15 Fale w ośrodkach sprężystych.pdf
(
128 KB
)
Pobierz
15 Fale w oœrodkach sprê¿ystych
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 15
15.
Fale w o
ś
rodkach spr
ęŜ
ystych
15.1
Fale mechaniczne
Fale powstaj
ą
ce w o
ś
rodkach spr
ęŜ
ystych (np. fale d
ź
wi
ę
kowe) nazywamy
falami me-
chanicznymi
. Powstaj
ą
w wyniku wychylenia jakiego
ś
fragmentu o
ś
rodka z poło
Ŝ
enia
równowagi co w nast
ę
pstwie powoduje drgania fragmentu wokół tego poło
Ŝ
enia. Drga-
nia te (dzi
ę
ki wła
ś
ciwo
ś
ciom spr
ęŜ
ystym o
ś
rodka) s
ą
przekazywane na kolejne cz
ęś
ci
o
ś
rodka. Sam o
ś
rodek nie przesuwa si
ę
a jedynie jego elementy wykonuj
ą
drgania w
ograniczonych obszarach przestrzeni. Np. fale na powierzchni wody: przedmioty pły-
waj
ą
ce wykonuj
ą
ruch drgaj
ą
cy natomiast same fale poruszaj
ą
si
ę
ruchem jednostaj-
nym. Fala dobiegaj
ą
ce do danego przedmiotu wprawiaj
ą
go w ruch drgaj
ą
cy przekazu-
j
ą
c mu energi
ę
. Mo
Ŝ
na za pomoc
ą
fal przekazywa
ć
wi
ę
c energi
ę
na du
Ŝ
e odległo
ś
ci.
Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cz
ą
stek o
ś
rodka.
Cech
ą
charakterystyczn
ą
fal jest to,
Ŝ
e przenosz
ą
energi
ę
poprzez materi
ę
dzi
ę
ki prze-
suwaniu si
ę
zaburzenia w materii a nie dzi
ę
ki ruchowi post
ę
powemu samej materii
.
Do rozchodzenia si
ę
fal mechanicznych
potrzebny jest o
ś
rodek
. To wła
ś
ciwo
ś
ci spr
ęŜ
y-
ste o
ś
rodka decyduj
ą
o pr
ę
dko
ś
ci rozchodzenia si
ę
fali.
Ze wzgl
ę
du na kierunek drga
ń
cz
ą
stek wzgl
ę
dem kierunku rozchodzenia si
ę
fali
·
fale podłu
Ŝ
ne (np. spr
ęŜ
yna, głos)
Ze wzgl
ę
du na czoło fali (powierzchnia ł
ą
cz
ą
ca punkty o jednakowych zaburzeniach w
danej chwili) wyró
Ŝ
niamy
·
fale płaskie (w jednym kierunku)
·
fale kuliste
15.2
Fale rozchodz
ą
ce si
ę
w przestrzeni
Rozwa
Ŝ
my długi sznur naci
ą
gni
ę
ty w kierunku
x
, wzdłu
Ŝ
którego biegnie fala po-
przeczna. W dowolnej chwili np.
t
= 0 kształt sznura mo
Ŝ
na opisa
ć
funkcj
ą
y
= f(
x
),
t
= 0
y
– przemieszczenie cz
ą
steczek sznura sznura.
W miar
ę
upływu czasu fala biegnie wzdłu
Ŝ
sznura bez zmiany kształtu. Po czasie
t
fala
przesuwa si
ę
o
v
t
w prawo (
v
- pr
ę
dko
ść
fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma
posta
ć
y
= f(
x -
v
t
),
t
Oznacza to,
Ŝ
e w chwili
t
w punkcie
x
=
v
t
, kształt jest taki sam jak w chwili
t
= 0
w punkcie
x
= 0. Mamy wi
ę
c równanie fali tylko trzeba okre
ś
li
ć
funkcj
ę
f.
Je
Ŝ
eli
ś
ledzimy wybran
ą
cz
ęść
fali (czyli okre
ś
lon
ą
faz
ę
) to musimy zbada
ć
jak zmienia
si
ę
w czasie okre
ś
lona warto
ść
y (np. maksimum - amplituda). Chcemy
Ŝ
eby
y
było cały
15-1
fale poprzeczne (np. lina)
·
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
czas takie samo, wi
ę
c argument
x -
v
t
musi by
ć
taki sam, a to oznacza,
Ŝ
e gdy czas ro-
ś
nie to musi te
Ŝ
rosn
ąć
x
(czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma wi
ę
c równanie
y
= f(
x+
v
t
).
Podsumowuj
ą
c, dla wybranej
fazy
mamy
x -
v
t
= const.
Ró
Ŝ
niczkuj
ą
c wzgl
ę
dem czasu otrzymujemy
d
x
-
v
=
0
d
t
czyli
d
x
=
v
d
t
To jest
pr
ę
dko
ść
fazowa
. Zauwa
Ŝ
my,
Ŝ
e dla danego
t
mamy równanie f(
x
), a dla danego
miejsca sznura
x
mamy równanie f(
t
).
Rozwa
Ŝ
my teraz fale o szczególnym kształcie. Załó
Ŝ
my,
Ŝ
e w chwili
t
= 0 kształt sznura
jest opisany funkcj
ą
y
=
A
sin
2
p
x
l
gdzie
A
jest maksymalnym wychyleniem. Zauwa
Ŝ
my,
Ŝ
e wychylenie jest takie samo
w punktach
x
,
x +
l
,
x +
2
l
,
x
+ 3
l
itd. Wielko
ść
l
y
=
A
sin
2
p
(
x
-
v
t
)
l
To jest równanie fali biegn
ą
cej.
Okres
T
jest czasem, w którym fala przebiega odległo
ść
równ
ą
wi
ę
c:
l
=
v
T
st
ą
d
y
=
A
sin
2
p
x
-
t
(15.1)
l
T
Wida
ć
,
Ŝ
e w danej chwili taka sama faza jest w punktach
x
,
x +
l
,
x +
2
l
,
x
+ 3
l
itd.,
oraz,
Ŝ
e w danym miejscu faza powtarza si
ę
w chwilach
t
,
t
+
T
,
t
+2
T
, itd.
Cz
ę
sto wprowadza si
ę
dwie nowe wielko
ś
ci: liczb
ę
falow
ą
k
= 2
p
/
l
i cz
ę
sto
ść
w
= 2
p
/
T
.
t
) dla fal biegn
ą
cych w prawo i lewo.
Wida
ć
,
Ŝ
e pr
ę
dko
ść
fazowa fali
v
jest dana wzorem
w
t
) lub
y
= Asin(
kx
+
w
v
=
l
/
T
=
w
/
k
(15.2)
oraz,
Ŝ
e dla danego
x
otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.
15-2
nazywamy długo
ś
ci
ą
fali (odległo
ść
mi
ę
dzy punktami o tej samej fazie). Je
Ŝ
eli fala biegnie w prawo to po czasie
t
l
Wówczas
y
=
A
sin(
kx
-
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
15.3
Rozchodzenie si
ę
fal, pr
ę
dko
ść
fal
Je
Ŝ
eli chcemy zmierzy
ć
pr
ę
dko
ść
fali
v
to
ś
ledzimy jak przemieszcza si
ę
w czasie
wybrana cz
ęść
fali
czyli
okre
ś
lona faza
.
Wiemy,
Ŝ
e pr
ę
dko
ść
fali zale
Ŝ
y od spr
ęŜ
ysto
ś
ci o
ś
rodka i jego bezwładno
ś
ci. Spr
ę
-
Ŝ
ysto
ść
dla sznura jest okre
ś
lona poprzez napinaj
ą
c
ą
go sił
ę
F
(np. im wi
ę
ksza siła tym
szybciej wychylone elementy sznura wracaj
ą
do poło
Ŝ
enia równowagi). Natomiast
bezwładno
ść
jest zwi
ą
zana z mas
ą
sznura
m
oraz jego długo
ś
ci
ą
l
. Spróbujemy teraz
wyprowadzi
ć
wzór na zale
Ŝ
no
ść
pr
ę
dko
ś
ci
v
fali od siły
F
i od
m
Ko
ń
ce wycinka sznura tworz
ą
z osi
ą
x
małe k
ą
ty q
1
i q
2
. Dla małych k
ą
tów
q @ sinq @
dy
/
dx
. Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylaj
ą
ca sznur w kierunku
y
wy-
nosi
F
wyp
=
F
sin
q
2
-
F
sin
q
1
=
F
q
2
-
F
q
1
Zgodnie z zasad
ą
dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka
dm
=
m×
dx
i jego przyspieszenia. St
ą
d
¶
v
¶
2
y
F
=
F
q
-
F
q
=
(
m
dx
)
y
=
(
m
dx
)
wyp
2
1
¶
t
¶
t
2
lub
¶
q
m
¶
2
y
=
¶
x
F
¶
t
2
(Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cz
ą
stkowe oznaczane symbolem ¶
y
bo wy-
chylenie
y
jest funkcj
ą
dwóch zmiennych
y
= f
(
x
,
t
) i liczymy pochodne zarówno
wzgl
ę
dem zmiennej
x
jak i zmiennej
t
).
Uwzgl
ę
dniaj
ą
,
Ŝ
e
q
= ¶
y
/¶
x
otrzymujemy
15-3
=
m
/
l
tj. masy przypa-
daj
ą
cej na jednostk
ę
długo
ś
ci sznura. W tym celu rozpatrzmy mały wycinek sznura
o długo
ś
ci
dx
pokazany na rysunku.
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
¶
2
y
m
¶
2
y
=
(15.3)
¶
x
2
F
¶
t
2
Jest to
równanie falowe
dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpo-
wiednie pochodne funkcji
y
=
f(
x
,
t
)
=
A
sin(
k
x
-
w
t
)
¶
2
y
=
-
A
w
2
sin(
k
x
-
w
t
)
¶
t
2
oraz
¶
2
y
=
-
Ak
2
sin(
k
x
-
w
t
)
¶
x
2
W wyniku podstawienia otrzymujemy
k
2
=
F
w
2
sk
ą
d mo
Ŝ
emy obliczy
ć
pr
ę
dko
ść
fali
v
=
k
=
F
(15.4)
m
Zwró
ć
my uwag
ę
,
Ŝ
e sinusoidalna fala mo
Ŝ
e by
ć
przenoszona wzdłu
Ŝ
struny z pr
ę
dko-
ś
ci
ą
niezale
Ŝ
n
ą
od amplitudy i cz
ę
stotliwo
ś
ci.
Je
Ŝ
eli teraz przepiszemy równanie struny w postaci
¶
2
y
1
¶
2
y
=
(15.5)
¶
x
2
v
2
¶
t
2
to otrzymamy
równanie falowe
, które stosuje si
ę
do wszystkich rodzajów rozchodz
ą
-
cych si
ę
fal, takich jak fale d
ź
wi
ę
kowe czy elektromagnetyczne.
15.4
Przenoszenie energii przez fale
Szybko
ść
przenoszenia energii wyznaczymy obliczaj
ą
c sił
ę
F
jaka działa na koniec
struny (porusza strun
ą
w gór
ę
i w dół w kierunku
y
).
W tym celu posłu
Ŝ
ymy si
ę
zale
Ŝ
no
ś
ci
ą
P
=
F
y
v
y
Jak wida
ć
z rysunku pr
ę
dko
ść
poprzeczna równa jest
v
y
=
¶
y
/
¶
t
, a składowa siły
F
w kierunku
y
wynosi
F
sin
q
. Podstawiaj
ą
c do wzoru na moc otrzymujemy
15-4
w
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
P
=
F
¶
y
sin
q
¶
t
Dla małych k
ą
tów
q
mo
Ŝ
emy przyj
ąć
sin
q
@
–
¶
y
/
¶
x
(znak minus wynika z ujemnego
nachylenia struny). St
ą
d
P
=
-
F
¶
y
¶
y
¶
t
¶
x
Obliczamy teraz pochodne funkcji
y
=
f(
x
,
t
)
=
A
sin(
k
x
-
w
t
)
¶
y
=
-
A
w
cos(
kx
-
w
t
)
¶
t
¶
y
=
A
k
cos(
kx
-
w
t
)
¶
x
i podstawiamy do wyra
Ŝ
enia na moc
P
=
FA
2
k
w
cos
2
(
k
x
-
w
t
)
(15.6)
Zauwa
Ŝ
my,
Ŝ
e moc czyli szybko
ść
prze
pływu
energii oscyluje w czasie. Korzystaj
ą
c
z tego,
Ŝ
e
k
=
/
v
,
w
= 2
p
f
oraz,
Ŝ
e
v
=
F
/
m
otrzymujemy
P
=
4
p
2
A
2
f
2
m
v
cos
2
(
kx
-
w
t
)
(15.7)
Widzimy,
Ŝ
e szybko
ść
przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy
i kwadratu cz
ę
stotliwo
ś
ci. Ta zale
Ŝ
no
ść
jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.
15.5
Interferencja fal
Rozwa
Ŝ
my dwie fale o równych cz
ę
stotliwo
ś
ciach i amplitudach ale o fazach ró
Ŝ
-
ni
ą
cych si
ę
o
. Równania tych fal s
ą
nast
ę
puj
ą
ce
y
1
=
A
sin(
kx –
w
t –
j
)
y
2
=
A
sin(
kx –
w
t
)
Znajd
ź
my teraz fal
ę
wypadkow
ą
(
zasada superpozycji
) jako sum
ę
y
=
y
1
+
y
2
.
Korzystaj
ą
c ze wzoru na sum
ę
sinusów otrzymujemy
y
= 2
A
cos(
j
/2)sin(
kx –
w
t –
j
/2)
(15.8)
co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie 2
A
cos(
j
/2). Dla
j
= 0 fale spotykaj
ą
si
ę
zgodnie w fazie (wzmacniaj
ą
), a dla
j
= 180 wygaszaj
ą
.
15-5
w
j
Plik z chomika:
sliwak
Inne pliki z tego folderu:
00 Spis treści.pdf
(53 KB)
01 Wprowadzenie.pdf
(74 KB)
02 Ruch jednowymiarowy.pdf
(68 KB)
03 Ruch na płaszczyźnie.pdf
(74 KB)
04 Dynamika punktu materialnego I.pdf
(59 KB)
Inne foldery tego chomika:
Animacje i symulacje do różnych działów fizyki
Arkusz maturalne
Arkusze matur
arkusze maturalne 2005-2011
Arkusze przykładowe
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin