28 Interferencja.pdf

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 28

28.Interferencja

28.1 Do ś wiadczenie Younga

Na wykładzie dotycz ą cym fal w o ś rodkach spr ęŜ ystych omawiane było nakładanie

si ę fal . Wykazanie, przez Thomasa Younga (w 1801 r.) istnienia takiej interferencji dla

ś wiatła było pierwszym eksperymentem wskazuj ą cym na falowy charakter ś wiatła .

Young o ś wietlił ś wiatłem słonecznym ekran, w którym był zrobiony mały otwór S 0 .

Przechodz ą ce ś wiatło padało nast ę pnie na drugi ekran z dwoma otworami S 1 i S 2 i roz-

chodz ą si ę dalej dwie, nakładaj ą ce si ę fale kuliste tak jak na rysunku. Warunki stoso-

walno ś ci optyki geometrycznej nie s ą spełnione i na szczelinach nast ę puje ugi ę cie fal.

Mamy do czynienia z optyk ą falow ą . Je Ŝ eli umie ś cimy ekran w jakimkolwiek miejscu,

tak aby przecinał on nakładaj ą ce si ę na siebie fale to mo Ŝ emy oczekiwa ć pojawienia si ę

na nim ciemnych i jasnych plam nast ę puj ą cych po sobie kolejno.

S 1

S 0

S 2

Przeanalizujmy teraz do ś wiadczenie Younga ilo ś ciowo.

Zakładamy, Ŝ e ś wiatło padaj ą ce zawiera tylko jedn ą długo ść fali (jest monochromatycz-

ne). Na rysunku poni Ŝ ej punkt P jest dowolnym punktem na ekranie, odległym o r 1 i r 2

od w ą skich szczelin S 1 i S 2 .

Linia S 2 b została poprowadzona tak, aby PS 2 = Pb. Trzeba zwróci ć uwag ę , Ŝ e stosunek

d / D przedstawiony na rysunku jest dla wi ę kszej jasno ś ci przesadnie du Ŝ y. Naprawd ę

d << D i wtedy k ą t S 1 S 2 b jest równy

z du Ŝą dokładno ś ci ą .

28-1

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

r 2

r 1

S 2

S 1

Oba promienie wychodz ą ce ze szczelin S 1 i S 2 s ą zgodne w fazie, gdy Ŝ pochodz ą z tego

samego czoła fali płaskiej. Jednak drogi, po których docieraj ą do punktu P s ą ró Ŝ ne wi ę c

i ich fazy mog ą by ć ró Ŝ ne. Odcinki Pb i PS 2 s ą identyczne (tak to skonstruowali ś my)

wi ę c o ró Ŝ nicy faz decyduje ró Ŝ nica dróg optycznych tj. odcinek S 1 b. Aby w punkcie P

było maksimum to odcinek S 1 b musi zawiera ć całkowit ą liczb ę długo ś ci fal. Jest tak dla-

tego, Ŝ e po przebyciu odcinka równego

faza fali powtarza si ę wi ę c dla drogi m

S 1 b = m

, m = 0, 1, 2, ......,

lub

d sinq = m l, m = 0, 1, 2, ......, (maksima)

(28.1)

Zauwa Ŝ my, Ŝ e ka Ŝ demu maksimum powy Ŝ ej punktu O odpowiada poło Ŝ one symetrycz-

nie maksimum poni Ŝ ej punktu O. Istnieje te Ŝ centralne maksimum opisywane przez

m = 0.

Dla uzyskania minimum w punkcie P, odcinek S 1 b musi zawiera ć połówkow ą liczb ę

długo ś ci fal, to jest:

S 1 b = ( m +1/2)

, m = 0,1,2,....,

lub

d sin

= ( m +1/2)

, m = 0, 1, 2, ......, (minima)

inaczej

d sin

= (2 m +1)

/2, m = 0, 1, 2, ......, (minima)

(28.2)

28-2

fala

ma faz ę tak ą jak na pocz ą tku tej drogi; odcinek S 1 b nie wpływa na ró Ŝ nic ę faz a ponie-

wa Ŝ fale były zgodne w ź ródle (szczeliny S 1 i S 2 ) wi ę c b ę d ą zgodne w fazie w punkcie

P. Warunek ten mo Ŝ emy zapisa ć w postaci

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

= 546 nm. Jaka jest odległo ść mi ę dzy s ą siednimi pr ąŜ ka-

mi interferencyjnymi obserwowanymi na ekranie umieszczonym w odległo ś ci 1 m od

szczelin?

Najpierw sprawd ź my poło Ŝ enie k ą towe np. pierwszego maksimum.

Dla m = 1 otrzymujemy: d sin

sk ą d

sin

/ d = (546·10 -9 m)/(10 -3 m) = 0.000546

co daje

0.03

Dla tak małych k ą tów dobrym jest przybli Ŝ enie

sin

Z rysunku wida ć , Ŝ e tg

= y / D . Podstawiaj ą c to wyra Ŝ enie zamiast sin

w równaniu na

maksimum interferencyjne otrzymujemy dla m -tego pr ąŜ ka

y m

a dla nast ę pnego

y m

(

Odległo ść mi ę dzy nimi wynosi wi ę c

(

546

)

546

jest małe to odległo ść mi ę dzy pr ąŜ kami nie zale Ŝ y od m , czyli pr ąŜ ki s ą

rozmieszczone równomiernie. Je Ŝ eli mamy wi ę cej ni Ŝ jedn ą

to powstan ą oddzielne

układy pr ąŜ ków (dla ka Ŝ dej z długo ś ci fal) o ró Ŝ nym odst ę pie mi ę dzy pr ąŜ kami.

Równanie opisuj ą ce poło Ŝ enie k ą towe maksimów mo Ŝ e posłu Ŝ y ć do wyznaczenia dłu-

go ś ci fali

sin

Z tej relacji T. Young wyznaczył długo ś ci fal ś wiatła widzialnego.

28-3

Przykład 1

Dwie szczeliny odległe od siebie o 1 mm o ś wietlono ś wiatłem zielonym (linia zielona

lampy rt ę ciowej) o długo ś ci

Uwaga: Je Ŝ eli

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

28.2 Koherencja

Podstawowym warunkiem powstania dobrze okre ś lonego obrazu interferencyjnego

jest, aby fale ś wietlne które przybywaj ą z punktów S 1 i S 2 miały dokładnie okre ś lon ą

ró Ŝ nic ę faz

t )). Np. jest miejsce na

co oznacza fizycznie, Ŝ e fale docieraj ą ce tam

wygaszaj ą si ę (przy zało Ŝ eniu tej samej amplitudy); mamy ciemny pr ąŜ ek. I tak jest

zawsze o ile ró Ŝ nica faz si ę nie zmieni. Gdyby taka zmiana nast ą piła to w tym miejscu

nat ęŜ enie ś wiatła nie b ę dzie ju Ŝ równe zeru. Warunkiem stabilno ś ci obrazu jest wi ę c

stało ść w czasie ró Ŝ nicy faz fal wychodz ą cych ze ź ródeł S 1 i S 2 . Mówimy, Ŝ e te ź ródła

s ą koherentne czyli spójne .

Je Ŝ eli szczeliny S 1 i S 2 zast ą pimy przez dwa niezale Ŝ ne ź ródła fal (np. Ŝ arówki) to nie

otrzymamy pr ąŜ ków interferencyjnych, ekran b ę dzie o ś wietlony prawie równomiernie.

Interpretujemy to w ten sposób, Ŝ e ró Ŝ nica faz dla fal pochodz ą cych z niezale Ŝ nych ź ró-

deł zmienia si ę w czasie w sposób nieuporz ą dkowany.

W krótkim czasie s ą spełnione warunki dla maksimum, a za chwile (b. krótk ą np. 10 -8 s)

dla minimum, a jeszcze za chwil ę warunki po ś rednie. I tak dla ka Ŝ dego punktu na ekra-

nie. Nat ęŜ enie (w danym punkcie) jest wi ę c sum ą nat ęŜ e ń od poszczególnych ź ródeł.

Mówimy, Ŝ e te ź ródła s ą niespójne , niekoherentne .

Podsumujmy wi ę c podstawow ą ró Ŝ nic ę w opisie, podyktowan ą oczywi ś cie przez fakty

do ś wiadczalne :

dla fal spójnych najpierw dodajemy amplitudy (uwzgl ę dniaj ą c stała ró Ŝ nic ę faz),

a potem celem obliczenia nat ęŜ enia podnosimy otrzyman ą amplitud ę wypadkow ą do

kwadratu (przypomnienie dla ruchu harmonicznego: Energia

A 2 ).

dla fal niespójnych najpierw podnosimy do kwadratu amplitudy, Ŝ eby otrzyma ć na-

t ęŜ enia poszczególnych fal a potem dopiero sumujemy te nat ęŜ enia.

Pozostaje jedynie pytanie jak wytworzy ć ś wiatło spójne. Na tym etapie zapami ę tajmy

tylko, Ŝ e zwykłe ź ródła ś wiatła takie jak Ŝ arówki ( Ŝ arz ą ce si ę włókno) daj ą ś wiatło nie-

spójne dlatego, Ŝ e emituj ą ce atomy działaj ą zupełnie niezale Ŝ nie. Natomiast współcze-

ś nie szeroko stosowanymi ź ródłami ś wiatła spójnego s ą lasery .

Szczegóły dotycz ą ce emisji ś wiatła przez lasery jak i zasad ę działania lasera poznamy

na dalszych wykładach.

28.3 Nat ęŜ enie w do ś wiadczeniu Younga

Załó Ŝ my, Ŝ e składowe pola elektrycznego obu fal w punkcie P zmieniaj ą si ę nast ę puj ą co

E 1 = E 0 sin

E 2 = E 0 sin(

)

gdzie

= 2

v jest cz ę sto ś ci ą kołow ą fal, a

ró Ŝ nic ą faz mi ę dzy nimi.

zale Ŝ y od poło Ŝ enia punktu P a tym samym od k ą ta

załó Ŝ my natomiast, Ŝ e E 0 nie zale Ŝ y od

(szczeliny s ą dostatecznie w ą skie, tak Ŝ e

ś wiatło ugi ę te na ka Ŝ dej ze szczelin o ś wietla ś rodkow ą cz ęść ekranu równomiernie)

28-4

stał ą w czasie . (Przypomnienie: faza jako okre ś lony stan fali w danym

miejscu i czasie, patrz równanie opisuj ą ce fal ę E = E m sin( kx-

ekranie, dla którego ró Ŝ nica faz wynosi

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wynika st ą d, Ŝ e wypadkowe pole elektryczne w punkcie P jest równe

E = E 1 + E 2

Uwaga: Mówimy o polu E , a nie polu B (fali EM) poniewa Ŝ działanie tego drugiego na

detektory ś wiatła (w tym oko ludzkie) jest znikome. Równanie powy Ŝ sze powinno by ć

wektorowe ale w tych przypadkach wektory E s ą do siebie równoległe wi ę c wystarczy

równanie algebraiczne.

Podstawiaj ą c równania dla obu fal obliczamy pole wypadkowe

E = E 0 sin(

) + E 0 sin

t = 2 E 0 cos(

/2) sin(

/2)

lub

E = E q sin(

t +

)

Teraz chcemy obliczy ć nat ęŜ enie fali wypadkowej

/2 oraz E q = 2 E 0 cos

I q

E q

Obliczmy stosunek nat ęŜ e ń dwu fal: fali wypadkowej i fali pojedynczej

= E

czyli

cos

(28.3)

Nat ęŜ enie zmienia si ę od zera (dla punktów, w których

= 2

) do maksymalnego

= 0).

Ró Ŝ nica faz wi ąŜ e si ę z ró Ŝ nic ą dróg S 1 b poprzez prost ą relacj ę

= 2

ró Ŝ nica faz/2

= ró Ŝ nica dróg/

(28.4)

czyli

sin

St ą d

(

sin

)

lub

sin

Narysujmy teraz rozkład nat ęŜ e ń dla interferencji przy dwóch szczelinach (rysunek po-

ni Ŝ ej) porównuj ą c z wynikiem dla pojedynczego ź ródła jak i dla ź ródeł niespójnych.

28-5

gdzie

(dla punktów, w których

Poprzez to równanie mamy zale Ŝ no ść nat ęŜ enia od k ą ta

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: