Ciągi monotoniczne Mówimy, że ciąg (an) jest: -rosnący, jeżeli ÙnÎN an< an+1; -malejący, jeżeli ÙnÎN an> an+1 Ciąg ograniczonyCiąg(an) nazywamy ciągiem ograniczonym, jeżeli ÚMÎR Ùn ½an½£M. Przykładem ciągu ograniczonego jest ciąg o an=n/n+1 [to 0< an<1Þ-1< an<1]. Granica skończona ciągu (ciąg zbieżny)Mówimy, że ciąg (an) jest zbieżny do granicy g co zapisujemy an®g lub lim n®¥=g. Jeżeli ÙE>0 Úd>0 Ùn>d ½an-g½<E Granica niewłaściwa Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do (+¥), jeżeli ÙAÎR Úd Ùn>d an>A, co zapisujemy an®+¥ lub lim n®¥ an=+¥. Mówimy, że ciąg (an) jest rozbieżny do (-¥), jeżeli ÙAÎR Úd Ùn>d an<A, co zapisujemy an®-¥ lub lim n®¥ an=-¥. Ciąg geometryczny Zajmiemy się ciągiem o wyrazie ogólnym an=qn, gdzie qÎR. Wówczas qn® (0, ½q½<1); (-¥, q>1); (1, q=1); (nie istnieje, q£-1). Dla q=-1 mamy (-1)n®(1, n-parzyste); (-1, n-nieparzyste). Dla q<-1, np. q=-2 mamy (-2)n®(+¥, n-parzyste); (-¥, n-nieparzyste). Liczba i ciąg Eulera. Ciąg Eulera to ciąg, którego elementy określone są wzorem:an = n2 - n + 41Pierwsze 40 wyrazów tego ciągu są liczbami pierwszymi, jednak dla n=41 otrzymujemy już liczbę złożoną. Liczba Eulera jest podstawą logarytmu naturalnego. Definiujemy ja jako granicę następującego ciągu: lim n®¥ (1+1/n)n. Granicy skończona funkcji w xo wg. Heinego lub Cauche’go. (H) Granica skończona funkcji f(x) w xo jest liczba g co zapisujemy: f(x)®g (x®xo) lub lim x®xo f(x)=g. Jeżeli każdemu ciągowi (xn) argumentów funkcji zbieżnemu do xo, o wartościach ¹ xo odpowiadający mu ciąg wartości (f(x)) funkcji jest zbieżny go g. (C) ÙE>0 Úd>0 ÙxÎD, to 0<½x-xo½<dÞ½f(x)-g½<E. Definicja funkcji ciągłej w xo oraz na przykładach omówić rodzaje nieciągłości funkcji w xo. Funkcje f(x) określoną w U(xo [czy istnieje f(xo)], d) nazywamy ciągłą w xo, jeżeli: -istnieje lim x®xo f(x) i lim x®xo f(x)=f(xo). Jeżeli któreś z tych trzech wymagań nie zachodzi, to mówimy, że funkcja jest nieciągła w xo. W przypadku istnienia w xo tylko granicy jednostronnej i spełnieniu pozostałych warunków mówimy wtedy o tzw. ciągłości jednostronnej. Ciągłość funkcji w przedziale. Funkcje nazywamy ciągłą w przedziale jeżeli f(x) jest określona w przedziale: ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcją ciągłą w całej D nazywamy krótko ciągłą (cg). Własności funkcji ciągłych. - każdy wielomian jest funkcją ciągłą (cg) w R; - każda funkcja ciągła jest funkcją ciągłą czy w swojej D, tzn. poza miejscami zerowymi; -funkcja sin, cos ciągła w R, a tg i ctg w swoich D; -złożenie funkcji ciągłej jest funkcją ciągłą, np. esinx, e-1/x w części wspólnej dziedziny; -każda funkcja ciągła w <a,b> jest ograniczona; -każda funkcja ciągła w <a,b> osiąga swoje największe i najmniejsze wartości; -funkcja odwrotna do funkcji jest funkcją ciągłą. Definicja dziedziny, przeciw dziedziny, wykres, własności, wzór na pochodną z wyprowadzeniem dla każdej funkcji cyklometrycznej. Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej w xo Jeżeli x=g(y) jest cg i ściśle monotoniczna w (a, b) oraz istnieje g’(yo)¹0 to y=f(x) jako odwrotnie do niej posiada w xo=g(yo) pochodną f’(xo) wyróżniona wzorem f’(xo)=1/g’(yo). Definicja pochodnej pierwszego rzędu w xo i jej interpretacja geometryczna; równanie stycznej. Niech f(x) będzie określone w U(xo, d) oraz (xo+h)ÈU(xo, d) (h¹0). Jeżeli istnieje skończona granica ilorazu różnicowego f(xo+h)-f(x)/h przy h®0 to nazywamy pochodną funkcji f(x) w xo i oznaczamy f’(xo). Mówimy więc f’(xo)=lim h®0 f(xo+h)-f(x)/h. Równanie stycznej y-f(xo)=f’(xo)*(x-xo). Definicja pochodnej logarytmicznej Pochodna logarytmiczna różniczkowalnej funkcji f(x) nazywamy pochodną jej logarytmu naturalnego. [ln f(x)]=1/f(x)*f’(x), stąd f’(x)=f(x)* [ln f(x)]’. Wnioski z twierdzenia Lagrange’a Jeżeli f(x) spełnia: -jest ciągła w <a, b>; -jest różniczkowalna w (a, b) to istnieje taki cÎ(a, b), że f’(c)=f(b)-f(a)/b-a. Wnioski. – jeżeli f’(x)=0 dla ÙxÎ(a, b) to f(x)jest g=f(x) stała w (a, b) f’(x)=0Þf(x)=c; - jeżeli f’(x)>0 (<0) dla ÙxÎ(a, b) to f(x)jest g(x) rośnie w (a, b) f’(x)>0Þf(x)æ, f’(x)<0Þf(x)è; - jeżeli f’(x)=g’(x) to Definicja ekstremum i sformułować warunek konieczny jego istnienia. -Mówimy, ze funkcja f(x) ma w xo minimum (maksimum lokalne) jeżeli ÚS(xo, d) ÙxÎS(xo, d) f(x)³f(xo) [f(x)£f(xo)]. Jeżeli ³, £ zastąpimy >, < to mówimy o minimum (maksimum właściwym). –Jeżeli funkcja różniczkowalna w xo ma we wzorze ekstremum to f’(xo)=0. f ma ekstremum w xoÞf’(xo)=0. Sformułować jeden z warunków wystarczających istnienia ekstremum.(zmiana znaku 1 pochodnej) Jeżeli funkcja f(x) ma dla xÎU(xo, d) pochodną oraz: -dla xÎS_( xo, d): f’(x)>0 (f’(x)<0); -dla x=xo: f’(xo)=0; -dla xÎS+( xo, d): f’(x)<0 (f’(x)>0). Sformułować warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia. (zmiana znaku f”(x)) Jeżeli funkcja ma dla xÎU(xo, d) pochodne I i II rzędu oraz: -dla xÎS_( xo, d): f”(x)>0 (f”(x)<0-tzn. jest wypukłość w dół lub w górę); - dla x=xo: f”(xo)=0; - dla xÎS+( xo, d): f”(x)<0 (f”(x)>0-tzn. jest wypukłość w dół lub w górę). Definicja asymptoty ukośnej (poziomej). Asymptotą nazywamy taką prostą, do punktów której zbliżają się punkty wykresu funkcji. 1) Jeżeli f(x) jest określona w (-¥, d) dÎR to prosta y=ax+b jest asymptota ukośną (lub poziomą dla a=0) lewostronną wykresu funkcji y=f(x)Ûgdy lim x®-¥ [f(x)-(ax+b)]=0. 2) Jeżeli f(x) jest określona w (c, +¥) cÎR to prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną (lub poziomą dla a=0) prawostronną wykresu funkcji y=f(x)Ûgdy lim x®+¥ [f(x)-(ax+b)]=0. 3) Prosta ax+b jest asymptotą ukośną (poziomą dla a=0) obustronną krzywej y=f(x)Ûgdy jest jednocześnie asymptota ukośną (poziomą) lewostronną i prawostronną tej krzywej. Definicja asymptoty pionowej. 1) Prostą o równaniu x=xo nazywamy asymptotę pionową lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji f(x) gdy lim x®xo- f(x)=-¥ lub lim x®xo- f(x)=+¥ [lim x®xo+ f(x)=-¥ lub lim x®xo+ f(x)=+¥]. 2) prosta x=xo nazywamy asymptotę pionową obustronną Û gdy jest jednocześnie asymptotę pionową lewostronną i prawostronną.
jelonka72