14 Statyka i dynamika płynów.pdf
(
111 KB
)
Pobierz
14 Statyka i dynamika p³ynów
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 14
14.Statyka i dynamika płynów
Z makroskopowego punktu widzenia powszechnie przyj
ę
ty jest podział materii na
ciała stałe i płyny. Pod poj
ę
ciem substancji, która mo
Ŝ
e płyn
ąć
rozumiemy ciecze i gazy.
Dla ciał sztywnych, maj
ą
cych okre
ś
lony rozmiar i kształt, sformułowali
ś
my mechanik
ę
ciał sztywnych. Do rozwi
ą
zywania zagadnie
ń
z mechaniki płynów musimy wprowadzi
ć
nowy formalizm poniewa
Ŝ
płyny łatwo zmieniaj
ą
kształt, a w przypadku gazów przyj-
muj
ą
obj
ę
to
ść
równ
ą
obj
ę
to
ś
ci naczynia. Wygodnym jest w zwi
ą
zku z tym sformułowa-
nie zasad dynamiki Newtona wraz z prawami opisuj
ą
cymi siły w szczególny sposób.
14.1
Ci
ś
nienie i g
ę
sto
ść
Ró
Ŝ
nica w działaniu siły powierzchniowej na płyn i na ciało stałe polega na tym,
Ŝ
e dla cieczy siła powierzchniowa musi by
ć
zawsze prostopadła do powierzchni płynu
podczas gdy w ciele stałym mo
Ŝ
e mie
ć
dowolny kierunek. Spoczywaj
ą
cy płyn nie mo
Ŝ
e
równowa
Ŝ
y
ć
sił stycznych (warstwy płynu
ś
lizgałyby si
ę
po sobie) i dlatego mo
Ŝ
e zmie-
nia
ć
kształt i płyn
ąć
. Wygodnie jest wi
ę
c opisywa
ć
sił
ę
działaj
ą
c
ą
na płyn za pomoc
ą
ci
ś
nienia p
zdefiniowanego jako warto
ść
siły prostopadłej działaj
ą
cej na jednostk
ę
po-
wierzchni
. Ci
ś
nienie jest przekazywane na sztywne
ś
cianki naczynia, a tak
Ŝ
e na dowol-
ne przekroje płynów
prostopadle
do tych
ś
cianek i przekrojów w ka
Ŝ
dym punkcie. Ci-
ś
nienie jest wielko
ś
ci
ą
skalarn
ą
.
W układzie SI jednostk
ą
jest (
pascal
), 1 Pa = 1 N/m
2
. Innymi jednostkami s
ą
bar (1 bar
= 10
5
Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), mm Hg (760 mm Hg = 1 atm).
Płyn znajduj
ą
cy si
ę
pod ci
ś
nieniem wywiera sił
ę
na ka
Ŝ
d
ą
powierzchni
ę
b
ę
d
ą
c
ą
z nim w kontakcie.
Rozwa
Ŝ
my zamkni
ę
t
ą
powierzchni
ę
zawieraj
ą
c
ą
płyn (rysunek). Dowolny element powierzchni jest
reprezentowany przez wektor
S
(długo
ść
równa po-
wierzchni, kierunek prostopadły, zwrot na ze-
wn
ą
trz). Wtedy siła
F
wywierana przez płyn na ten
element powierzchni wynosi
S
S
F
= p
S
Poniewa
Ŝ
F
i
S
maj
ą
ten sam kierunek wi
ę
c ci
ś
nienie
p
mo
Ŝ
na zapisa
ć
p
=
F
/
S
(14.1b)
Do opisu płynów stosujemy poj
ę
cie
g
ę
sto
ś
ci
r
:
r
=
m
/
V
(14.2)
G
ę
sto
ść
zale
Ŝ
y od wielu czynników takich jak temperatura, ci
ś
nienie. W tabeli przed-
stawiony jest zakres warto
ś
ci g
ę
sto
ś
ci spotykanych w przyrodzie.
14-1
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Materiał
(kg/m
3
)
przestrze
ń
mi
ę
dzygwiezdna
najlepsza pró
Ŝ
nia laboratoryjna
powietrze (1 atm 0 °C)
powietrze (50 atm 0 °C)
Ziemia:
warto
ść
ś
rednia
10
-18
- 10
-21
10
-17
1.3
6.5
5.52·10
3
9.5·10
3
2.8·10
3
10
8
- 10
15
10
17
rdze
ń
skorupa
Białe karły
j
ą
dro uranu
14.2
Zmiany ci
ś
nienia wewn
ą
trz nieruchomego płynu
gS
d
y
. Przypominam,
Ŝ
e siły działa-
j
ą
ce na element s
ą
w ka
Ŝ
dym punkcie prostopadłe do powierzchni (rysunek).
Siły poziome wywołane jedynie przez
ci
ś
nienie płynu równowa
Ŝą
si
ę
. Siły
pionowe s
ą
wywoływane nie tylko
przez ci
ś
nienie płynu ale te
Ŝ
przez je-
go ci
ęŜ
ar. Element płynu nie jest przy-
spieszany wi
ę
c wypadkowa siła dzia-
łaj
ą
ca na
ń
musi by
ć
zerem. Dla za-
chowania równowagi w pionie trzeba
wi
ę
c by:
S
d
y
, a jego ci
ęŜ
ar
r
(p+dp)S
pS
y
pS
= (
p
+d
p
)
S
+
r
gS
d
y
poziom odniesienia y=0
a st
ą
d
d
p
=
-
r
g
d
y
Równanie to pokazuje,
Ŝ
e ci
ś
nienie zmienia si
ę
ze zmian
ą
wysoko
ś
ci ponad pewien po-
ziom odniesienia. Gdy wysoko
ść
ro
ś
nie tzn. d
y
> 0 wtedy d
p
< 0 tzn. ci
ś
nienie maleje.
Powodem jest ci
ęŜ
ar warstwy płynu le
Ŝą
cej pomi
ę
dzy punktami, dla których mierzymy
ró
Ŝ
nic
ę
ci
ś
nie
ń
. Dla cieczy zazwyczaj
r
D
p
=
-
r
g
D
y
14-2
r
Gdy płyn znajduje si
ę
w równowadze to jego ka
Ŝ
da cz
ęść
jest w równowadze.
Rozpatrzmy element w kształcie cienkiego dysku znajduj
ą
cego si
ę
w odległo
ś
ci y od
poziomu odniesienia. Grubo
ść
dysku wynosi d
y
, a powierzchnia ka
Ŝ
dej strony wynosi
S
.
Masa takiego elementu wynosi
r
jest stałe (ciecze s
ą
praktycznie nie
ś
ci
ś
liwe),
ró
Ŝ
nice w wysoko
ś
ci nie s
ą
na tyle du
Ŝ
e
Ŝ
eby uwzgl
ę
dnia
ć
zmiany
g
wi
ę
c mo
Ŝ
emy dla
jednorodnej cieczy zapisa
ć
powy
Ŝ
sze równanie w postaci:
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
st
ą
d
(
p
2
-
p
1
) = -
r
g
(
y
2
-
y
1
)
Je
Ŝ
eli powierzchnia cieczy jest swobodna to stanowi naturalny poziom odniesienia. Aby
przenie
ść
poziom odniesienia na powierzchni
ę
przyjmujemy
y
2
równe wzniesieniu tej
powierzchni. Wtedy ci
ś
nienie
p
2
(na powierzchni) jest równe ci
ś
nieniu atmosferyczne-
mu
p
0
. Teraz
y
1
opisuje poło
Ŝ
enie (wysoko
ść
) pewnego poziomu w cieczy. Ci
ś
nienie na
tym poziomie oznaczmy p. Wtedy
p
0
-
p
= -
r
g
(
y
2
-
y
1
)
Poniewa
Ŝ
y
2
-
y
1
jest gł
ę
boko
ś
ci
ą
h poni
Ŝ
ej poziomu cieczy wi
ę
c
p = p
0
+r
gh
(14.3)
jest małe i ró
Ŝ
nica ci
ś
nie
ń
w dwóch punktach jest zazwyczaj do pomini
ę
-
cia i dlatego mo
Ŝ
na przyjmowa
ć
,
Ŝ
e ci
ś
nienie gazu w naczyniu jest wsz
ę
dzie jednako-
we. Nie jest to jednak prawdziwe, gdy mamy do czynienia ze znaczn
ą
ró
Ŝ
nic
ą
wysoko-
ś
ci (gdy wznosimy si
ę
w atmosferze). Ci
ś
nienie zmienia si
ę
wtedy znacznie, zmienia si
ę
te
Ŝ
r
. Np. na wysoko
ś
ci około 6 km ci
ś
nienie wynosi 0.5 atm. Dla porównania 6 km w
gł
ą
b morza wynosi 600 atm.
14.3
Prawo Pascala i prawo Archimedesa
Na rysunku widzimy ciecz w naczyniu zamkni
ę
tym tłokiem, na który mo
Ŝ
emy
działa
ć
ci
ś
nieniem zewn
ę
trznym
p
0
. W ka
Ŝ
dym punkcie A znajduj
ą
cym si
ę
na
ś
ci
h
od górnej powierzchni cieczy, ci
ś
nienie jest dane wyra
Ŝ
eniem
p
0
p
=
p
0
+
gh
p
0
. Po-
niewa
Ŝ
ciecze s
ą
nie
ś
ci
ś
liwe wi
ę
c g
ę
sto
ść
pozostaje praktycznie
bez zmian i dlatego ci
ś
nienie teraz wynosi
D
h
A
p
=
p
0
+
D
p
0
+
r
gh
Wynik ten został sformułowany przez Blaise Pascala i nazywa
si
ę
prawem Pascala
. Prawo to formułuje si
ę
nast
ę
puj
ą
co:
nie wywierane na zamkni
ę
ty płyn jest przekazywane niezmienio-
ne na ka
Ŝ
d
ą
cz
ęść
płynu oraz na
ś
cianki naczynia
.
Prawo to jest konsekwencj
ą
praw mechaniki płynów podobnie jak
prawo Archimedesa
.
Kiedy ciało jest zanurzone w cało
ś
ci lub cz
ęś
ciowo w spoczywaj
ą
cym płynie (cieczy lub
gazie) to płyn ten wywiera ci
ś
nienie na ka
Ŝ
d
ą
, b
ę
d
ą
c
ą
z nim w kontakcie, cz
ęść
po-
wierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i zwie si
ę
sił
ą
wyporu
.
14-3
Zwi
ą
zek ten nie tylko pokazuje,
Ŝ
e ci
ś
nienie ro
ś
nie wraz z gł
ę
boko
ś
ci
ą
ale te
Ŝ
,
Ŝ
e jest
jednakowe dla punktów o tej samej gł
ę
boko
ś
ci.
Dla gazów
r
r
Mo
Ŝ
emy powi
ę
kszy
ć
ci
ś
nienie zewn
ę
trzne o warto
ść
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Poniewa
Ŝ
ci
ś
nienie wywierane na ciało nie zale
Ŝ
y od
materiału, z którego zrobiono ciało wi
ę
c zast
ą
pmy
w naszym rozumowaniu rozpatrywane ciało przez ten
sam płyn co płyn otoczenia. Na ten płyn b
ę
dzie działa-
ło to samo ci
ś
nienie co na ciało, które zast
ą
pił. Poza
tym płyn b
ę
dzie nieruchomy. St
ą
d działaj
ą
ca na
ń
siła
b
ę
dzie równa ci
ęŜ
arowi płynu i skierowana ku górze
tak,
Ŝ
eby ten ci
ęŜ
ar zrównowa
Ŝ
y
ć
. Otrzymujemy
pra-
wo Archimedesa:
ciało w cało
ś
ci lub cz
ęś
ciowo zanu-
rzone w płynie jest wypierane ku górze sił
ą
równ
ą
ci
ę
-
Ŝ
arowi wypartego przez to ciało płynu
. Tak wi
ę
c
F
wyporu
= m
wypartego płynu
g =
r
Vg
(14.4)
gdzie
r
jest g
ę
sto
ś
ci
ą
płynu, a
V
obj
ę
to
ś
ci
ą
cz
ęś
ci zanurzonej ciała.
14.4
Pomiar ci
ś
nienia (barometr)
= 13.6*10
3
kg/m
3
), któr
ą
odwracamy nad naczyniem z rt
ę
ci
ą
tak jak na
rysunku. Ci
ś
nienia w punktach A i B musz
ą
by
ć
jednakowe bo punkty te s
ą
na jednako-
wej wysoko
ś
ci. Zgodnie z naszymi uprzednimi rozwa
Ŝ
aniami
r
próŜnia, p=0
p
A
=
gh
podczas gdy
h
p
B
= p
atm
A
B
Poniewa
Ŝ
p
A
= p
B
wi
ę
c
r
gh = p
atm
h
=
p
atm
r
= 0.76 m
g
Mierz
ą
c wysoko
ść
słupa rt
ę
ci mierzymy wielko
ść
ci
ś
nienia atmosferycznego.
Przejdziemy teraz do opisu ruchu płynu (dynamika płynów).
14.5
Ogólny opis przepływu płynów
Znane s
ą
dwa podej
ś
cia do opisu ruchu płynu. Pierwsze wymaga "podzielenia" pły-
nu na niesko
ń
czenie małe cz
ą
stki (elementy obj
ę
to
ś
ci) i
ś
ledzenie tych elementów.
Oznacza to,
Ŝ
e dla ka
Ŝ
dej cz
ą
stki mamy współrz
ę
dne
x
,
y
,
z
i ich zale
Ŝ
no
ść
od czasu. W
ten sposób skonstruowa
ć
mo
Ŝ
na opis ruchu płynu (Joseph Louis Lagrange koniec XVIII
w).
Drugie podej
ś
cie zaproponowane przez Leonharda Eulera jest bardziej wygodne.
Zamiast opisywa
ć
histori
ę
ka
Ŝ
dej z cz
ą
stek okre
ś
lamy g
ę
sto
ść
płynu i jego pr
ę
dko
ść
14-4
Evangelista Torricelli wynalazł w 1643 r barometr rt
ę
ciowy i tym samym podał spo-
sób pomiaru ci
ś
nienia atmosferycznego. Barometr Torricellego składa si
ę
z rurki wypeł-
nionej rt
ę
ci
ą
(
r
Z. K
ą
kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
(
x
,
y
,
z
,
t
) oraz
v
(
x
,
y
,
z
,
t
). Oznacza to,
Ŝ
e koncentrujemy si
ę
na wybranym punkcie przestrzeni w pew-
nym czasie.
Na wst
ę
pie rozpatrzmy pewne ogólne wła
ś
ciwo
ś
ci charakteryzuj
ą
ce przepływ.
·
r
Przepływ mo
Ŝ
e by
ć
ustalony
(laminarny)
lub
nieustalony
. Ruch płynu jest ustalony,
kiedy pr
ę
dko
ść
płynu
v
jest w dowolnie wybranym punkcie stała w czasie tzn. ka
Ŝ
da
cz
ą
stka przechodz
ą
ca przez dany punkt zachowuje si
ę
tak samo. Warunki takie osi
ą
ga
si
ę
przy niskich pr
ę
dko
ś
ciach.
·
Przepływ mo
Ŝ
e by
ć
wirowy
lub
bezwirowy
. Przepływ jest bezwirowy, gdy w
Ŝ
adnym
punkcie cz
ą
stka nie ma wypadkowej pr
ę
dko
ś
ci k
ą
towej wzgl
ę
dem tego punktu. Mo
Ŝ
na
sobie wyobrazi
ć
małe kółko z łopatkami zanurzone w przepływaj
ą
cym płynie. Je
Ŝ
eli
kółko nie obraca si
ę
to przepływ jest bezwirowy, w przeciwnym razie ruch jest wirowy.
·
Przepływ mo
Ŝ
e by
ć
ś
ci
ś
liwy
lub
nie
ś
ci
ś
liwy
. Zazwyczaj przepływ cieczy jest nie
ś
ci-
ś
liwy (stała
). Przepływ gazu te
Ŝ
mo
Ŝ
e by
ć
nie
ś
ci
ś
liwy tzn. zmiany g
ę
sto
ś
ci s
ą
nie-
znaczne. Np. ruch powietrza wzgl
ę
dem skrzydeł samolotu podczas lotu z pr
ę
dko
ś
ci
ą
mniejsz
ą
od pr
ę
dko
ś
ci głosu.
·
r
Przepływ mo
Ŝ
e by
ć
lepki
lub
nielepki
. Lepko
ść
w ruchu płynów jest odpowiednikiem
tarcia w ruchu ciał stałych (lepko
ść
smarów).
W naszych rozwa
Ŝ
aniach ograniczymy si
ę
do przepływów
ustalonych
,
bezwirowych
,
nie
ś
ci
ś
liwych
i
nielepkich
. To znacznie upraszcza matematyk
ę
.
Nasze rozwa
Ŝ
ania rozpoczniemy od wprowa-
dzenia poj
ę
cia
linii pr
ą
du
.
W przepływie ustalonym
v
jest stała w
czasie w danym punkcie. Rozwa
Ŝ
my punkt P
wewn
ą
trz płynu. Ka
Ŝ
da cz
ą
stka ma tam tak
ą
sam
ą
pr
ę
dko
ść
. To samo dla punktów Q i R.
Je
Ŝ
eli prze
ś
ledzimy tor jednej cz
ą
stki to prze-
ś
ledzili
ś
my zarazem tor ka
Ŝ
dej cz
ą
stki prze-
chodz
ą
cej przez P. Tor tej cz
ą
stki nazywamy
lini
ą
pr
ą
du. Linia pr
ą
du jest równoległa do pr
ę
dko
ś
ci płynu.
ś
adne linie pr
ą
du nie mog
ą
si
ę
przecina
ć
bo istniała by niejednoznaczno
ść
w wyborze drogi przez cz
ą
stk
ę
(a prze-
pływ jest ustalony).
Je
Ŝ
eli wybierzemy pewn
ą
sko
ń
czon
ą
liczb
ę
linii pr
ą
du to tak
ą
wi
ą
zk
ę
nazywamy
strug
ą
pr
ą
du
. Brzegi składaj
ą
si
ę
z linii
pr
ą
du wi
ę
c
płyn nie mo
Ŝ
e przepły-
wa
ć
przez brzegi strugi
. Płyn wcho-
dz
ą
cy jednym ko
ń
cem strugi musi
opu
ś
ci
ć
j
ą
drugim.
Na rysunku obok pr
ę
dko
ść
cz
ą
stek
w punkcie P wynosi
v
1
a pole prze-
kroju strugi
A
1
. W punkcie Q odpo-
wiednio
v
2
i
A
2
. W czasie
R
v
R
Q
P
v
P
V
Q
A
2
Q, v
2
t
ele-
ment płynu prze-bywa odległo
ść
v
D
D
A
1
t
. Masa płynu przechodz
ą
cego
przez
A
1
w czasie
P, v
1
D
t
wynosi
14-5
w ka
Ŝ
dym punkcie przestrzeni i w ka
Ŝ
dej chwili czasu. Czyli podajemy
Plik z chomika:
sliwak
Inne pliki z tego folderu:
00 Spis treści.pdf
(53 KB)
01 Wprowadzenie.pdf
(74 KB)
02 Ruch jednowymiarowy.pdf
(68 KB)
03 Ruch na płaszczyźnie.pdf
(74 KB)
04 Dynamika punktu materialnego I.pdf
(59 KB)
Inne foldery tego chomika:
Animacje i symulacje do różnych działów fizyki
Arkusz maturalne
Arkusze matur
arkusze maturalne 2005-2011
Arkusze przykładowe
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin