą stek (energia we-
wn ę trzna).
Gdy dwa układy (ciała) o ró Ŝ nych temperaturach zetkniemy ze sob ą to ciepło
D
D
Q =
D
U +
D
W
(16.6a)
To jest sformułowanie I zasady termodynamiki .
Zasada ta pracuje "w obie strony" tzn., gdy nad układem zostanie wykonana praca to
układ mo Ŝ e oddawa ć ciepło. To równanie bardzo cz ę sto przybiera posta ć
d U = d Q – d W
(16.6b)
16-4
v
Q
przepływa z ciała cieplejszego do chłodniejszego. Zgodnie z zasad ą zachowania energii,
ciepło pobrane przez układ musi by ć równe wzrostowi energii wewn ę trznej układu plus
pracy wykonanej przez układ nad otoczeniem zewn ę trznym czyli
19146815.008.png 19146815.009.png 19146815.010.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Je Ŝ eli rozpatrujemy układ jak na rysunku obok to
V
S
d W = F d l = ( F / S )( S d l ) = p d V
(16.7)
F
i wtedy
dl
d U = d Q – p d V
16.5 Ciepło wła ś ciwe
Ciepło wła ś ciwe definiujemy jako d Q /d T na gram lub mol substancji (ciepło wago-
we lub molowe).
16.5.1 Ciepło wła ś ciwe przy stałej obj ę to ś ci
Poniewa Ŝ d V = 0 wi ę c d U = d Q a st ą d
c v = d Q /d T = d U /d T
Dla gazu jednoatomowego (dla jednego mola) U = (3/2) N AV kT = (3/2) RT .
Zatem
c v = (3/2) R
Dla cz ą steczki dwuatomowej spodziewamy si ę wi ę c
c v = (5/2) R
a dla wieloatomowej
c v = 3 R
Niedoskonało ś ci ą modelu opartego na mechanice klasycznej jest to, Ŝ e przewiduje cie-
pło wła ś ciwe niezale Ŝ ne od temperatury, a badania pokazuj ą , Ŝ e jest to prawdziwe tylko
dla gazów jednoatomowych. Dla pozostałych c v ro ś nie z temperatur ą .
Na rysunku poni Ŝ ej przedstawiono c V dla wodoru (H 2 ) w funkcji temperatury (w skali
logarytmicznej).
8
(7/2) R
6
(5/2) R
4
(3/2) R
2
10
100
1000
10000
Temperatra (K)
16-5
19146815.011.png 19146815.012.png 19146815.013.png 19146815.014.png 19146815.015.png 19146815.016.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin