22 Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna.pdf
(
90 KB
)
Pobierz
22 Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 22
22.Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna
22.1
Prawo Ampera
Chcemy teraz znale
źć
pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie wyst
ę
puj
ą
-
ce rozkłady pr
ą
dów, takich jak przewodniki prostoliniowe, cewki itd.
Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysuj
ą
c
tzw.
linie pola magnetycznego
czyli linie wektora indukcji
magnetycznej. Na rysunku pokazane s
ą
linie pola magne-
tycznego wokół prostoliniowego przewodnika z pr
ą
dem.
Wektor
B
jest styczny do tych linii pola w ka
Ŝ
dym punk-
cie.
Linie pola
B
wytwarzanego przez przewodnik s
ą
za-
mkni
ę
tymi
współ
ś
rodkowymi okr
ę
gami w płaszczy
ź
nie
prostopadłej do przewodnika
. To,
Ŝ
e linie pola B s
ą
za-
mkni
ę
te stanowi fundamentaln
ą
ró
Ŝ
nic
ę
mi
ę
dzy polem
magnetycznym i elektrycznym, którego linie zaczynaj
ą
si
ę
i ko
ń
cz
ą
na ładunkach.
Zwrot wektora indukcji
B
wokół przewodnika wyzna-
czamy stosuj
ą
c nast
ę
puj
ą
c
ą
zasad
ę
:
Je
ś
li kciuk prawej r
ę
ki
wskazuje kierunek pr
ą
du I, to zgi
ę
te palce wskazuj
ą
kie-
runek B
(linie pola B kr
ąŜą
wokół pr
ą
du).
ś
eby obliczy
ć
pole
B
potrzeba nam "magnetycznego" odpowiednika prawa Gaussa.
Zwi
ą
zek mi
ę
dzy pr
ą
dem i polem
B
jest wyra
Ŝ
ony poprzez
prawo Ampera
.
Zamiast sumowania (całki)
E
po zamkni
ę
tej powierzchni, w prawie Ampera sumujemy
(całkujemy) po zamkni
ę
tym konturze (całk
ę
krzywoliniow
ą
). Taka całka dla pola
E
równała si
ę
wypadkowemu ładunkowi wewn
ą
trz powierzchni, a w przypadku pola
B
jest równa całkowitemu pr
ą
dowi otoczonemu przez kontur, co zapisujemy
∫
B
d
l
=
m
0
I
(22.1)
·
10
-7
Tm/A, jest
przenikalno
ś
ci
ą
magnetyczn
ą
pró
Ŝ
ni
. Tak jak w przypad-
ku prawa Gaussa wynik był prawdziwy dla dowolnej powierzchni zamkni
ę
tej tak dla
prawa Ampera wynik nie zale
Ŝ
y od kształtu konturu zamkni
ę
tego
Przykład 1
Obliczmy pole wokół niesko
ń
czenie długiego prostoliniowego
przewodnika w odległo
ś
ci
r
od niego. Z prawa Ampera wynika,
Ŝ
e dla konturu kołowego (rysunek obok)
m
0
= 4
p
I
B
2
r
=
m
0
I
r
St
ą
d
22-1
gdzie
p
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
B
=
2
0
I
(22.2)
p
r
22.2
Strumie
ń
magnetyczny
Tak jak liczyli
ś
my strumie
ń
dla pola
E
(liczb
ę
linii przechodz
ą
cych przez po-
wierzchni
ę
S
) tak te
Ŝ
obliczamy strumie
ń
pola
B
f
B
=
S
∫
B
d
s
(22.3)
Poniewa
Ŝ
linie pola
B
s
ą
zamkni
ę
te wi
ę
c strumie
ń
przez zamkni
ę
t
ą
powierzchni
ę
musi
by
ć
równy zeru
(tyle samo linii wchodzi co wychodzi).
∫
B
d
s
=
0
S
22.3
Przykładowe rozkłady pr
ą
dów
22.3.1
Pr
ę
t (przewodnik)
Na zewn
ą
trz pr
ę
ta (
r
>
R
) znamy ju
Ŝ
pole
B
.
B
=
2
0
I
p
r
I
Pole to jest takie jakby cały pr
ą
d płyn
ą
ł przez
ś
rodek pr
ę
ta
(analogie do rozkładu ładunków).
Je
Ŝ
eli chcemy obliczy
ć
pole wewn
ą
trz pr
ę
ta to wybieramy
kontur kołowy o
r
<
R
.
Wewn
ą
trz konturu przepływa pr
ą
d
i
b
ę
d
ą
cy tylko cz
ęś
ci
ą
całkowitego pr
ą
du
I
r
R
p
r
2
i
=
I
p
R
2
St
ą
d
B
2
p
r
=
m
0
i
p
r
2
B
2
p =
r
m
I
0
p
R
2
Czyli
B
=
0
2
R
m
Ir
p
2
22-2
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
22.3.2
Cewka (solenoid)
Solenoidem
nazywamy cewk
ę
składaj
ą
c
ą
si
ę
z du
Ŝ
ej liczby zwojów. Linie pola
magnetycznego solenoidu s
ą
pokazane schematycznie na rysunku poni
Ŝ
ej. Jak wida
ć
pole wewn
ą
trz solenoidu jest jednorodne, a na zewn
ą
trz praktycznie równe zeru.
Je
Ŝ
eli zwoje solenoidu stykaj
ą
si
ę
ze sob
ą
wówczas mo
Ŝ
emy rozpatrywa
ć
solenoid jako
układ poł
ą
czonych szeregowo pr
ą
dów kołowych (rysunek).
Do obliczenia pola wytwarzanego przez sole-
noid zastosujemy prawo Ampera, dla konturu
pokazanego na rysunku obok.
Całk
ę
∫
c
a
b
B
B
d przedstawimy jako sum
ę
czte-
rech całek
l
b
c
d
a
∫ ∫
B
d
l
=
B
d
l
+
∫
B
d
l
+
∫
B
d
l
+
∫
B
d
l
a
b
c
d
l
. Trzecia całka jest te
Ŝ
równa zero ale to
dlatego,
Ŝ
e
B
= 0 na zewn
ą
trz solenoidu. Tak wi
ę
c niezerowa jest tylko całka pierwsza
i równa
^
b
∫
B
d
l
=
B
h
a
gdzie
h
jest długo
ś
ci
ą
odcinka
ab
.
Teraz obliczmy pr
ą
d obejmowany przez kontur.
Je
Ŝ
eli cewka ma
n
zwojów na jednostk
ę
długo
ś
ci to wewn
ą
trz konturu jest
nh
zwojów
czyli całkowity pr
ą
d przez kontur wynosi:
I
=
I
0
nh
gdzie
I
0
jest pr
ą
dem przepływaj
ą
cym przez cewk
ę
(przez pojedynczy zwój).
Z prawa Ampera otrzymujemy wi
ę
c:
22-3
d
Druga i czwarta całka s
ą
równe zeru bo
B
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Bh
=
m
0
I
0
nh
czyli
B
= m
0
I
0
n
(22.4)
22.3.3
Dwa przewodniki równoległe
Dwa przewodniki równoległe umieszczone w odległo
ś
ci
d
. Płyn
ą
w nich pr
ą
dy
I
a
i
I
b
odpowiednio.
a
b
Przewodnik
a
wytwarza w swoim otocze-
niu pole
B
=
2
0
I
a
a
p
d
l
F
W tym polu znajduje si
ę
przewodnik
b
, w
którym przepływa pr
ą
d
I
b
. Na odcinek
l
tego przewodnika działa siła
B
a
F
=
I
lB
=
m
2
0
l
I
a
I
b
(22.5)
b
b
a
p
d
d
Zwrot siły wida
ć
na rysunku.
To rozumowanie mo
Ŝ
na "odwróci
ć
" za-
czynaj
ą
c od przewodnika
b
. Wynik jest ten sam.
Fakt oddziaływania przewodników równoległych wykorzystano przy definicji ampe-
ra. Załó
Ŝ
my,
Ŝ
e
d
= 1m oraz,
Ŝ
e
I
a
= I
b
= I
. Je
Ŝ
eli dobierzemy tak pr
ą
d aby siła przyci
ą
-
gania przewodników, na 1 m ich długo
ś
ci, wynosiła 2·10
-7
N to mówimy,
Ŝ
e nat
ęŜ
enie
pr
ą
du jest równe
1 amperowi
.
i
b
22.4
Prawo Biota-Savarta
Istnieje inne równanie, zwane
prawem Biota-Savarta
, które pozwala obliczy
ć
B
z rozkładu pr
ą
du. Oczywi
ś
cie to prawo i prawo Ampera musz
ą
by
ć
matematycznie rów-
nowa
Ŝ
ne. Prawo Ampera jest jednak "łatwe" w stosowaniu tylko gdy rozkłady pr
ą
dów
s
ą
na tyle symetryczne,
Ŝ
e obliczenie odpowiedniej całki nie jest trudne. Gdy rozkład
pr
ą
dów jest skomplikowany (nie znamy jego symetrii) to dzielimy pr
ą
dy na niesko
ń
cze-
nie małe elementy (rysunek) i stosuj
ą
c prawo Biota-Savarta obliczamy pole od takich
elementów, a nast
ę
pnie sumujemy je (całkujemy)
Ŝ
eby uzyska
ć
wypadkowy wektor
B
.
Warto
ść
liczbowa d
B
zgodnie z prawem Biota-
Savarta wynosi
I
dl
q
d
B
=
m
0
I
d
l
sin
q
4
p
r
2
r
d
B
a zapisane w postaci wektorowej
22-4
i
a
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
d
B
=
m
0
d
4
I
l
´
r
(22.6)
p
r
3
Przykład 2
Obliczmy pole
B
na osi kołowego przewodnika z pr
ą
dem.
r
dB
^
dB
I
a
R
x
dB
II
Z prawa B -S otrzymujemy
m
I
d
l
sin
90
o
d
B
=
0
4
p
r
2
oraz
d
B
II
=
d
B
cos
a
Z tych równa
ń
otrzymujemy
d
B
II
=
m
0
I
cos
a
d
l
4
p
r
2
Ponadto
r
=
R
2
+
x
2
oraz
cos
a
=
R
=
R
r
R
2
+
x
2
Podstawiaj
ą
c otrzymujemy
d
B
II
=
m
0
+
IR
d
l
4
p
(
R
2
x
2
)
3
2
Zauwa
Ŝ
my,
Ŝ
e wielko
ś
ci
I
,
R
,
x
s
ą
takie same dla wszystkich elementów pr
ą
du.
Całkujemy,
Ŝ
eby obliczy
ć
B
(wył
ą
czaj
ą
c stałe czynniki przed znak całki)
m
IR
m
IR
m
IR
2
B
=
∫
d
B
=
0
∫
d
l
=
0
(
p
R
)
=
0
II
p
(
R
2
+
x
2
)
3
2
4
p
(
R
2
+
x
2
)
3
2
2
R
2
+
x
2
)
3
2
Dla
x
>>
R
dostajemy
m
IR
2
B
=
0
2
x
3
22-5
2
4
Plik z chomika:
sliwak
Inne pliki z tego folderu:
00 Spis treści.pdf
(53 KB)
01 Wprowadzenie.pdf
(74 KB)
02 Ruch jednowymiarowy.pdf
(68 KB)
03 Ruch na płaszczyźnie.pdf
(74 KB)
04 Dynamika punktu materialnego I.pdf
(59 KB)
Inne foldery tego chomika:
Animacje i symulacje do różnych działów fizyki
Arkusz maturalne
Arkusze matur
arkusze maturalne 2005-2011
Arkusze przykładowe
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin