06 Ciążenie powszechne.pdf

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 6

6. Ci ąŜ enie powszechne (grawitacja)

6.1 Prawo powszechnego ci ąŜ enia

Newton - 1665 spadanie ciał. Skoro istnieje siła przyci ą gania pomi ę dzy dowolnym

ciałem i Ziemi ą , to musi istnie ć siła mi ę dzy ka Ŝ dymi dwoma masami m 1 i m 2 . Skoro siła

jest proporcjonalna do masy ciała to musi by ć proporcjonalna do ka Ŝ dej z mas m 1 i m 2

oddzielnie czyli:

m 1 m 2

Newton zastanawiał si ę równie Ŝ , czy siła działaj ą ca na ciała b ę dzie malała wraz ze

wzrostem odległo ś ci. Doszedł do wniosku, Ŝ e gdyby ciało znalazło si ę w odległo ś ci ta-

kiej jak Ksi ęŜ yc to b ę dzie ono miało takie samo przyspieszenie jak Ksi ęŜ yc bowiem na-

tura siły grawitacyjnej pomi ę dzy Ziemi ą i Ksi ęŜ ycem jest taka sama jak pomi ę dzy Zie-

mi ą i ka Ŝ dym ciałem.

Przykład 1

Obliczmy jakie jest przyspieszenie Ksi ęŜ yca i jaki jest stosunek przyspieszenia

Ksi ęŜ yca do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi?

Zastosujemy równanie na przyspieszenie do ś rodkowe (wykład 3 - ruch jednostajny po

okr ę gu). Wówczas:

gdzie R K jest odległo ś ci ą od Ziemi do Ksi ęŜ yca. Ta odległo ść wynosi 3.86·10 5 km,

a okres obiegu Ksi ęŜ yca T = 27.3 dnia. Otrzymujemy wi ę c

a = 2.73·10 -3 m/s 2

W pobli Ŝ u powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s 2 . St ą d stosunek przyspie-

sze ń wynosi:

a / g = 1/3590

(1/60) 2

R .

Newton wykonał takie obliczenia i wyci ą gn ą ł wniosek, Ŝ e siła przyci ą gania mi ę dzy

dwoma masami maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległo ś ci mi ę dzy nimi

(odległo ść mi ę dzy ś rodkami mas). Sformułował wi ę c prawo powszechnego ci ąŜ enia

Z R

/ K

Stał ą proporcjonalno ś ci oznacza si ę G , wi ę c

6-1

W granicach bł ę du a / g =

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

(6.1)

Newton oszacował warto ść stałej G zakładaj ą c ś redni ą g ę sto ść Ziemi

= 5·10 3 kg/m 3

(porówna ć to z g ę sto ś ci ą pierwiastków z układu okresowego np.

Si = 2.8·10 3 kg/m 3 ,

Fe = 7.9·10 3 kg/m 3 ).

Punktem wyj ś cia jest równanie:

Je Ŝ eli we ź miemy r = R Z to otrzymamy:

Zgodnie z II zasad ą Newtona F = ma , gdzie a = g .

St ą d

Z =

wi ę c

Wiemy, Ŝ e M Z =

V Z wi ę c

4 3

Uwzgl ę dniaj ą c R Z = 6.37·10 6 m otrzymamy G = 7.35·10 -11 Nm 2 /kg 2 co jest warto ś ci ą

tylko o 10% wi ę ksz ą ni Ŝ ogólnie przyj ę ta warto ść 6.67·10 -11 Nm 2 /kg 2 .

Porównuj ą c przyspieszenie grawitacyjne na orbicie Ksi ęŜ yca i na powierzchni Ziemi,

Newton zakładał, Ŝ e Ziemia zachowuje si ę tak jakby jej cała masa była skupiona w

ś rodku. Zgadywał, Ŝ e tak ma by ć ale dowód matematyczny przeprowadził dopiero 20 lat

pó ź niej (wtedy te Ŝ sformułował rachunek całkowy).

Równanie (6.1) nazywa si ę prawem powszechnego ci ąŜ enia, poniewa Ŝ dokładnie to sa-

mo prawo stosuje si ę do wszystkich sił grawitacyjnych . To samo prawo wyja ś nia spada-

nie ciał na Ziemi ę , tłumaczy ruch planet, pozwala obliczy ć ich masy i okresy obiegu.

Przykład 2

Jaki był okres obiegu Ksi ęŜ yca przez moduł statku Apollo?

F = ma

6-2

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

gdzie M K jest mas ą Ksi ęŜ yca, a R promieniem orbity po jakiej kr ąŜ y moduł o masie m .

Poniewa Ŝ przyspieszenie

wi ę c

2 4

Podstawiaj ą c warto ś ci liczbowe: promie ń Ksi ęŜ yca R = 1740 km, mas ę M K = 7.35·10 22

kg i G = 6.67·10 -11 Nm 2 /kg 2 , otrzymamy T = 6.5·10 3 s czyli 108 minut.

6.2 Do ś wiadczenie Cavendisha

Newton obliczył warto ść stałej G na podstawie przyj ę tego zało Ŝ enia o ś redniej war-

to ś ci g ę sto ś ci Ziemi. Gdyby Ziemia miała tak jak gwiazdy j ą dro o super wielkiej

g ę sto ś ci to wynik uzyskany przez Newtona byłby obarczony du Ŝ ym bł ę dem. Czy mo Ŝ na

wyznaczy ć stał ą G w laboratorium niezale Ŝ nie od masy Ziemi i tym samym unikn ąć

bł ę du zwi ą zanego z szacowaniem g ę sto ś ci Ziemi?

W tym celu trzeba zmierzy ć sił ę oddziaływania dwóch mas m 1 i m 2 umieszczonych

w odległo ś ci x (rysunek). Wówczas siła

F = Gm 1 m 2 / x 2

czyli

G =

m 1

m 2

Zauwa Ŝ my, Ŝ e dla mas ka Ŝ da po 1 kg oddalo-

nych od siebie o 10 cm siła F ma warto ść

F = 6.67·10 -9 N tj. 10 9 razy mniej ni Ŝ ci ęŜ ar 1

kg i jest za mała by j ą wykry ć (dokładnie) zwy-

kłymi metodami.

6-3

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Problem ten rozwi ą zał Henry Cavendish w 1797 r. Wykorzystał on fakt, Ŝ e siła potrzeb-

na do skr ę cenia długiego, cienkiego włókna kwarcowego o kilka stopni jest bardzo ma-

ła. Cavendish najpierw wykalibrował włókna, a nast ę pnie zawiesił na nich pr ę t z dwie-

ma małymi kulkami ołowianymi na ko ń cach (rysunek a). Nast ę pnie w pobli Ŝ u ka Ŝ dej z

kulek umie ś cił wi ę ksz ą kul ę ołowian ą i zmierzył precyzyjnie k ą t o jaki obrócił si ę pr ę t

(rysunek b). Pomiar wykonane metod ą Cavendisha daj ą warto ść G = 6.67·10 -11

Nm 2 /kg 2 .

6.2.1 Wa Ŝ enie Ziemi

Maj ą c ju Ŝ godn ą zaufania warto ść G , Cavendish wyznaczył M Z z równania:

Wynik pomiaru jest równie dokładny jak wy-

znaczenia stałej G . Cavendish wyznaczył te Ŝ

mas ę Sło ń ca, Jowisza i innych planet, których

satelity zostały zaobserwowane. Np. na ry-

sunku obok niech M b ę dzie mas ą Sło ń ca, a m

mas ą planety kr ąŜą cej wokół Sło ń ca np. Zie-

mi. Wtedy

F = GMm / R 2

Poniewa Ŝ przyspieszenie

a = 4p

2 R / T

to z równania F = ma otrzymujemy

6-4

Z. K ą kol-Notatki do Wykładu z Fizyki

czyli

Je Ŝ eli R jest odległo ś ci ą Ziemia - Sło ń ce, T = 1 rok, to M jest mas ą Sło ń ca. Podobne ob-

liczenia mo Ŝ na przeprowadzi ć dla innych planet.

6.3 Prawa Keplera ruchu planet

Zanim Newton zapostulował prawo powszechnego ci ąŜ enia, Johannes Kepler

stwierdził, Ŝ e ruch planet stosuje si ę do trzech prostych praw. Prawa Keplera wzmocniły

hipotez ę Kopernika. Praca Keplera (1609 - 1619) była wielkim odkryciem i aktem od-

wagi zwłaszcza po tym jak w 1600 roku spalono na stosie Giordana Bruno zwolennika

systemu heliocentrycznego. Przypomnijmy, Ŝ e nawet Galileusz został zmuszony do pu-

blicznego odwołania swoich pogl ą dów (1633 r) mimo, Ŝ e papie Ŝ był jego przyjacielem.

Dogmatem wtedy był pogl ą d, Ŝ e planety poruszaj ą si ę wokół Ziemi po skomplikowa-

nych torach, które s ą zło Ŝ eniem pewnej liczby okr ę gów. Np. do opisania orbity Marsa

trzeba było około 12 okr ę gów ró Ŝ nej wielko ś ci.

Kepler poszukiwał nieskomplikowanej geometrycznie orbity, Ŝ eby udowodni ć Ŝ e Mars

i Ziemia musz ą obraca ć si ę wokół Sło ń ca. Po latach pracy odkrył trzy proste prawa, któ-

re zgadzały si ę z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo du Ŝą dokładno ś ci ą . Te

prawa stosuj ą si ę te Ŝ do satelitów okr ąŜ aj ą cych jak ąś planet ę .

Pierwsze prawo Keplera

Ka Ŝ da planeta kr ąŜ y po orbicie eliptycznej, ze Sło ń cem w jednym z ognisk tej elipsy.

Drugie prawo Keplera (prawo równych pól)

Linia ł ą cz ą ca Sło ń ce i planet ę zakre ś la równe pola w równych odst ę pach czasu.

Trzecie prawo Keplera

Sze ś ciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet maj ą si ę do siebie jak kwadraty

ich okresów obiegu . (Póło ś wielka jest połow ą najdłu Ŝ szej ci ę ciwy elipsy).

Dla orbit kołowych

Newton rozwijaj ą c swoj ą teori ę potrafił dowie ść , Ŝ e tylko wtedy, gdy siła jest odwrotnie

proporcjonalna do kwadratu odległo ś ci, orbita dowolnej planety jest elips ą ze Sło ń cem

w jednym z ognisk oraz, Ŝ e

. Newton wyprowadził prawa Keplera z zasad dy-

namiki. Przykładowo wyprowad ź my III prawo Keplera dla planet poruszaj ą cych si ę po

orbitach kołowych.

Korzystaj ą c z otrzymanego uprzednio wzoru na mas ę Sło ń ca otrzymamy dla pierwszej

planety:

a dla drugiej

6-5

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: