10 Zasada zachowania pędu II.pdf

(66 KB) Pobierz
10 Zasada zachowania pêdu II
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 10
10.Zasada zachowania p ę du II
10.1 Układy o zmiennej masie
Dotychczas zajmowali ś my si ę układami o stałej masie. Obecnie zajmiemy si ę ukła-
dami, których masa zmienia si ę podczas obserwacji.
Przykładem niech b ę dzie rakieta. Wyrzuca ona ze swej dyszy gor ą cy gaz z du Ŝą
pr ę dko ś ci ą , zmniejszaj ą c w ten sposób swoj ą mas ę i zwi ę kszaj ą c pr ę dko ść (rysunek po-
ni Ŝ ej).
v s
v
dm s
m
Spaliny opuszczaj ą silnik rakiety ze stał ą pr ę dko ś ci ą v s wzgl ę dem Ziemi. Pr ę dko ść
chwilowa rakiety wzgl ę dem Ziemi jest równa v , zatem pr ę dko ść spalin wzgl ę dem rakie-
ty v wzg . jest dana zale Ŝ no ś ci ą
v wzg l = v s – v
(10.1)
Je Ŝ eli w pewnym przedziale czasowym d t z rakiety wyrzucona zostaje masa d m s z pr ę d-
ko ś ci ą v 0 to masa rakiety maleje o d m a jej pr ę dko ść ro ś nie o d v , przy czym
d
m s
=
-
d
m
(10.2)
d
t
d
t
Obliczmy teraz całkowit ą szybko ść zmian p ę du P układu
d
P
=
d
p
rakiety
+
d
p
spalin
d
t
d
t
d
t
d
P
=
d(
m
v
)
+
v
d
m
s
d
t
d
t
s
d
t
d
P
=
m
d
v
+
v
d
m
+
v
d
m
s
(10.3)
d
t
d
t
d
t
s
d
t
Równanie to uwzgl ę dnia fakt, Ŝ e w przypadku rakiety zmienia si ę zarówno jej masa jak
i pr ę dko ść podczas gdy spaliny s ą wyrzucane ze stał ą pr ę dko ś ci ą . Zmiana p ę du układu
jest zgodnie z II zasad ą dynamiki Newtona równa sile zewn ę trznej działaj ą cej na układ.
10-1
19146761.017.png 19146761.018.png 19146761.019.png 19146761.020.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Uwzgl ę dniaj ą c zale Ŝ no ś ci (10.1) i (10.2) mo Ŝ emy przekształci ć równanie (10.3) do po-
staci
F
=
d
p
=
m
d
v
+
v
d
m
s
(10.4)
zew
d
t
d
t
wzgl
d
t
Ostatni wyraz w równaniu (10.4) mo Ŝ e by ć interpretowany jako siła wywierana na układ
przez substancj ę (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety nosi ona nazw ę
siły ci ą gu .
Je Ŝ eli ruch rakiety odbywa si ę w przestrzeni kosmicznej to siły zewn ę trzne F zew
s ą do zaniedbania i wtedy zmiana p ę du rakiety jest równa sile ci ą gu. Je Ŝ eli jednak ruch
odbywa si ę w pobli Ŝ u Ziemi (np. tu Ŝ po starcie) to wówczas F zew reprezentuje ci ęŜ ar
rakiety i sił ę oporu atmosfery i trzeba j ą uwzgl ę dni ć . Konstruktorzy rakiet staraj ą si ę
uzyska ć jak najwi ę ksz ą sił ę ci ą gu aby przezwyci ęŜ y ć F zew . Np. rakieta Saturn 5 o masie
ponad 3 mln kg wytwarzała przy starcie ci ą g 40 MN.
Obliczmy sił ę ci ą gu dla rakiety o masie 15000 kg, która po spaleniu paliwa wa Ŝ y 5000
kg. Szybko ść spalania paliwa wynosi 150 kg/s, a pr ę dko ść wyrzucania gazów wzgl ę dem
rakiety jest równa 1500 m/s.
F
=
v
d
M
wzgl
d
t
wi ę c
F = 1500·150 = 2.25·10 5 N
Zwró ć my uwag ę , Ŝ e pocz ą tkowo (rakieta z paliwem) siła działaj ą ca na rakiet ę skiero-
wana ku górze jest równa sile ci ą gu 2.25·10 5 N minus ci ęŜ ar rakiety (1.5·10 5 N). Po zu-
Ŝ yciu paliwa wynosi 2.25·10 5 N - 0.5·10 5 N = 1.75·10 5 N.
10.2 Zderzenia
10.2.1 Wst ę p
Co rozumiemy poprzez zderzenie?
Siły działaj ą ce przez krótki czas w porównaniu do czasu obserwacji układu nazy-
wamy siłami impulsowymi . Takie siły działaj ą w czasie zderze ń np. uderzenie piłki o
ś cian ę czy zderzenie kul bilardowych. Ciała w trakcie zderzenia nie musz ą si ę "doty-
ka ć ", a i tak mówimy o zderzeniu np. zderzenie cz ą stki alfa ( 4 He) z j ą drem jakiego ś
pierwiastka (np. Au). Wówczas mamy do czynienia z odpychaniem elektrostatycznym.
Pod zderzenia mo Ŝ emy podci ą gn ąć równie Ŝ reakcje . Proton w trakcie zderzenia z j ą -
drem mo Ŝ e wnikn ąć do niego. Wreszcie mo Ŝ emy rozszerzy ć definicj ę zderze ń o rozpa-
dy cz ą stek np. cz ą stka sigma rozpada si ę na pion i neutron:
S
=
p
mo Ŝ na wyra ź nie rozró Ŝ ni ć czas "przed zderzeniem" i "po zderzeniu"
·
prawa zachowania p ę du i energii pozwalaj ą zdoby ć wiele informacji o procesach na
podstawie tego co "przed zderzeniem" i tego co "po zderzeniu" mimo, Ŝ e niewiele wie-
my o siłach "podczas" zderzenia.
10-2
- + n .
Wszystkie te "zdarzenia" posiadaj ą cechy charakterystyczne dla zderze ń :
·
19146761.001.png 19146761.002.png 19146761.003.png 19146761.004.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
10.2.2 Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej
Wprawdzie cz ę sto nie znamy sił działaj ą cych podczas zderzenia ale wiemy, Ŝ e musi
by ć spełniona zasada zachowania p ę du (siły zewn. = 0), oraz zasada zachowania energii
całkowitej. Wobec tego nawet nie znaj ą c szczegółów oddziaływania mo Ŝ na w wielu
przypadkach stosuj ą c te zasady przewidzie ć wynik zderzenia .
Zderzenia klasyfikujemy zwykle na podstawie tego, czy energia kinetyczna jest zacho-
wana podczas zderzenia czy te Ŝ nie. Je Ŝ eli tak to zderzenie nazywamy spr ęŜ ystym , je Ŝ eli
nie to niespr ęŜ ystym .
Jedyne prawdziwe zderzenia spr ęŜ yste (chocia Ŝ nie zawsze) to zderzenia mi ę dzy
atomami, j ą drami i cz ą steczkami elementarnymi. Zderzenia mi ę dzy ciałami s ą zawsze
w pewnym stopniu niespr ęŜ yste chocia Ŝ czasami mo Ŝ emy je traktowa ć w przybli Ŝ eniu
jako spr ęŜ yste. Kiedy dwa ciała po zderzeniu ł ą cz ą si ę mówimy, Ŝ e zderzenie jest cał-
kowicie niespr ęŜ yste . Np. zderzenie mi ę dzy pociskiem i drewnianym klockiem gdy po-
cisk wbija si ę w klocek.
Rozpatrzmy teraz zderzenie spr ęŜ yste w przestrzeni jednowymiarowej. Wyobra ź my
sobie dwie gładkie nie wiruj ą ce kule, poruszaj ą ce si ę wzdłu Ŝ linii ł ą cz ą cej ich ś rodki.
Masy kul m 1 i m 2 , pr ę dko ś ci przed zderzeniem v 1 i v 2 a po zderzeniu u 1 i u 2 tak jak na
rysunku poni Ŝ ej.
m 1 v 1
m 2 v 2
m 1 u 1
m 2 u 2
Z zasady zachowania p ę du otrzymujemy
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2
(10.5)
Poniewa Ŝ zderzenie jest spr ęŜ yste to energia kinetyczna jest zachowana (zgodnie z defi-
nicj ą ). Otrzymujemy wi ę c
m
1
v
2
1
+
m
2
v
2
2
=
m
1
u
2
1
+
m
2
u
2
2
(10.6)
2
2
2
2
Przepisujemy równanie (10.5) w postaci
m 1 ( v 1 - u 1 ) = m 2 ( u 2 - v 1 )
(10.7)
a równanie (10.6) w postaci
m
1
(
v
2
1
-
u
2
1
)
=
m
2
(
u
2
2
-
v
2
2
)
(10.8)
10-3
19146761.005.png 19146761.006.png 19146761.007.png 19146761.008.png 19146761.009.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Dziel ą c równanie (10.8) przez równanie (10.7) otrzymamy w wyniku (przy zało Ŝ eniu
v 1
¹
u 1 i v 2
¹
u 2 )
v 1 + u 1 = v 2 + u 2
a po uporz ą dkowaniu
v 1 - v 2 = u 2 - u 1
(10.9)
Równanie to mówi nam, Ŝ e w opisanym zderzeniu wzgl ę dna pr ę dko ść zbli Ŝ ania si ę cz ą -
stek przed zderzeniem jest równa wzgl ę dnej pr ę dko ś ci ich oddalania si ę po zderzeniu.
Mamy do dyspozycji trzy równania (10.7), (10.8) i (10.9), a chcemy znale źć u 1 i u 2 . Wy-
starcz ą wi ę c dowolne dwa. Bior ą c dwa liniowe równania (10.7) i (10.9) obliczmy
u
=
m
1
-
m
2
v
+
2
m
2
v
(10.10)
1
m
+
m
1
m
+
m
2
1
2
1
2
oraz
u
=
2
m
1
v
+
m
2
-
m
1
v
(10.11)
2
m
+
m
1
m
+
m
2
1
2
1
2
Rozpatrzmy kilka interesuj ą cych przypadków:
m 1 = m 2
wtedy
u 1 = v 2
oraz
u 2 = v 1
czyli cz ą stki wymieniły si ę pr ę dko ś ciami.
v 2 = 0
wtedy
u
=
m
-
m
2
v
oraz
u
=
2
m
1
v
1
m
+
m
1
2
m
+
m
1
1
2
1
2
je Ŝ eli jeszcze dodatkowo m 1 = m 2
wtedy
u 1 = 0
oraz
u 2 = v 1 (wymiana pr ę dko ś ci)
natomiast gdy m 2 >> m 1 to wtedy:
u 1
0
Taka sytuacja zachodzi np. przy zderzeniu cz ą stki lekkiej z bardzo ci ęŜ k ą (spoczywaj ą -
c ą ) np. piłka uderza o ś cian ę .
@
– v 1
oraz
u 2
@
wreszcie sytuacja odwrotna m 2 << m 1 .
Wtedy
2 v 1 .
Pr ę dko ść cz ą stki ci ęŜ kiej (padaj ą cej) prawie si ę nie zmienia.
Np. Neutrony w reaktorze musz ą by ć spowalniane aby podtrzyma ć proces rozszczepie-
nia. W tym celu zderzamy je z spr ęŜ y ś cie z j ą drami (spoczywaj ą cymi) spowalniacza.
Gdyby w spowalniaczu były ci ęŜ kie j ą dra to neutrony zderzaj ą c si ę "odbijałyby" si ę nie
u 1
@
v 1
oraz
u 2
@
10-4
·
·
1
·
·
·
19146761.010.png 19146761.011.png 19146761.012.png 19146761.013.png 19146761.014.png
Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki
trac ą c nic z pr ę dko ś ci. Gdyby natomiast spowalniaczem były cz ą stki lekkie np. elektro-
ny to neutrony poruszałyby si ę w ś ród nich praktycznie bez zmiany pr ę dko ś ci. Zatem
trzeba wybra ć moderator (spowalniacz) o masie j ą der porównywalnej z mas ą neutro-
nów.
Przy zderzeniach niespr ęŜ ystych energia kinetyczna nie jest zachowana.
Ró Ŝ nica pomi ę dzy energi ą kinetyczn ą pocz ą tkow ą i ko ń cow ą przechodzi np. w ciepło
lub energi ę potencjaln ą deformacji.
Przykład 1
Jak ą cz ęść swej energii kinetycznej traci neutron (m 1 ) w zderzeniu centralnym z j ą drem
atomowym (m 2 ) b ę d ą cym w spoczynku?
Pocz ą tkowa energia kinetyczna:
E k
=
m
1
v
2
1
1
2
Ko ń cowa energia kinetyczna:
E k
=
m
1
u
2
1
2
2
Wzgl ę dne zmniejszenie energii kinetycznej:
E
k
1
-
E
k
2
=
v
2
1
-
u
2
1
=
1
-
u
2
1
E
v
2
1
v
2
1
k
1
Poniewa Ŝ dla takiego zderzenia:
u
=
m
1
-
m
2
v
1
m
+
m
1
1
2
wi ę c
E
-
E
m
-
m
2
4
m
m
k
1
k
2
=
1
-
1
2
=
1
2
E
m
+
m
(
m
+
m
)
2
k
1
1
2
1
2
·
dla ołowiu m 2 = 206 m 1 wi ę c
E
k
1
- k
E
k
2
=
0
02
(
2
%)
E
1
·
dla w ę gla m 2 = 12 m 1 wi ę c
E
k
1
- k
E
k
2
=
0
(
28
%)
E
1
·
dla wodoru m 2 = m 1 wi ę c
E
k
1
- k
E
k
2
=
1
(
100
%)
E
1
Wyniki te wyja ś niaj ą dlaczego parafina, która jest bogata w wodór jest dobrym spowal-
niaczem (a nie ołów).
Przykład 2
Wahadło balistyczne.
Słu Ŝ y do pomiaru pr ę dko ś ci pocisków. Składa si ę z bloku drewnianego o masie M , wi-
sz ą cego na dwóch sznurach (rysunek). Pocisk o masie m , maj ą cy pr ę dko ść poziom ą v ,
wbija si ę w drewno i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło (tzn. blok z tkwi ą cym w
nim pociskiem) wychyla si ę i podnosi na maksymaln ą wysoko ść h .
Z zasady zachowania p ę du otrzymujemy
10-5
19146761.015.png 19146761.016.png

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin