22 Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna.pdf

(90 KB) Pobierz
22 Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 22
22.Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna
22.1 Prawo Ampera
Chcemy teraz znale źć pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie wyst ę puj ą -
ce rozkłady pr ą dów, takich jak przewodniki prostoliniowe, cewki itd.
Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysuj ą c
tzw. linie pola magnetycznego czyli linie wektora indukcji
magnetycznej. Na rysunku pokazane s ą linie pola magne-
tycznego wokół prostoliniowego przewodnika z pr ą dem.
Wektor B jest styczny do tych linii pola w ka Ŝ dym punk-
cie.
Linie pola B wytwarzanego przez przewodnik s ą za-
mkni ę tymi współ ś rodkowymi okr ę gami w płaszczy ź nie
prostopadłej do przewodnika . To, Ŝ e linie pola B s ą za-
mkni ę te stanowi fundamentaln ą ró Ŝ nic ę mi ę dzy polem
magnetycznym i elektrycznym, którego linie zaczynaj ą si ę
i ko ń cz ą na ładunkach.
Zwrot wektora indukcji B wokół przewodnika wyzna-
czamy stosuj ą c nast ę puj ą c ą zasad ę : Je ś li kciuk prawej r ę ki
wskazuje kierunek pr ą du I, to zgi ę te palce wskazuj ą kie-
runek B (linie pola B kr ąŜą wokół pr ą du).
ś eby obliczy ć pole B potrzeba nam "magnetycznego" odpowiednika prawa Gaussa.
Zwi ą zek mi ę dzy pr ą dem i polem B jest wyra Ŝ ony poprzez prawo Ampera .
Zamiast sumowania (całki) E po zamkni ę tej powierzchni, w prawie Ampera sumujemy
(całkujemy) po zamkni ę tym konturze (całk ę krzywoliniow ą ). Taka całka dla pola E
równała si ę wypadkowemu ładunkowi wewn ą trz powierzchni, a w przypadku pola B
jest równa całkowitemu pr ą dowi otoczonemu przez kontur, co zapisujemy
∫
B
d
l
=
m
0
I
(22.1)
· 10 -7 Tm/A, jest przenikalno ś ci ą magnetyczn ą pró Ŝ ni . Tak jak w przypad-
ku prawa Gaussa wynik był prawdziwy dla dowolnej powierzchni zamkni ę tej tak dla
prawa Ampera wynik nie zale Ŝ y od kształtu konturu zamkni ę tego
Przykład 1
Obliczmy pole wokół niesko ń czenie długiego prostoliniowego
przewodnika w odległo ś ci r od niego. Z prawa Ampera wynika,
Ŝ e dla konturu kołowego (rysunek obok)
m 0 = 4
p
I
B 2
r =
m 0 I
r
St ą d
22-1
gdzie
p
19146944.032.png 19146944.033.png 19146944.034.png 19146944.035.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
B
=
2
0
I
(22.2)
p
r
22.2 Strumie ń magnetyczny
Tak jak liczyli ś my strumie ń dla pola E (liczb ę linii przechodz ą cych przez po-
wierzchni ę S ) tak te Ŝ obliczamy strumie ń pola B
f
B
= S
∫
B d
s
(22.3)
Poniewa Ŝ linie pola B s ą zamkni ę te wi ę c strumie ń przez zamkni ę t ą powierzchni ę musi
by ć równy zeru (tyle samo linii wchodzi co wychodzi).
∫
B
d s
=
0
S
22.3 Przykładowe rozkłady pr ą dów
22.3.1 Pr ę t (przewodnik)
Na zewn ą trz pr ę ta ( r > R ) znamy ju Ŝ pole B .
B
=
2
0
I
p
r
I
Pole to jest takie jakby cały pr ą d płyn ą ł przez ś rodek pr ę ta
(analogie do rozkładu ładunków).
Je Ŝ eli chcemy obliczy ć pole wewn ą trz pr ę ta to wybieramy
kontur kołowy o r < R .
Wewn ą trz konturu przepływa pr ą d i b ę d ą cy tylko cz ęś ci ą
całkowitego pr ą du I
r
R
p
r
2
i
=
I
p
R
2
St ą d
B 2
p
r =
m
0 i
p
r
2
B
2
p =
r
m
I
0
p
R
2
Czyli
B
=
0
2 R
m
Ir
p
2
22-2
19146944.001.png 19146944.002.png 19146944.003.png 19146944.004.png 19146944.005.png 19146944.006.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22.3.2 Cewka (solenoid)
Solenoidem nazywamy cewk ę składaj ą c ą si ę z du Ŝ ej liczby zwojów. Linie pola
magnetycznego solenoidu s ą pokazane schematycznie na rysunku poni Ŝ ej. Jak wida ć
pole wewn ą trz solenoidu jest jednorodne, a na zewn ą trz praktycznie równe zeru.
Je Ŝ eli zwoje solenoidu stykaj ą si ę ze sob ą wówczas mo Ŝ emy rozpatrywa ć solenoid jako
układ poł ą czonych szeregowo pr ą dów kołowych (rysunek).
Do obliczenia pola wytwarzanego przez sole-
noid zastosujemy prawo Ampera, dla konturu
pokazanego na rysunku obok.
Całk ę ∫
c
a
b
B
B d przedstawimy jako sum ę czte-
rech całek
l
b
c
d
a
∫ ∫
B
d
l
=
B
d
l
+
∫
B
d
l
+
∫
B
d
l
+
∫
B
d
l
a
b
c
d
l . Trzecia całka jest te Ŝ równa zero ale to
dlatego, Ŝ e B = 0 na zewn ą trz solenoidu. Tak wi ę c niezerowa jest tylko całka pierwsza
i równa
^
b
∫
B d
l
=
B
h
a
gdzie h jest długo ś ci ą odcinka ab .
Teraz obliczmy pr ą d obejmowany przez kontur.
Je Ŝ eli cewka ma n zwojów na jednostk ę długo ś ci to wewn ą trz konturu jest nh zwojów
czyli całkowity pr ą d przez kontur wynosi:
I = I 0 nh
gdzie I 0 jest pr ą dem przepływaj ą cym przez cewk ę (przez pojedynczy zwój).
Z prawa Ampera otrzymujemy wi ę c:
22-3
d
Druga i czwarta całka s ą równe zeru bo B
19146944.007.png 19146944.008.png 19146944.009.png 19146944.010.png 19146944.011.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Bh =
m
0 I 0 nh
czyli
B = m 0 I 0 n
(22.4)
22.3.3 Dwa przewodniki równoległe
Dwa przewodniki równoległe umieszczone w odległo ś ci d . Płyn ą w nich pr ą dy I a
i I b odpowiednio.
a
b
Przewodnik a wytwarza w swoim otocze-
niu pole
B
=
2
0
I
a
a
p
d
l
F
W tym polu znajduje si ę przewodnik b , w
którym przepływa pr ą d I b . Na odcinek l
tego przewodnika działa siła
B a
F
=
I
lB
=
m 2
0
l
I
a
I
b
(22.5)
b
b
a
p
d
d
Zwrot siły wida ć na rysunku.
To rozumowanie mo Ŝ na "odwróci ć " za-
czynaj ą c od przewodnika b . Wynik jest ten sam.
Fakt oddziaływania przewodników równoległych wykorzystano przy definicji ampe-
ra. Załó Ŝ my, Ŝ e d = 1m oraz, Ŝ e I a = I b = I . Je Ŝ eli dobierzemy tak pr ą d aby siła przyci ą -
gania przewodników, na 1 m ich długo ś ci, wynosiła 2·10 -7 N to mówimy, Ŝ e nat ęŜ enie
pr ą du jest równe 1 amperowi .
i b
22.4 Prawo Biota-Savarta
Istnieje inne równanie, zwane prawem Biota-Savarta , które pozwala obliczy ć B
z rozkładu pr ą du. Oczywi ś cie to prawo i prawo Ampera musz ą by ć matematycznie rów-
nowa Ŝ ne. Prawo Ampera jest jednak "łatwe" w stosowaniu tylko gdy rozkłady pr ą dów
s ą na tyle symetryczne, Ŝ e obliczenie odpowiedniej całki nie jest trudne. Gdy rozkład
pr ą dów jest skomplikowany (nie znamy jego symetrii) to dzielimy pr ą dy na niesko ń cze-
nie małe elementy (rysunek) i stosuj ą c prawo Biota-Savarta obliczamy pole od takich
elementów, a nast ę pnie sumujemy je (całkujemy)
Ŝ eby uzyska ć wypadkowy wektor B .
Warto ść liczbowa d B zgodnie z prawem Biota-
Savarta wynosi
I
dl
q
d
B
=
m
0
I
d
l
sin
q
4
p
r
2
r
d B
a zapisane w postaci wektorowej
22-4
i a
19146944.012.png 19146944.013.png 19146944.014.png 19146944.015.png 19146944.016.png 19146944.017.png 19146944.018.png 19146944.019.png 19146944.020.png 19146944.021.png 19146944.022.png 19146944.023.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
d
B
=
m
0 d
4
I
l
´
r
(22.6)
p
r
3
Przykład 2
Obliczmy pole B na osi kołowego przewodnika z pr ą dem.
r
dB ^
dB
I
a
R
x
dB II
Z prawa B -S otrzymujemy
m
I
d
l
sin
90
o
d
B
=
0
4
p
r
2
oraz
d
B II
=
d
B
cos
a
Z tych równa ń otrzymujemy
d
B II
=
m
0
I
cos
a
d
l
4
p
r
2
Ponadto
r
=
R
2
+
x
2
oraz
cos
a
=
R
=
R
r
R
2
+
x
2
Podstawiaj ą c otrzymujemy
d
B II
=
m
0
+
IR
d
l
4
p
(
R
2
x
2
)
3
2
Zauwa Ŝ my, Ŝ e wielko ś ci I , R , x s ą takie same dla wszystkich elementów pr ą du.
Całkujemy, Ŝ eby obliczy ć B (wył ą czaj ą c stałe czynniki przed znak całki)
m
IR
m
IR
m
IR
2
B
= ∫
d
B
=
0
∫
d
l
=
0
(
p
R
)
=
0
II
p
(
R
2
+
x
2
)
3
2
4
p
(
R
2
+
x
2
)
3
2
2
R
2
+
x
2
)
3
2
Dla x >> R dostajemy
m
IR
2
B
=
0
2 x
3
22-5
2
4
19146944.024.png 19146944.025.png 19146944.026.png 19146944.027.png 19146944.028.png 19146944.029.png 19146944.030.png 19146944.031.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin