12 Ruch obrotowy.pdf

(118 KB) Pobierz
12 Ruch obrotowy
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 12
12.Ruch obrotowy
12.1 Wst ę p
Mówi ą c o ś rodku masy wspominali ś my o ruchu obrotowym oraz o toczeniu si ę ciał.
Du Ŝ ym ułatwieniem w analizie układów cz ą stek jest mo Ŝ liwo ść rozpatrywania oddziel-
nego ruchu post ę powego i ruchu obrotowego. Aby wprowadzi ć to uproszczenie zdefi-
niujemy dwie nowe wielko ś ci: moment p ę du i moment siły . Zasada zachowania momen-
tu p ę du jest równie istotna jak zasada zachowania p ę du i zasada zachowania energii.
12.2 Kinematyka ruchu obrotowego
Musi w pierwszym kroku wypracowa ć uj ę cie matematyczne dla ruchu obrotowego.
Dla ruchu obrotowego wielko ś ci ą analogiczn ą do przesuni ę cia jest przesuni ę cie k ą to-
we
q
. K ą t
q
q
= S / R . (w radianach). K ą tow ą analogi ą pr ę dko ś ci
v = d x /d t jest pr ę dko ść k ą towa
w
.
w =
d
q
(12.1)
d
t
R
S
Dla ruchu po okr ę gu v = w R .
W przypadku ruchu jednostajnego po okr ę -
gu
jest nazywane cz ę sto ś ci ą k ą tow ą i jest
zwi ą zana z cz ę stotliwo ś ci ą f relacj ą
w
q
w
= 2
p
f
Podobnie jak przyspieszenie liniowe a = d v /d t zostało zdefiniowane przyspieszenie k ą -
towe
a
.
a =
d
w
(12.2)
d
t
Dla ruchu po okr ę gu zwi ą zek pomi ę dzy a i
a
jest analogiczny do zwi ą zku pomi ę dzy v
i
w
tzn. a =
a
R . Mo Ŝ emy teraz np. poda ć opis ruchu obrotowego ze stałym przyspiesze-
niem
a
poprzez analogi ę do ruchu post ę powego jednostajnie zmiennego.
Ruch post ę powy
Ruch obrotowy
a = const
v = v 0 + at
s = s 0 + v 0 t + (1/2) at 2
= const
w
=
w
0 +
a
t
q
=
q
0 +
w
0 t + (1/2)
a
t 2
12-1
okre ś la poło Ŝ enie punktu wzgl ę dem układu odniesienia. Dla ruchu po okr ę -
gu, z definicji miary łukowej k ą ta
a
19146784.024.png 19146784.025.png 19146784.026.png 19146784.027.png 19146784.001.png 19146784.002.png 19146784.003.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
a
w
w
a
ruch przyspieszony
ruch opó ź niony
Kierunek i zwrot wektorów pr ę dko ś ci k ą towej
w
i przyspieszenia k ą towego
a
w ruchu
obrotowym s ą pokazane na rysunku poni Ŝ ej.
12.3 Dynamika ruchu obrotowego
12.3.1 Moment siły
W ruchu post ę powym sił ę wi ąŜ emy z liniowym przyspieszeniem ciała. Jak ą wiel-
ko ść b ę dziemy wi ą za ć z przyspieszeniem k ą towym?
Nie mo Ŝ e by ć to tylko siła bo jak pokazuje do ś wiadczenie np. z otwieraniem drzwi
przyspieszenie k ą towe zale Ŝ y od tego gdzie i pod jakim k ą tem jest przyło Ŝ ona siła. W
szczególno ś ci siła przyło Ŝ ona w miejscu zawiasów zarówno wzdłu Ŝ jak i prostopadle do
nich nie wytwarza Ŝ adnego przyspieszenia. Natomiast siła przyło Ŝ ona do drzwi na ich
zewn ę trznej kraw ę dzi i pod k ą tem prostym nadaje im maksymalne przyspieszenie.
Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem siły w ruchu post ę powym jest moment siły (tzw.
moment obrotowy)
t
τ
=
r
´
F
(12.3)
gdzie wektor r reprezentuje poło Ŝ enie cz ą stki wzgl ę dem wybranego inercjalnego układu
odniesienia. Moment siły jest wielko ś ci ą wektorow ą , której warto ść bezwzgl ę dna wyno-
si:
= rF sin
q
12.3.2 Moment p ę du
Zdefiniujmy teraz wielko ść , która w ruchu obrotowym odgrywa rol ę analogiczn ą do
p ę du. Wielko ść L b ę dziemy nazywa ć momentem p ę du i definiujemy j ą
L
=
r
´
p
(12.4)
gdzie p jest p ę dem cz ą stki, a r reprezentuje poło Ŝ enie cz ą stki wzgl ę dem wybranego in-
ercjalnego układu odniesienia. Warto ść L wynosi rp sin
q
i analogicznie do momentu siły
wielko ść r sin
q
nazywamy ramieniem p ę du.
12-2
.
Je Ŝ eli siła F działa na cz ą stk ę to moment siły jest definiowany jako
(iloczyn wektorowy). Wielko ść r nazywamy ramieniem siły (wida ć , Ŝ e
bierzemy albo r ^ albo F ^ ).
t
19146784.004.png 19146784.005.png 19146784.006.png 19146784.007.png 19146784.008.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Istnieje bezpo ś rednia zale Ŝ no ść pomi ę dzy momentem siły i momentem p ę du. Zacznijmy
od znanej zale Ŝ no ś ci, Ŝ e siła F = d p /d t (dla pojedynczej cz ą stki). Mno Ŝą c wektorowo
obie strony przez r otrzymujemy
r
´
F
=
r
´
d p
d
t
r
´
F
jest momentem siły
t
wi ę c
τ
=
r
´
d p
(12.5)
d
t
Teraz przechodzimy do równania na moment p ę du L = r
´
p i ró Ŝ niczkujemy je obu-
stronnie wzgl ę dem czasu, otrzymuj ą c
d
L
=
d(
r
´
p
)
=
d
r
´
p
+
r
´
d
p
d
t
d
t
d
t
d
t
poniewa Ŝ d r /d t = v wi ę c
d
L
=
(
v
´
m
v
)
+
r
´
d
p
d
t
d
t
Wiemy, Ŝ e v
v m
= 0 (z definicji iloczynu wektorowego), wi ę c
d
L
=
r
´
d
p
(12.6)
d
t
d
t
Porównanie równa ń (12.5) i (12.6) prowadzi do wniosku, Ŝ e
τ =
d L
(12.7)
d
t
Widzimy, Ŝ e wypadkowy moment siły działaj ą cy na cz ą stk ę jest równy pr ę dko ś ci zmian
momentu p ę du tej cz ą stki.
12.3.3 Zachowanie momentu p ę du
Dla układu n cz ą stek mo Ŝ emy zsumowa ć równanie (12.7) po wszystkich cz ą stkach
∑ ∑
τ
=
d
L
=
d
L
wypadkowy
(12.8)
i
d
t
i
d
t
i
i
Zauwa Ŝ my, Ŝ e je Ŝ eli na układ nie działa zewn ę trzny moment siły (lub suma = 0) to
moment p ę du układu pozostaje stały.
12-3
´
19146784.009.png 19146784.010.png 19146784.011.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
d
L
wypadkowy
t
=
0
⇒
L
=
const
.
d
wypadkowy
Przykład 1
Osoba stoi na stoliku obrotowym i w obu r ę kach trzyma hantle, maj ą c rozło Ŝ one ra-
miona. Popychamy j ą , tak aby obracała si ę z cz ę stotliwo ś ci ą f 1 = 0.5 obrotów na sekun-
d ę . Wtedy osoba zgina ramiona, przyci ą gaj ą c hantle do tułowia. Jaka jest cz ę stotliwo ść
jej obrotów? Załó Ŝ my, Ŝ e hantle pocz ą tkowo znajduj ą ce si ę 80 cm od osi obrotu, zostaj ą
ś ci ą gni ę te do odległo ś ci 10 cm od osi. Masa hantli jest taka, Ŝ e obracaj ą ca si ę osoba ma
taki sam moment p ę du jak hantle w odległo ś ci 80 cm od osi obrotu.
Pocz ą tkowo moment p ę du hantli wynosi
L h 1 = R 1 m v 1 = R 1 m(
w
1 R 1 ) = m
1 (R 1 ) 2
gdzie m jest mas ą pary hantli. Moment p ę du układu osoba-hantle wynosi wi ę c
L 1 = L o 1 + m w 1 ( R 1 ) 2
Poniewa Ŝ L o 1 = L h 1 wi ę c L o 1 = m w 1 ( R 1 ) 2 .
Dla hantli w odległo ś ci R 2 moment p ę du układu wynosi
L 2 = L o 2 + m w 2 ( R 2 ) 2
Stosuj ą c zasad ę zachowania p ę du otrzymujemy
L 1 = L 2
czyli:
L o 1 + m w 1 ( R 1 ) 2 = L o 2 + m w 2 ( R 2 ) 2
Pami ę taj ą c, Ŝ e L o 2 = L o 1 w 2 / w 1 poniewa Ŝ L ~ w rozwi ą zujemy to równanie wzgl ę dem w 2
w
= w
2
R
+
2
1
2
1
R
2
1
R
2
2
w 2 = 1.97 w 1
Pr ę dko ść obrotów ro ś nie dwukrotnie.
R 1
F 1
Przykład 2
Rower jedzie ze stał ą pr ę dko ś ci ą gdy siła
działaj ą ca pomi ę dzy nawierzchni ą i kołem F 2 = 4
N. Z jak ą sił ą F 1 ła ń cuch musi ci ą gn ąć z ę batk ę je-
Ŝ eli stosunek R 2 / R 1 = 10?
Poniewa Ŝ pr ę dko ść k ą towa jest stała wi ę c d L /d t = 0
i co za tym idzie
R 2
F 2
12-4
w
19146784.012.png 19146784.013.png 19146784.014.png 19146784.015.png 19146784.016.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
t
wypadkowy = (
t
1 -
t
2 ) = 0
czyli
t
1 =
t
2
St ą d
R 1 F 1 = R 2 F 2
wi ę c
F 1 = ( R 2 / R 1 ) F 2 = 40N
12.4 Ciała sztywne i moment bezwładno ś ci
Wi ę kszo ść mas w przyrodzie to nie cz ą stki tylko rozci ą głe ciała stałe, które mog ą
wykonywa ć zarówno ruch post ę powy jak i obrotowy. Przez ciała stałe, sztywne, rozu-
miemy ciała, w których odległo ść mi ę dzy dwoma wybranymi elementami pozostaje sta-
ła.
Przeanalizujmy ruch takiej bryły obracaj ą cej si ę ze stał ą pr ę dko ś ci ą k ą towa
w
. Dla potrzeb opisu ciało mo Ŝ emy podzie-
li ć na elementy o masie
w
m i odległe od osi obrotu o r i . Wtedy
pr ę dko ść takiego elementu wynosi v i = r i
D
w
w
. Warto ść momen-
tu p ę du L tego ciała mo Ŝ na obliczy ć
L
=
∑ ∑
r
D
m
v
=
r
D
m
(
r
w
)
=
∑
r
2
D
m
w
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
D
m i
r i
Wielko ść w nawiasie nazywamy momentem bezwładno ś ci I ,
który definiujemy jako
v i
I
= i
∑ D
r
2
m
i
i
a dla ci ą głego rozkładu masy mamy
I
=
∫
r
2
d
m
(12.9)
Zwró ć my uwag ę , Ŝ e I zale Ŝ y od osi obrotu. Mo Ŝ emy teraz zapisa ć moment p ę du
L = I
w
(12.10)
a poniewa Ŝ
t
= d L /d t wi ę c
t
= d
I
d
w
=
I
a
(12.11)
t
12-5
wokół sta-
łej osi w układzie ś rodka masy (rysunek). Zauwa Ŝ my, Ŝ e ró Ŝ ne cz ęś ci ciała maj ą ró Ŝ n ą
pr ę dko ść liniow ą v chocia Ŝ t ą sam ą k ą tow ą
19146784.017.png 19146784.018.png 19146784.019.png 19146784.020.png 19146784.021.png 19146784.022.png 19146784.023.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin