16 Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I.pdf
(
84 KB
)
Pobierz
16 Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 16
16.
Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I
16.1
Prawo gazów doskonałych
obj
ę
to
ść
cz
ą
steczek gazu jest o wiele mniejsza ni
Ŝ
obj
ę
to
ść
zajmowana przez gaz,
·
zasi
ę
g sił działaj
ą
cych mi
ę
dzy dwoma cz
ą
stkami jest o wiele mniejszy ni
Ŝ
ś
rednia
odległo
ść
mi
ę
dzycz
ą
steczkowa.
W wyprowadzeniu prawa gazów doskonałych b
ę
dziemy traktowa
ć
cz
ą
steczki gazu jako
N
małych, twardych kulek zamkni
ę
tych w pudełku o obj
ę
to
ś
ci
V
. Kulki s
ą
twarde tzn.
b
ę
d
ą
zderzały si
ę
spr
ęŜ
y
ś
cie ze
ś
ciankami naczynia. Rozwa
Ŝ
my jedn
ą
cz
ą
steczk
ę
, która
zderza si
ę
z lew
ą
ś
ciank
ą
naczynia (rysunek).
Ś
rednia siła jak
ą
cz
ą
steczka wywiera na
ś
ciank
ę
w czasie
D
t
wynosi
F
=
d
p
x
d
t
y
Zmiana p
ę
du spowodowana zderzeniem ze
ś
ciank
ą
wynosi
v
x
D
p
x
=
m
v
x
- ( -
m
v
x
) = 2
m
v
x
-v
x
Poniewa
Ŝ
czas pomi
ę
dzy kolejnymi zderze-
niami z t
ą
ś
ciank
ą
wynosi
x
D
t
= 2
l
/
v
x
gdzie
l
jest odległo
ś
ci
ą
mi
ę
dzy
ś
ciankami, to
(
2
m
v
)
m
v
2
F
=
x
=
x
2
l
l
v
x
jest
ś
redni
ą
sił
ą
działaj
ą
c
ą
na
ś
ciank
ę
(na jedn
ą
cz
ą
stk
ę
).
Dla
N
cz
ą
stek całkowita siła wynosi
m
v
2
F
=
N
x
l
v
u
ś
rednione po wszystkich cz
ą
steczkach (
ś
rednia kwadratu). Dziel
ą
c
obie strony równania przez pole powierzchni
ś
cianki
S
otrzymujemy ci
ś
nienie
v
jest to
2
x
16-1
Gaz doskonały:
·
gdzie
2
x
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
m
v
2
m
v
2
P
=
N
x
=
N
x
Sl
V
czyli
pV
v
=
Nm
2
x
(16.1)
Jak wida
ć
iloczyn
pV
jest stały tak długo jak długo jest stała energia kinetyczna cz
ą
stek
(prawo Boyle'a - Mariotta).
Zauwa
Ŝ
my,
Ŝ
e
v
2
=
v
x
v
+
v
2
+
2
y
z
Ponadto, poniewa
Ŝ
cz
ą
stki zderzaj
ą
si
ę
w taki sam sposób ze wszystkimi sze
ś
cioma
ś
ciankami naczynia wi
ę
c
v
x
v
=
v
2
=
2
y
z
wi
ę
c
v
2
v
2
=
3
v
x
czyli
,
v
2
=
x
3
Teraz otrzymujemy równanie wyra
Ŝ
one przez
v
a nie przez
v
x
v
2
pV
=
Nm
(16.2)
3
Poniewa
Ŝ
Nm
=
M
(masa gazu), oraz
M
/
V
= r wi
ę
c równanie powy
Ŝ
sze mo
Ŝ
na przepi-
sa
ć
w postaci
v
2
3
p
p
=
r
,
czyli
v
=
v
2
=
(16.3)
3
sr
.
kw
.
r
16.2
Temperatura
Zdefiniujmy temperatur
ę
bezwzgl
ę
dn
ą
jako wielko
ść
wprost proporcjonaln
ą
do
ś
redniej energii kinetycznej cz
ą
stek
2
m
2
T
=
(16.4)
3
k
2
gdzie
k
jest
sta
ł
ą
Boltzmana
k
= 1.38·10
-23
J/K.
Eliminuj
ą
c
v
z równa
ń
(16.2) i (16.4) otrzymujemy
pV = NkT
16-2
2
2
2
2
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
lub
pV = nRT
(16.5)
gdzie
n
jest liczb
ą
moli (
R
=
kN
AV
). Przypomnijmy,
Ŝ
e stała Avogadra
N
A
v
= 6.023·10
23
1/mol, okre
ś
la liczb
ę
cz
ą
steczek w jednym molu.
Wyra
Ŝ
enie (16.5) przedstawia
równanie stanu gazu doskonałego
.
Równanie stanu gazu doskonałego zostało sformułowane w XIX w. przez Clapeyro-
na na podstawie trzech praw empirycznych odkrytych wcze
ś
niej przez innych badaczy:
·
Prawo Charlesa mówi,
Ŝ
e przy stałej obj
ę
to
ś
ci gazu stosunek ci
ś
nienia i temperatury
danej masy gazu jest stały
p
/
T
= const.
Prawo Gay-Lussaca stwierdza,
Ŝ
e dla stałego ci
ś
nienia stosunek obj
ę
to
ś
ci do tempe-
ratury danej masy gazu jest stały
V
/
T
= const.
16.2.1
Termometry
Aby zmierzy
ć
temperatur
ę
trzeba wyznaczy
ć
energi
ę
kinetyczn
ą
cz
ą
steczek gazu co jest
bardzo trudne. Ale mo
Ŝ
emy si
ę
posłu
Ŝ
y
ć
równaniem stanu gazu doskonałego. Łatwo
jest zmierzy
ć
iloczyn
pV
np. dla układu o stałym ci
ś
nieniu.
16.3
Ekwipartycja energii
16.3.1
Zerowa zasada termodynamiki
Je
Ŝ
eli dwa ciała o ró
Ŝ
nych temperaturach zetkniemy ze sob
ą
(i odizolujemy od in-
nych) to po dostatecznie długim czasie ich temperatury wyrównaj
ą
si
ę
. Powiemy,
Ŝ
e te
ciała s
ą
w
równowadze termicznej
ze sob
ą
.
Je
Ŝ
eli ciała 1 i 2 s
ą
w równowadze termicznej i ciała 2 i 3 s
ą
w równowadze termicznej
to ciała 1 i 3 s
ą
w tej samej równowadze termicznej
.
To jest zerowa zasada termodynamiki
. Z zasad dynamiki Newtona mo
Ŝ
na pokaza
ć
,
Ŝ
e
ś
rednie energie kinetyczne ruchu post
ę
powego (na cz
ą
steczk
ę
) dla dwu kontaktuj
ą
cych
si
ę
gazów s
ą
równe.
16.3.2
Ekwipartycja energii
Wiemy ju
Ŝ
,
Ŝ
e w równowadze termodynamicznej energie kinetyczne ruchu post
ę
-
powego wszystkich cz
ą
steczek s
ą
równe. Ale co z ruchem obrotowym i drganiami? Czy
cz
ą
steczka mo
Ŝ
e gromadzi
ć
energi
ę
w innej postaci ni
Ŝ
energia ruchu post
ę
powego?
Je
Ŝ
eli tylko cz
ą
stka nie ma kształtu kuli (1 atomowa) a ma pewn
ą
struktur
ę
wewn
ę
trzn
ą
to mo
Ŝ
e wirowa
ć
i drga
ć
. Np. dwuatomowa w kształcie hantli zacznie si
ę
obraca
ć
po
zderzeniu. Na podstawie mechaniki statystycznej mo
Ŝ
na pokaza
ć
,
Ŝ
e
gdy liczba punk-
tów materialnych jest bardzo du
Ŝ
a i obowi
ą
zuje mechanika Newtonowska to dost
ę
pna
energia rozkłada si
ę
w równych porcjach na wszystkie niezale
Ŝ
ne sposoby, w jakie cz
ą
-
steczka mo
Ŝ
e j
ą
absorbowa
ć
.
Ka
Ŝ
dy z tych sposobów absorpcji energii nazywa si
ę
stop-
niem swobody
i jest równy liczbie niezale
Ŝ
nych współrz
ę
dnych potrzebnych do okre
ś
le-
nie poło
Ŝ
enia ciała w przestrzeni.
16-3
Prawo Boyle'a-Mariotte'a stwierdza,
Ŝ
e w stałej temperaturze iloczyn ci
ś
nienia i ob-
j
ę
to
ś
ci danej masy gazu jest stały
pV
= const.
·
·
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Innymi słowy:
ś
rednia energia kinetyczna na ka
Ŝ
dy stopie
ń
swobody jest taka sama dla
wszystkich cz
ą
steczek
. Ten wynik nazywamy zasad
ą
ekwipartycji energii
.
Ś
rednia energia kinetyczna ruchu post
ę
powego (z równania definiuj
ą
cego
T
) wynosi
1
m
2
=
3
kT
2
2
Odpowiada to trzem stopniom swobody (współrz
ę
dne
x
,
y
,
z
). St
ą
d
ś
rednia energia na
stopie
ń
swobody wynosi
(1/2)
kT
na cz
ą
steczk
ę
(
zale
Ŝ
y tylko od
T
).
Dla cz
ą
stek obracaj
ą
cych si
ę
potrzeba 3 dodatkowych współrz
ę
dnych do opisania ruchu
(obrót wzgl
ę
dem trzech osi) wi
ę
c mamy dodatkowe 3 stopnie swobody.
O ile dla
N
cz
ą
steczek nie obracaj
ą
cych si
ę
całkowita energia (wewn
ę
trzna)
U
b
ę
dzie
energi
ą
kinetyczn
ą
ruchu post
ę
powego
U
= 3/2(
NkT
) to dla cz
ą
stek, które mog
ą
obraca
ć
si
ę
swobodnie we wszystkich kierunkach (wieloatomowe)
U
= (3/2)(
NkT
) + (3/2)(
NkT
) = 3
NkT
Natomiast dla cz
ą
stki dwuatomowej (gładkiej)
U
= 3/2(
NkT
) + (2/2)(
NkT
) = (5/2)(
NkT
)
bo nie ma obrotu wokół osi hantli.
Zwró
ć
my uwag
ę
,
Ŝ
e mówimy tu o energii "ukrytej" (wewn
ę
trznej) cz
ą
stek a nie o ener-
gii makroskopowej (zwi
ą
zanej z ruchem masy). O tej energii mówili
ś
my przy zasadzie
zachowania energii (energia indywidualnych cz
ą
stek nie zawarta w energii kinetycznej
czy potencjalnej ciała jako cało
ś
ci). Energi
ę
wewn
ę
trzn
ą
oznacza si
ę
zazwyczaj przez
U
i takie oznaczenie b
ę
dziemy dalej stosowa
ć
.
16.4
Pierwsza zasada termodynamiki
To jest po prostu inna wersja zasady zachowania energii, w której mamy rozdzielon
ą
energi
ę
ciała na cz
ęść
makroskopow
ą
i mikroskopow
ą
. Makroskopowa to energia ruchu
masy (energia mechaniczna). Mikroskopowa to "ukryta" energia cz
ą
stek (energia we-
wn
ę
trzna).
Gdy dwa układy (ciała) o ró
Ŝ
nych temperaturach zetkniemy ze sob
ą
to ciepło
D
D
Q
=
D
U
+
D
W
(16.6a)
To jest sformułowanie
I zasady termodynamiki
.
Zasada ta pracuje "w obie strony" tzn., gdy nad układem zostanie wykonana praca to
układ mo
Ŝ
e oddawa
ć
ciepło. To równanie bardzo cz
ę
sto przybiera posta
ć
d
U
= d
Q
– d
W
(16.6b)
16-4
v
Q
przepływa z ciała cieplejszego do chłodniejszego. Zgodnie z zasad
ą
zachowania energii,
ciepło pobrane przez układ musi by
ć
równe wzrostowi energii wewn
ę
trznej układu plus
pracy wykonanej przez układ nad otoczeniem zewn
ę
trznym czyli
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Je
Ŝ
eli rozpatrujemy układ jak na rysunku obok to
V
S
d
W
=
F
d
l
= (
F
/
S
)(
S
d
l
) =
p
d
V
(16.7)
F
i wtedy
dl
d
U
= d
Q
–
p
d
V
16.5
Ciepło wła
ś
ciwe
Ciepło wła
ś
ciwe definiujemy jako
d
Q
/d
T
na gram lub mol substancji
(ciepło wago-
we lub molowe).
16.5.1
Ciepło wła
ś
ciwe przy stałej obj
ę
to
ś
ci
Poniewa
Ŝ
d
V
= 0 wi
ę
c d
U
= d
Q
a st
ą
d
c
v
= d
Q
/d
T
= d
U
/d
T
Dla gazu jednoatomowego (dla jednego mola)
U
= (3/2)
N
AV
kT
= (3/2)
RT
.
Zatem
c
v
= (3/2)
R
Dla cz
ą
steczki dwuatomowej spodziewamy si
ę
wi
ę
c
c
v
= (5/2)
R
a dla wieloatomowej
c
v
= 3
R
Niedoskonało
ś
ci
ą
modelu opartego na mechanice klasycznej jest to,
Ŝ
e przewiduje cie-
pło wła
ś
ciwe niezale
Ŝ
ne od temperatury, a badania pokazuj
ą
,
Ŝ
e jest to prawdziwe tylko
dla gazów jednoatomowych. Dla pozostałych
c
v
ro
ś
nie z temperatur
ą
.
Na rysunku poni
Ŝ
ej przedstawiono
c
V
dla wodoru (H
2
) w funkcji temperatury (w skali
logarytmicznej).
8
(7/2) R
6
(5/2) R
4
(3/2) R
2
10
100
1000
10000
Temperatra (K)
16-5
Plik z chomika:
sliwak
Inne pliki z tego folderu:
00 Spis treści.pdf
(53 KB)
01 Wprowadzenie.pdf
(74 KB)
02 Ruch jednowymiarowy.pdf
(68 KB)
03 Ruch na płaszczyźnie.pdf
(74 KB)
04 Dynamika punktu materialnego I.pdf
(59 KB)
Inne foldery tego chomika:
Animacje i symulacje do różnych działów fizyki
Arkusz maturalne
Arkusze matur
arkusze maturalne 2005-2011
Arkusze przykładowe
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin