wektor.doc

Wektor – obiekt geometryczny w matematyce elementarnej, istotny w inżynierii i fizyce mający moduł (zwany też długością[1] lub – zdaniem niektórych[2] niepoprawnie – wartością), kierunek i zwrot określający orientację wzdłuż danego kierunku. Często przedstawia się go graficznie jako odcinek o określonym kierunku, lub jako strzałkę, łączącą początek bądź punkt zaczepienia oraz koniec wektora. Dla danych punktów początkowego A i końcowego B wektor oznacza się symbolem AB i strzałka na górze.

DZIAŁANIA NA WEKTORACH

a) dodawanie
Przy dodawaniu wektorów stosuje się dwie metody: metodę równoległoboku lub metodę wielokąta.

Metoda równoległoboku polega na zbudowaniu równoległoboku z dwóch wektorów. Przekątna, której jeden z końców znajduje się w miejscu przyłożenia obydwu wektorów, jest szukanym wektorem wypadkowym.

Metoda wielokąta jest bardzo przydatna przy dodawaniu większej ilości wektorów, poza tym jest prostsza od metody równolegloboku. W miejscu, gdzie kończy się jeden wektor, rysujemy kolejny. Początkiem wypadkowego wektora jest początek pierwszego z dodawanych wektorów, zaś jego końcem jest koniec ostatniego z dodawanych wektorów.

b) odejmowanie
Odejmowanie wektorów a i b sprowadza się do dodania wektorów a i -b, czyli wektora o przeciwnym zwrocie w stosunku do b:

c) mnożenie wektora przez skalar
Mnożenie wektora a przez skalar n daje w wyniku nowy wektor na o wartości liczbowej n razy powiększonej i o zwrocie zgodnym lub przeciwnym względem wektora a, zależnie od tego, czy skalar n jest dodatni, czy ujemny.

d) mnożenie wektora przez wektor
Przy mnożeniu wektora przez wektor rozróżniamy iloczyn skalarny i iloczyn wektorowy.

- iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny wektorów a i b oznaczamy symbolicznie a . b. Iloczyn skalarny dwóch wektorów jest skalarem, którego wartość liczbowa jest równa iloczynowi wartości liczbowych danych wektorów przez cosinus kąta zawartego między nimi, czyli:

a . b = ab cos α

- iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy wektorów a i b oznaczamy symbolicznie a x b. Iloczyn ten jest nowym wektorem o określonej umownie wartości liczbowej i kierunku.
a x b = c
Wartość liczbowa wektora c równa się iloczynowi wartości wektorów a przez b przez sinus kąta zawartego między nimi:

c = ab sin α

Punkt przyłożenia wektora c pokrywa się z początkami wektorów a i b. Kierunek jego jest prostopadły do płaszczyzny zawierającej wektory a i b. Zwrot wektora c jest określony regułą śruby prawoskrętnej, zwanej również regułą korkociągu. Korkociąg ustawiamy prostopadle do płaszczyzny wektorów a i b opierając jego ostrze w punkcie O. Rączkę korkociągu ustawiamy równolegle do pierwszego wektora wymienionego w iloczynie wektorowym, a więc w naszym przykładzie do wektora a. Obracamy rączkę tak, aby po skręceniu o kąt α zajęła ona położenie równoległe do wektora b. Podczas tego obrotu ostrze przesuwa się w określonym kierunku, który umownie przyjęto za zwrot wektora c.

Właściwości wektora.

Wszystkie wielkości fizyczne, które są wektorem posiadają cztery własności:

- wartość - liczba jednostek, np. 5 m/s; graficznie jest to długość odcinka symbolizującego wektor

- kierunek - położenie linii prostej, gdzie jest wektor

- zwrot - strona, w którą wektor jest zwrócony; graficznie: strzałka na odpowiednim końcu wektora

- punkt przyłożenia - punkt początkowy wektora.

Następujące własności są prawdziwe dla dowolnych wektorów oraz dowolnego skalara r:

·         przemienność:

,

·         rozdzielność względem dodawania:

,

·         dwuliniowość:

.

Przy mnożeniu przez wartość skalarną zachodzi następująca równość:

.

Ostatnie dwie własności wynikają z dwóch pierwszych.